Параллельная кривая

Параллельные кривые графика расстояний ${\displaystyle y=1.5\sin(x)}$ ${\displaystyle d=0.25,\dots ,1.5}$

Два определения параллельной кривой: 1) огибающая семейства равных окружностей, 2) фиксированное нормальное расстояние.

Параллельные кривые круга (красного) тоже являются кругами.

Параллелью кривой называется огибающая семейства равных окружностей с центром на кривой. Он обобщает понятие параллельных (прямых) линий . Ее также можно определить как кривую, точки которой находятся на постоянном нормальном расстоянии от данной кривой. ^[1] Эти два определения не полностью эквивалентны, поскольку последнее предполагает гладкость , а первое — нет. ^[2]

В компьютерном проектировании предпочтительный термин для обозначения параллельной кривой — кривая смещения . ^{[2] [3] [4]} (В других геометрических контекстах термин «смещение» также может относиться к переводу . ^[5] ) Кривые смещения важны, например, при обработке с числовым программным управлением , где они описывают, например, форму выполненного разреза. круглым режущим инструментом двухкоординатного станка. Форма реза смещена от траектории фрезы на постоянное расстояние в направлении, нормальном к траектории фрезы в каждой точке. ^[6]

В области 2D- компьютерной графики , известной как векторная графика , (приблизительное) вычисление параллельных кривых включает в себя одну из фундаментальных операций рисования, называемую обводкой, которая обычно применяется к полилиниям или полибезье (которые сами называются путями) в этой области. ^[7]

За исключением линии или круга , параллельные кривые имеют более сложную математическую структуру, чем кривая-прародитель. ^[1] Например, даже если кривая-прародитель гладкая , ее смещения могут быть не такими; это свойство проиллюстрировано на верхнем рисунке с использованием синусоидальной кривой в качестве прародительской кривой. ^[2] В общем, даже если кривая рациональна , ее смещения могут быть нерациональными. Например, смещения параболы являются рациональными кривыми, но смещения эллипса или гиперболы нерациональны, хотя сами эти кривые-прародители рациональны . ^[3]

Это понятие также распространяется на трехмерные поверхности , где оно называется поверхностью смещения или параллельной поверхностью . ^[8] Увеличение твердого объема на (постоянное) расстояние иногда называют расширением . ^[9] Обратная операция иногда называется обстрелом . ^[8] Смещенные поверхности важны при обработке с числовым программным управлением , где они описывают форму среза, выполненного сферической концевой фрезой трехосного станка. ^[10] Другие формы режущих долот можно смоделировать математически с помощью общих смещенных поверхностей. ^[11]

Параллельная кривая параметрически заданной кривой

Если доступно регулярное параметрическое представление данной кривой, второе определение параллельной кривой (см. выше) приводит к следующему параметрическому представлению параллельной кривой с расстоянием : ${\displaystyle {\vec {x}}=(x(t),y(t))}$ ${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$с аппаратом нормально . ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$

В декартовых координатах:

${\displaystyle x_{d}(t)=x(t)+{\frac {d\;y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}}$

${\displaystyle y_{d}(t)=y(t)-{\frac {d\;x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\ .}$

Параметр расстояния может быть отрицательным. В этом случае на противоположной стороне кривой получается параллельная кривая (см. диаграмму параллельных кривых окружности). Легко проверить, что параллельная кривая прямой является параллельной прямой в обычном смысле, а параллельная кривая окружности — концентрической окружностью. ${\displaystyle d}$

Геометрические свойства: [12]

• ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$это означает: касательные векторы для фиксированного параметра параллельны.
• ${\displaystyle k_{d}(t)={\frac {k(t)}{1+dk(t)}},\quad }$с кривизной заданной кривой и кривизной параллельной кривой для параметра . ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle k_{d}(t)}$ ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+d,\quad }$с радиусом кривизны данной кривой и радиусом кривизны параллельной кривой для параметра . ${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle R_{d}(t)}$ ${\displaystyle t}$
• Когда они существуют, окружности, соприкасающиеся с параллельными кривыми в соответствующих точках, концентричны. ^[13]
• Что касается параллельных линий , то нормальная линия к кривой также нормальна к ее параллелям.
• Когда строятся параллельные кривые, они будут иметь точки пересечения , когда расстояние от кривой соответствует радиусу кривизны . Это точки, в которых кривая касается эволюты .
• Если кривая-прародитель является границей плоского множества и ее параллельная кривая не имеет самопересечений, то последняя является границей суммы Минковского плоского множества и диска заданного радиуса.

Если данная кривая является полиномиальной (то есть и являются полиномами), то параллельные кривые обычно не являются полиномиальными. В области САПР это является недостатком, поскольку системы САПР используют полиномы или рациональные кривые. Чтобы получить хотя бы рациональные кривые, квадратный корень из представления параллельной кривой должен быть разрешимым. Такие кривые называются кривыми годографа Пифагора и были исследованы Р. Т. Фаруки. ^[14] ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

Параллельные кривые неявной кривой

Параллельные кривые неявной кривой (красный) с уравнением ${\displaystyle x^{4}+y^{4}-1=0}$

Обычно аналитическое представление параллельной кривой неявной кривой невозможно. Только для простых случаев прямых и окружностей можно легко описать параллельные кривые. Например:

Функция линии → расстояния: (нормальная форма Гессе) ${\displaystyle \;f(x,y)=x+y-1=0\;}$ ${\displaystyle \;h(x,y)={\frac {x+y-1}{\sqrt {2}}}=d\;}$

Функция «Круг → расстояние»: ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\;}$ ${\displaystyle \;h(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-1=d\;.}$

В общем случае, предполагая определенные условия, можно доказать существование ориентированной функции расстояния . На практике приходится рассматривать это численно. ^[15] При рассмотрении параллельных кривых справедливо следующее: ${\displaystyle h(x,y)}$

• Параллельная кривая для расстояния d представляет собой набор уровней соответствующей ориентированной функции расстояния . ${\displaystyle h(x,y)=d}$ ${\displaystyle h}$

Свойства функции расстояния: [12] [16]

• ${\displaystyle |\operatorname {grad} h({\vec {x}})|=1\;,}$
• ${\displaystyle h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=h({\vec {x}})+d\;,}$
• ${\displaystyle \operatorname {grad} h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=\operatorname {grad} h({\vec {x}})\;.}$

Пример:
На диаграмме показаны параллельные кривые неявной кривой с уравнением. Примечание: Кривые не являются параллельными кривыми, поскольку это неверно в интересующей области. ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0\;.}$
${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=d\;}$ ${\displaystyle \;|\operatorname {grad} f(x,y)|=1\;}$

Дальнейшие примеры

Эвольвенты круга

• Эвольвенты данной кривой представляют собой совокупность параллельных кривых . Например: развертки круга представляют собой параллельные спирали (см. схему).

И: ^[17]

• Парабола имеет (двусторонние) смещения рациональных кривых 6 - й степени.
• Гипербола или эллипс имеет (двусторонние) смещения алгебраической кривой степени 8.
• Кривая Безье степени n имеет (двусторонние) смещения алгебраических кривых степени 4 n − 2 . В частности, кубическая кривая Безье имеет (двусторонние) смещения алгебраических кривых степени 10.

Параллельная кривая кривой с углом

Параллельные кривые кривой с прерывистой нормалью вокруг угла

При определении траектории резания детали с острым углом для обработки необходимо определить кривую, параллельную (смещенную) данной кривой, которая имеет прерывистую нормаль в углу. Даже если данная кривая не является гладкой в ​​остром углу, ее параллельная кривая может быть гладкой с непрерывной нормалью или может иметь изломы , когда расстояние от кривой соответствует радиусу кривизны в остром углу.

Обычные фанаты

Как описано выше, параметрическое представление кривой, параллельной данной кривой, с расстоянием : ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$с аппаратом нормально . ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$

В остром углу ( ) нормаль к заданной разрывна, что означает, что односторонний предел нормали слева не равен пределу справа . Математически, ${\displaystyle t=t_{c}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t_{c})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$

${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})=\lim _{t\to t_{c}^{-}}{\vec {n}}(t)\neq {\vec {n}}(t_{c}^{+})=\lim _{t\to t_{c}^{+}}{\vec {n}}(t)}$.

Обычный веер для определения параллельных кривых вокруг острого угла.

Однако мы можем определить нормальный веер ^[11] , который обеспечивает интерполянт между и и использовать его вместо в остром углу: ${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$

${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )={\frac {(1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})}{\lVert (1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})\rVert }},\quad }$где . ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Полученное определение параллельной кривой обеспечивает желаемое поведение: ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\begin{cases}{\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t),&{\text{if }}t<t_{c}{\text{ or }}t>t_{c}\\{\vec {x}}(t_{c})+d{\vec {n}}_{f}(\alpha ),&{\text{if }}t=t_{c}{\text{ where }}0<\alpha <1\end{cases}}}$

Алгоритмы

В общем, параллельная кривая кривой Безье не является другой кривой Безье, результат, доказанный Тиллером и Хэнсоном в 1984 году . ^[18] Таким образом, на практике используются методы аппроксимации. Любой желаемый уровень точности возможен путем многократного деления кривой, хотя более эффективные методы требуют меньшего количества делений для достижения того же уровня точности. Широко цитируется исследование 1997 года, проведенное Элбером, Ли и Кимом ^{[19] , хотя совсем недавно были предложены более совершенные методы.} Современный метод, основанный на подгонке кривой , со ссылками и сравнениями с другими алгоритмами, а также с исходным кодом JavaScript с открытым исходным кодом, был опубликован в сообщении блога ^[20] в сентябре 2022 года.

Еще одним эффективным алгоритмом компенсации является уровневый подход, описанный Киммелем и Брукштейном (1993). ^[21]

Параллельные (смещенные) поверхности

Офсетная поверхность сложной неправильной формы

Смещенные поверхности важны при обработке с числовым программным управлением, где они описывают форму среза, выполненного сферической концевой фрезой трехосной фрезы. ^[10] Если существует регулярное параметрическое представление данной поверхности, второе определение параллельной кривой (см. выше) обобщается до следующего параметрического представления параллельной поверхности с расстоянием : ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$ ${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+d{\vec {n}}(u,v)}$с аппаратом нормально . ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)={{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}} \over {|{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}}|}}}$

Параметр расстояния также может быть отрицательным. В этом случае на противоположной стороне поверхности получается параллельная поверхность (см. аналогичную диаграмму на параллельных кривых окружности). Легко проверяется: параллельная поверхность плоскости — это параллельная плоскость в обычном смысле, а параллельная поверхность сферы — это концентрическая сфера. ${\displaystyle d}$

Геометрические свойства: [22]

• ${\displaystyle {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial u}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial u},\quad {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial v}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial v},\quad }$это означает: касательные векторы для фиксированных параметров параллельны.
• ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)=\pm {\vec {n}}(u,v),\quad }$это означает: векторы нормалей для фиксированных параметров совпадают по направлению.
• ${\displaystyle S_{d}=(1+dS)^{-1}S,\quad }$где и являются операторами формы для и соответственно. ${\displaystyle S_{d}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Главные кривизны являются собственными значениями оператора формы , главные направления кривизны — его собственными векторами , гауссова кривизна — его определителем , а средняя кривизна — половиной его следа .

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+dI,\quad }$где и являются обратными операторами формы для и соответственно. ${\displaystyle S_{d}^{-1}}$ ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Главные радиусы кривизны — собственные значения обратного оператора формы , главные направления кривизны — его собственные векторы , обратная гауссовой кривизне — ее определитель , средний радиус кривизны — половина ее следа .

Обратите внимание на сходство геометрических свойств параллельных кривых.

Обобщения

Проблема довольно очевидно распространяется на более высокие измерения, например, на смещенные поверхности, и несколько менее тривиально на поверхности труб . ^[23] Обратите внимание, что терминология для многомерных версий варьируется даже более широко, чем в плоском случае, например, другие авторы говорят о параллельных волокнах, лентах и ​​трубках. ^[24] Для кривых, встроенных в 3D-поверхности, смещение может быть взято вдоль геодезической линии . ^[25]

Другой способ обобщить это (даже в 2D) рассмотреть переменное расстояние, например, параметризованное другой кривой. ^[22] Например, можно обвести (конверт) эллипсом вместо круга ^[22] , как это возможно, например, в METAFONT . ^[26]

Огибающая эллипсов, образующая две общие кривые смещения выше и ниже заданной кривой.

Совсем недавно Adobe Illustrator добавил нечто подобное в версию CS5 , хотя контрольные точки для переменной ширины указаны визуально. ^[27] В контекстах, где важно различать постоянное и переменное смещение расстояния, иногда используются аббревиатуры CDO и VDO. ^[9]

Общие кривые смещения

Предположим, у вас есть регулярное параметрическое представление кривой , и у вас есть вторая кривая, которая может быть параметризована ее единичной нормалью , где нормаль (эта параметризация нормалью существует для кривых, кривизна которых строго положительная или отрицательная, и, таким образом, выпуклые, гладкие, а не прямые). Параметрическое представление общей кривой смещения смещения на: ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(x(t),y(t))}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+{\vec {d}}({\vec {n}}(t)),\quad }$где единица измерения нормали . ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$

Обратите внимание, что тривиальное смещение , дает вам обычные параллельные (или смещенные) кривые. ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

Геометрические свойства: ^[22]

• ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$это означает: касательные векторы для фиксированного параметра параллельны.
• Что касается параллельных линий , нормаль к кривой также является нормалью к ее общим смещениям.
• ${\displaystyle k_{d}(t)={\dfrac {k(t)}{1+{\dfrac {k(t)}{k_{n}(t)}}}},\quad }$с кривизной общей кривой смещения, кривизной и кривизной для параметра . ${\displaystyle k_{d}(t)}$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle k_{n}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$ ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+R_{n}(t),\quad }$с радиусом кривизны общей кривой смещения, радиусом кривизны и радиусом кривизны для параметра . ${\displaystyle R_{d}(t)}$ ${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle R_{n}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$ ${\displaystyle t}$
• При построении общих кривых смещения они будут иметь перегибы , когда кривизна кривой соответствует кривизне смещения. Это точки, в которых кривая касается эволюты .

Общие смещенные поверхности

Общие поверхности смещения описывают форму резов, выполняемых различными режущими головками, используемыми трехосными концевыми фрезами при обработке с числовым программным управлением . ^[11] Предположим, что у вас есть регулярное параметрическое представление поверхности, и у вас есть вторая поверхность, которая может быть параметризована ее единичной нормалью, где нормаль (эта параметризация нормалью существует для поверхностей, чья гауссова кривизна строго положительна, и, следовательно, выпуклый, гладкий, а не плоский). Параметрическое представление общей поверхности смещения смещения на: ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+{\vec {d}}({\vec {n}}(u,v)),\quad }$где единица измерения нормали . ${\displaystyle {\vec {n}}(u,v)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$

Обратите внимание, что тривиальное смещение даёт вам обычные параллельные (или смещенные) поверхности. ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

Геометрические свойства: ^[22]

• Что касается параллельных линий , касательная плоскость поверхности параллельна касательной плоскости ее общих смещений.
• Что касается параллельных линий , нормаль к поверхности также является нормалью к ее общим смещениям.
• ${\displaystyle S_{d}=(1+SS_{n}^{-1})^{-1}S,\quad }$где и являются операторами формы для и соответственно. ${\displaystyle S_{d},S,}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

Главные кривизны являются собственными значениями оператора формы , главные направления кривизны — его собственными векторами , гауссова кривизна — его определителем , а средняя кривизна — половиной его следа .

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1},\quad }$где и являются обратными операторами формы для и соответственно. ${\displaystyle S_{d}^{-1},S^{-1}}$ ${\displaystyle S_{n}^{-1}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

Главные радиусы кривизны — собственные значения обратного оператора формы , главные направления кривизны — его собственные векторы , обратная гауссовой кривизне — ее определитель , средний радиус кривизны — половина ее следа .

Обратите внимание на сходство геометрических свойств обычных кривых смещения.

Вывод геометрических свойств для общих смещений

Геометрические свойства, перечисленные выше для общих кривых и поверхностей смещения, могут быть получены для смещений произвольного размера. Предположим, у вас есть регулярное параметрическое представление n-мерной поверхности, где размерность равна n-1. Также предположим, что у вас есть вторая n-мерная поверхность, которая может быть параметризована ее единичной нормалью, где нормаль (эта параметризация нормалью существует для поверхностей, гауссова кривизна которых строго положительна и, следовательно, выпукла, гладка и не плоская). Параметрическое представление общей поверхности смещения смещения на: ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})={\vec {x}}({\vec {u}})+{\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}})),\quad }$где единица измерения нормали . (Тривиальное смещение даёт обычные параллельные поверхности.) ${\displaystyle {\vec {n}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

Во-первых, заметьте, что норма нормальна по определению. Теперь мы применим дифференциал относительно , ​​что даст нам его касательные векторы, охватывающие его касательную плоскость. ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})=}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))={\vec {n}}({\vec {u}}),}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})=\partial {\vec {x}}({\vec {u}})+\partial {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

Обратите внимание, что касательные векторы для представляют собой сумму касательных векторов для и его смещения , которые имеют одну и ту же единичную нормаль. Таким образом, общая поверхность смещения имеет одну и ту же касательную плоскость и нормаль с и . Это соответствует природе конвертов. ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

Теперь мы рассмотрим уравнения Вайнгартена для оператора формы , который можно записать как . Если обратимо, . Напомним, что главные кривизны поверхности — это собственные значения оператора формы, главные направления кривизны — это ее собственные векторы , кривизна Гаусса — ее определитель , а средняя кривизна — половина ее следа . Обратный оператор формы сохраняет те же значения для радиусов кривизны. ${\displaystyle \partial {\vec {n}}=-\partial {\vec {x}}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial {\vec {x}}=-\partial {\vec {n}}S^{-1}}$

Подставив в уравнение дифференциал , получим: ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}-\partial {\vec {n}}S_{n}^{-1},\quad }$где оператор формы для . ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

Далее мы снова используем уравнения Вайнгартена для замены : ${\displaystyle \partial {\vec {n}}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}+\partial {\vec {x}}SS_{n}^{-1},\quad }$где оператор формы для . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$

Затем мы решаем и умножаем обе части на, чтобы вернуться к уравнениям Вайнгартена , на этот раз для : ${\displaystyle \partial {\vec {x}}}$ ${\displaystyle -S}$ ${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}=\partial {\vec {x}},}$

${\displaystyle -\partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S=-\partial {\vec {x}}S=\partial {\vec {n}}.}$

Таким образом , и инвертирование обеих сторон дает нам . ${\displaystyle S_{d}=(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S}$ ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1}}$

Смотрите также

• Отображение рельефа
• Функция расстояния и функция расстояния со знаком
• Поле расстояния
• Офсетная печать
• Трубчатый район

Рекомендации

1. Уилсон, Фредерик Ньютон (1898). Теоретическая и практическая графика. Макмиллан. п. 66. ИСБН 978-1-113-74312-1.
2. Devadoss, Сатьян Л .; О'Рурк, Джозеф (2011). Дискретная и вычислительная геометрия. Издательство Принстонского университета. стр. 128–129. ISBN 978-1-4008-3898-1.
3. Сендра, Дж. Рафаэль; Винклер, Франц; Перес Диас, Соня (2007). Рациональные алгебраические кривые: подход компьютерной алгебры. Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-3-540-73724-7.
4. Агостон, Макс К. (2005). Компьютерная графика и геометрическое моделирование: Математика. Springer Science & Business Media. п. 586. ИСБН 978-1-85233-817-6.
5. Винс, Джон (2006). Геометрия для компьютерной графики: формулы, примеры и доказательства. Springer Science & Business Media. п. 293. ИСБН 978-1-84628-116-7.
6. Марш, Дункан (2006). Прикладная геометрия для компьютерной графики и САПР (2-е изд.). Springer Science & Business Media. п. 107. ИСБН 978-1-84628-109-9.
7. Марк Килгард (10 апреля 2012 г.). «Векторная графика и рендеринг пути CS 354». www.slideshare.net . п. 28.
8. Агостон, Макс К. (2005). Компьютерная графика и геометрическое моделирование. Springer Science & Business Media. стр. 638–645. ISBN 978-1-85233-818-3.
9. http://www.cc.gatech.edu/~jarek/papers/localVolume.pdf, стр. 3
10. Фаукс, ID; Пратт, Майкл Дж. (1979). Вычислительная геометрия для проектирования и производства . Холстед Пресс. ISBN 978-0-47026-473-7. ОСЛК  4859052.
11. Брехнер, Эрик (1990). Конверты и траектории инструмента для трехосного концевого фрезерования (доктор философии). Политехнический институт Ренсселера.
12. Э. Хартманн: Геометрия и алгоритмы компьютерного проектирования. С. 30.
13. Фиона О'Нил: Плоские кривые Бертрана (с изображениями!).
14. Рида Т. Фаруки: Кривые пифагорейского годографа: алгебра и геометрия неразделимы (геометрия и вычисления). Спрингер, 2008 г., ISBN 978-3-540-73397-3 . 
15. Э. Хартманн: Геометрия и алгоритмы компьютерного проектирования. С. 81, С. 30, 41, 44.
16. Торп, Джон А. (27 октября 1994 г.). Элементарные темы дифференциальной геометрии . Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer Science & Business Media. ISBN 0-387-90357-7.
17. http://faculty.engineering.ucdavis.edu/farouki/wp-content/uploads/sites/41/2013/02/Introduction-to-PH-curves.pdf. Архивировано 5 июня 2015 г. в Wayback Machine , стр. . 16 «таксономия кривых смещения»
18. Тиллер, Уэйн; Хэнсон, Эрик (1984). «Смещения двумерных профилей». IEEE Компьютерная графика и приложения . 4 (9): 36–46. дои : 10.1109/mcg.1984.275995. S2CID  9046817.
19. Элбер, Гершон; Ли, Ин-Квон; Ким, Мён Су (май – июнь 1997 г.). «Сравнение методов аппроксимации кривой смещения». IEEE Компьютерная графика и приложения . 17 (3): 62–71. дои : 10.1109/38.586019.
20. Левиен, Раф (9 сентября 2022 г.). «Параллельные кривые кубического Безье» . Проверено 9 сентября 2022 г.
21. Киммел, Р.; Брукштейн, AM (1993). «Смещение формы с помощью наборов уровней» (PDF) . Системы автоматизированного проектирования . Эльзевир Б.В. 25 (3): 154–162. дои : 10.1016/0010-4485(93)90040-у. ISSN  0010-4485. S2CID  8434463.
22. Брехнер, Эрик Л. (1992). «5. Общие кривые и поверхности смещения». В Барнхилле, Роберт Э. (ред.). Обработка геометрии для проектирования и производства . СИАМ. стр. 101–. ISBN 978-0-89871-280-3.
23. Поттманн, Хельмут; Валлнер, Йоханнес (2001). Вычислительная линейная геометрия. Springer Science & Business Media. стр. 303–304. ISBN 978-3-540-42058-3.
24. Чирикджян, Грегори С. (2009). Стохастические модели, теория информации и группы Ли, Том 1: Классические результаты и геометрические методы . Springer Science & Business Media. стр. 171–175. ISBN 978-0-8176-4803-9.
25. Сарфраз, Мухаммед, изд. (2003). Достижения в геометрическом моделировании. Уайли. п. 72. ИСБН 978-0-470-85937-7.
26. https://www.tug.org/TUGboat/tb16-3/tb48kinc.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
27. http://design.tutsplus.com/tutorials/illustrator-cs5-variable-width-stroke-tool-perfect-for-making-tribal-designs--vector-4346 применение обобщенной версии в Adobe Illustrator CS5 (также видео)

• Йозеф Хошек: Смещение кривых на плоскости. В: CAD. 17 (1985), С. 77–81.
• Такаси Маэкава: Обзор смещенных кривых и поверхностей. В: CAD. 31 (1999), С. 165–173.

дальнейшее чтение

• Фаруки, RT; Нефф, Калифорния (1990). «Аналитические свойства кривых смещения плоскости». Компьютерное геометрическое проектирование . 7 (1–4): 83–99. дои : 10.1016/0167-8396(90)90023-К.
• Пигл, Лес А. (1999). «Вычисление смещений кривых и поверхностей NURBS». Системы автоматизированного проектирования . 31 (2): 147–156. CiteSeerX  10.1.1.360.2793 . дои : 10.1016/S0010-4485(98)00066-9.
• Портеус, Ян Р. (2001). Геометрическая дифференциация: для интеллекта кривых и поверхностей (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 1–25. ISBN 978-0-521-00264-6.
• Патрикалакис, Николас М.; Маэкава, Такаши (2010) [2002]. Опрос формы для автоматизированного проектирования и производства . Springer Science & Business Media. Глава 11. Кривые смещения и поверхности. ISBN 978-3-642-04074-0.Бесплатная онлайн-версия.
• Антон, Франсуа; Эмирис, Иоаннис З.; Муррен, Бернар; Тейо, Моник (май 2005 г.). «Набор O для алгебраической кривой и приложение к коникам». Международная конференция по вычислительной науке и ее приложениям . Сингапур: Springer Verlag. стр. 683–696.
• Фаруки, Рида Т. (2008). Кривые годографа Пифагора: алгебра и геометрия неразделимы . Springer Science & Business Media. стр. 141–178. ISBN 978-3-540-73397-3.Перечисленные страницы представляют собой общий и вводный материал.
• Ау, СК; Ма, Ю.-С. (2013). «Расчет кривых смещения с использованием функции расстояния: решение ключевой проблемы при создании траектории режущего инструмента». В Ма, Ю.-С. (ред.). Семантическое моделирование и совместимость в разработке продуктов и процессов: технология инженерной информатики . Springer Science & Business Media. стр. 259–273. ISBN 978-1-4471-5073-2.

Внешние ссылки

• Параллельные кривые в MathWorld
• Визуальный словарь плоских кривых Кса Ли
• http://library.imageworks.com/pdfs/imageworks-library-offset-curve-deformation-from-Skeletal-Anima.pdf приложение к анимации; запатентован как патент США 8 400 455
• http://www2.uah.es/fsegundo/Otros/Offset/16-SanSegundoSendraSendra-1532.pdf