Математическая концепция
В математике тасовочная алгебра — это алгебра Хопфа с базисом, соответствующим словам на некотором множестве, произведение которых задается тасовочным произведением X ⧢ Y двух слов X , Y : сумма всех способов их переплетения. Переплетение задается перестановкой riffle shuffle .
Тасующая алгебра на конечном множестве является градуированной двойственной алгеброй универсальной обертывающей алгебры свободной алгебры Ли на множестве.
Над рациональными числами алгебра тасовки изоморфна алгебре многочленов в словах Линдона .
Произведение перетасовки встречается в общих настройках в некоммутативных алгебрах ; это происходит потому, что оно способно сохранять относительный порядок факторов, умножаемых вместе - перестановка перетасовки рифлей . Это можно провести в отличие от структуры разделенной мощности , которая становится подходящей, когда факторы коммутативны.
Перемешать продукт
Произведение перетасовки слов длин m и n представляет собой сумму по ( м + н )!/м ! н ! способы чередования двух слов, как показано в следующих примерах:
- ab ⧢ xy = abxy + axby + xaby + axyb + xayb + xyab
- ааа ⧢ аа = 10 ааааа
Его можно определить индуктивно с помощью [1]
- и ⧢ ε = ε ⧢ и = и
- ua ⧢ vb знак равно ( ты ⧢ vb ) а + ( ua ⧢ v ) б
где ε — пустое слово , a и b — отдельные элементы, а u и v — произвольные слова.
Продукт тасования был введен Эйленбергом и Мак-Лейном (1953). Название «продукт тасования» относится к тому факту, что продукт можно рассматривать как сумму по всем способам тасования двух слов вместе: это перестановка тасования рифлей . Продукт коммутативен и ассоциативен . [2]
Произведение перемешивания двух слов в некотором алфавите часто обозначается символом произведения перемешивания ⧢ ( символ Юникода U+29E2 SHUFFLE PRODUCT , происходящий от кириллической буквы ⟨ш⟩ ша ).
Продукт инфильтрации
Тесно связанный продукт инфильтрации был введен Ченом, Фоксом и Линдоном (1958). Он определяется индуктивно на словах в алфавите A с помощью
- fa ↑ ga знак равно ( ж ↑ ga ) а + ( fa ↑ грамм ) а + ( ж ↑ грамм ) а
- fa ↑ gb знак равно ( ж ↑ gb ) а + ( fa ↑ g ) б
Например:
- ab ↑ ab = ab + 2 aab + 2 abb + 4 aabb + 2 abab
- аб ↑ ба = аба + баб + абаб + 2 абба + 2 бааб + баба
Продукт инфильтрации также коммутативен и ассоциативен. [3]
Смотрите также
Ссылки
- ^ Лотер 1997, стр. 101,126
- ^ Лотер 1997, стр. 126
- ^ Лотер 1997, стр. 128
- Чэнь, Куо-Цай; Фокс, Ральф Х.; Линдон , Роджер К. (1958), «Свободное дифференциальное исчисление. IV. Фактор-группы нижнего центрального ряда», Annals of Mathematics , Вторая серия, 68 (1): 81–95, doi :10.2307/1970044, JSTOR 1970044, MR 0102539, Zbl 0142.22304
- Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1953), «О группах H(Π,n). I», Annals of Mathematics , вторая серия, 58 (1): 55–106, doi :10.2307/1969820, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969820, MR 0056295, Zbl 0050.39304
- Грин, Дж. А. (1995), Алгебры перемешивания, алгебры Ли и квантовые группы, Textos de Matemática. Серия Б, том. 9, Коимбра: Департамент математики Университета Коимбры, MR 1399082
- Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Перетасовочная алгебра», Энциклопедия математики , EMS Press
- Хазевинкель, Михил; Губарени, Надежда; Кириченко, ВВ (2010), Алгебры, кольца и модули. Алгебры Ли и алгебры Хопфа , Математические обзоры и монографии, т. 168, Американское математическое общество, doi :10.1090/surv/168, ISBN 978-0-8218-5262-0, MR 2724822, Zbl 1211.16023
- Lothaire, M. (1997), Комбинаторика слов , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 17, Perrin, D.; Reutenauer, C.; Berstel, J.; Pin, JE; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovitch, J.; Simon, I.; Schützenberger, MP; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Предисловие Роджера Линдона (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-59924-5, ЗБЛ 0874.20040
- Ройтенауэр, Кристоф (1993), Свободные алгебры Ли, Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, т. 7, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853679-6, MR 1231799, Zbl 0798.17001
Внешние ссылки
- Перемешать символ продукта
