Реакция на шаг

Временное поведение системы, управляемой ступенчатыми функциями Хевисайда

Типичная реакция на скачок для системы второго порядка, иллюстрирующая перерегулирование , за которым следует звон , все затухает в течение времени установления .

Реакция на скачок системы в заданном начальном состоянии состоит из временной эволюции ее выходов, когда ее управляющие входы являются ступенчатыми функциями Хевисайда . В электронной инженерии и теории управления реакция на скачок — это временное поведение выходов общей системы , когда ее входы изменяются от нуля до единицы за очень короткое время. Концепция может быть расширена до абстрактного математического понятия динамической системы с использованием параметра эволюции .

С практической точки зрения, знание того, как система реагирует на внезапный вход, важно, поскольку большие и, возможно, быстрые отклонения от долгосрочного устойчивого состояния могут иметь экстремальные эффекты на сам компонент и на другие части всей системы, зависящие от этого компонента. Кроме того, вся система не может действовать, пока выход компонента не установится в некоторой близости от его конечного состояния, задерживая общую реакцию системы. Формально, знание реакции на скачок динамической системы дает информацию об устойчивости такой системы и о ее способности достигать одного стационарного состояния при старте из другого.

Формальное математическое описание

Рисунок 4: Представление динамической системы в виде черного ящика, ее входных данных и ее реакции на скачок.

В этом разделе дается формальное математическое определение переходной характеристики в терминах абстрактной математической концепции динамической системы : здесь перечислены все обозначения и допущения, необходимые для последующего описания. ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

• ${\displaystyle t\in T}$- параметр эволюции системы, для простоты называемый « временем »,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t}\in M}$это состояние системы в момент времени , называемое для простоты «выходом», ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \Phi :T\times M\to M}$- функция эволюции динамической системы ,
• ${\displaystyle \Phi (0,{\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}_{0}\in M}$- начальное состояние динамической системы ,
• ${\displaystyle H(t)}$это ступенчатая функция Хевисайда

Нелинейная динамическая система

Для общей динамической системы реакция на скачок определяется следующим образом:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t}=\Phi _{\{H(t)\}}\left(t,{{\boldsymbol {x}}_{0}}\right).}$

Это функция эволюции , когда управляющие входы (или исходный член , или форсирующие входы) являются функциями Хевисайда: нотация подчеркивает эту концепцию, указывая H ( t ) в качестве нижнего индекса.

Линейная динамическая система

Для линейного инвариантного во времени (LTI) черного ящика, для удобства записи, пусть: реакция на скачок может быть получена путем свертки функции управления скачка Хевисайда и импульсной реакции h ( t ) самой системы ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\equiv S}$

${\displaystyle a(t)=(h*H)(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )H(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau .}$

что для системы LTI эквивалентно простому интегрированию последнего. Наоборот, для системы LTI производная от ступенчатой ​​реакции дает импульсную реакцию:

${\displaystyle h(t)={\frac {d}{dt}}\,a(t).}$

Однако эти простые соотношения не верны для нелинейной или изменяющейся во времени системы . ^[1]

Временная область против частотной области

Вместо частотной характеристики производительность системы может быть определена в терминах параметров, описывающих зависимость реакции от времени. Реакция на скачок может быть описана следующими величинами, связанными с ее поведением во времени ,

• перелет
• время подъема
• время установления
• звон

В случае линейных динамических систем, многое можно вывести о системе из этих характеристик. Ниже представлена ​​реакция на скачок простого двухполюсного усилителя, и некоторые из этих терминов проиллюстрированы.

В системах LTI функция, которая имеет самую крутую скорость нарастания, не создающую перерегулирования или звона, — это функция Гаусса. Это потому, что это единственная функция, преобразование Фурье которой имеет ту же форму.

Усилители обратной связи

Рисунок 1: Идеальная модель отрицательной обратной связи; коэффициент усиления разомкнутой цепи равен A _OL , а коэффициент обратной связи равен β.

В этом разделе описывается реакция на скачок простого усилителя с отрицательной обратной связью, показанного на рисунке 1. Усилитель с обратной связью состоит из основного усилителя с разомкнутой петлей усиления A _OL и петли обратной связи, регулируемой коэффициентом обратной связи β. Этот усилитель с обратной связью анализируется для определения того, как его реакция на скачок зависит от постоянных времени, управляющих реакцией основного усилителя, и от величины используемой обратной связи.

Усилитель с отрицательной обратной связью имеет коэффициент усиления, определяемый выражением (см. усилитель с отрицательной обратной связью ):

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{OL}}{1+\beta A_{OL}}},}$

где A _OL = коэффициент усиления разомкнутой цепи , A _FB = коэффициент усиления замкнутой цепи (коэффициент усиления при наличии отрицательной обратной связи) и β = коэффициент обратной связи .

С одним доминирующим полюсом

Во многих случаях прямой усилитель можно достаточно хорошо смоделировать в терминах одного доминирующего полюса постоянной времени τ, так что его коэффициент усиления в разомкнутом контуре определяется выражением:

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{1+j\omega \tau }},}$

с нулевым коэффициентом усиления частоты A ₀ и угловой частотой ω = 2π f . Этот прямой усилитель имеет единичную реакцию на скачок

${\displaystyle S_{OL}(t)=A_{0}(1-e^{-t/\tau })}$,

экспоненциальный подход от 0 к новому равновесному значению A ₀ .

Передаточная функция однополюсного усилителя приводит к коэффициенту усиления замкнутой цепи:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau }{1+\beta A_{0}}}}}.}$

Этот коэффициент усиления с замкнутой петлей имеет ту же форму, что и коэффициент усиления с разомкнутой петлей: однополюсный фильтр. Его ступенчатая реакция имеет ту же форму: экспоненциальный спад к новому равновесному значению. Но постоянная времени ступенчатой ​​функции с замкнутой петлей равна τ / (1 + β A ₀ ), поэтому она быстрее, чем реакция прямого усилителя в 1 + β A ₀ :

${\displaystyle S_{FB}(t)={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\left(1-e^{-t(1+\beta A_{0})/\tau }\right),}$

По мере увеличения коэффициента обратной связи β реакция на скачок будет становиться быстрее, пока первоначальное предположение об одном доминирующем полюсе не перестанет быть точным. Если есть второй полюс, то, поскольку постоянная времени замкнутого контура приближается к постоянной времени второго полюса, необходим двухполюсный анализ.

Двухполюсные усилители

В случае, когда коэффициент усиления разомкнутой цепи имеет два полюса (две постоянные времени , τ ₁ , τ ₂ ), реакция на скачок немного сложнее. Коэффициент усиления разомкнутой цепи определяется как:

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})}},}$

с нулевым коэффициентом усиления частоты A ₀ и угловой частотой ω = 2 πf .

Анализ

Передаточная функция двухполюсного усилителя приводит к коэффициенту усиления замкнутой цепи:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}+(j\omega )^{2}{\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}}}.}$

Рисунок 2: Расположение сопряженных полюсов для усилителя с двухполюсной обратной связью; Re( s ) — действительная ось, а Im( s ) — мнимая ось.

Временную зависимость усилителя легко обнаружить, переключив переменные на s = j ω, после чего коэффициент усиления становится:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\;\cdot \;{\frac {1}{s^{2}+s\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)+{\frac {1+\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}}}$

Полюса этого выражения (то есть нули знаменателя) находятся в точках:

${\displaystyle 2s=-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}},}$

что показывает, что для достаточно больших значений βA ₀ квадратный корень становится квадратным корнем отрицательного числа, то есть квадратный корень становится мнимым, а положения полюсов являются комплексно-сопряженными числами, либо s _+, либо s ₋ ; см. рисунок 2:

${\displaystyle s_{\pm }=-\rho \pm j\mu ,}$

с

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right),}$

и

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}}}.}$

Используя полярные координаты с величиной радиуса до корней, заданной как | s | (рисунок 2):

${\displaystyle |s|=|s_{\pm }|={\sqrt {\rho ^{2}+\mu ^{2}}},}$

а угловая координата φ определяется по формуле:

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {\rho }{|s|}},\sin \phi ={\frac {\mu }{|s|}}.}$

Таблицы преобразований Лапласа показывают, что временная характеристика такой системы состоит из комбинаций двух функций:

${\displaystyle e^{-\rho t}\sin(\mu t)\quad {\text{and}}\quad e^{-\rho t}\cos(\mu t),}$

то есть решения представляют собой затухающие колебания во времени. В частности, единичный шаг отклика системы равен: ^[2]

${\displaystyle S(t)=\left({\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\right)\left(1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}\right)\ ,}$

что упрощается до

${\displaystyle S(t)=1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}}$

когда A ₀ стремится к бесконечности, а коэффициент обратной связи β равен единице.

Обратите внимание, что затухание отклика задается ρ, то есть постоянными времени усилителя с разомкнутой петлей. Напротив, частота колебаний задается μ, то есть параметром обратной связи через β A ₀ . Поскольку ρ является суммой обратных величин постоянных времени, интересно отметить, что ρ доминирует более короткая из двух.

Результаты

Рисунок 3: Переходная характеристика линейного двухполюсного усилителя с обратной связью; время измеряется в единицах 1/ ρ , то есть в терминах постоянных времени A _OL ; кривые построены для трех значений mu  =  μ , которое контролируется  β .

На рисунке 3 показана временная реакция на единичный шаг входного сигнала для трех значений параметра μ. Видно, что частота колебаний увеличивается с μ, но колебания заключены между двумя асимптотами, заданными экспонентами [ 1 − exp(− ρt ) ] и [ 1 + exp(−ρt) ]. Эти асимптоты определяются ρ и, следовательно, постоянными времени усилителя с разомкнутой петлей, независимо от обратной связи.

Явление колебания около конечного значения называется звоном . Выброс — это максимальный размах выше конечного значения, и он явно увеличивается с μ. Аналогично, выброс — это минимальный размах ниже конечного значения, снова увеличивающийся с μ. Время установления — это время, за которое отклонения от конечного значения опускаются ниже некоторого заданного уровня, скажем, 10% от конечного значения.

Зависимость времени установления от μ не очевидна, и приближение двухполюсной системы, вероятно, недостаточно точно, чтобы делать какие-либо реальные выводы о зависимости времени установления от обратной связи. Однако асимптоты [ 1 − exp(− ρt ) ] и [ 1 + exp (− ρt ) ] явно влияют на время установления, и они контролируются постоянными времени усилителя с разомкнутой петлей, особенно более короткой из двух постоянных времени. Это говорит о том, что спецификация времени установления должна быть выполнена путем соответствующей конструкции усилителя с разомкнутой петлей.

Два основных вывода из этого анализа таковы:

1. Обратная связь управляет амплитудой колебаний относительно конечного значения для данного усилителя с разомкнутой петлей обратной связи и заданных значений постоянных времени разомкнутой петли τ ₁ и τ ₂ .
2. Усилитель с разомкнутой петлей определяет время установления. Он устанавливает временную шкалу рисунка 3, и чем быстрее усилитель с разомкнутой петлей, тем быстрее эта временная шкала.

В качестве отступления можно отметить, что в реальном мире отклонения от этой линейной двухполюсной модели возникают из-за двух основных осложнений: во-первых, реальные усилители имеют более двух полюсов, а также нули; и, во-вторых, реальные усилители нелинейны, поэтому их переходная характеристика изменяется в зависимости от амплитуды сигнала.

Рисунок 4: Реакция на скачок для трех значений α. Вверху: α = 4; В центре: α = 2; Внизу: α = 0,5. При уменьшении α разделение полюсов уменьшается, а выброс увеличивается.

Контроль перерегулирования

Далее обсуждается, как можно контролировать перерегулирование путем выбора соответствующих параметров.

Используя приведенные выше уравнения, величину перерегулирования можно найти, дифференцируя реакцию на скачок и находя ее максимальное значение. Результат для максимальной реакции на скачок S _max : ^[3]

${\displaystyle S_{\max }=1+\exp \left(-\pi {\frac {\rho }{\mu }}\right).}$

Конечное значение реакции на скачок равно 1, поэтому экспонента — это фактическое превышение. Очевидно, превышение равно нулю, если μ = 0, что является условием:

${\displaystyle {\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}=\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}.}$

Это квадратичное уравнение решается относительно отношения постоянных времени, устанавливая x = ( τ ₁ / τ ₂ ) ^1/2 с результатом

${\displaystyle x={\sqrt {\beta A_{0}}}+{\sqrt {\beta A_{0}+1}}.}$

Поскольку β A ₀ ≫ 1, то 1 в квадратном корне можно отбросить, и результат будет таким:

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=4\beta A_{0}.}$

На словах, первая постоянная времени должна быть намного больше второй. Чтобы быть более авантюрным, чем конструкция, не допускающая перерегулирования, мы можем ввести фактор α в приведенное выше соотношение:

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=\alpha \beta A_{0},}$

и пусть α будет задано величиной допустимого перерегулирования.

Рисунок 4 иллюстрирует процедуру. Сравнение верхней панели (α = 4) с нижней панелью (α = 0,5) показывает, что более низкие значения для α увеличивают скорость отклика, но увеличивают выброс. Случай α = 2 (центральная панель) является максимально плоской конструкцией, которая не показывает пиков на графике усиления Боде в зависимости от частоты . Эта конструкция имеет встроенный запас прочности, основанный на правиле большого пальца, для работы с неидеальными реалиями, такими как множественные полюса (или нули), нелинейность (зависимость амплитуды сигнала) и производственные отклонения, любое из которых может привести к слишком большому выбросу. Регулировка разделения полюсов (то есть настройка α) является предметом частотной компенсации , и одним из таких методов является разделение полюсов .

Контроль времени установления

Амплитуда звона в переходной характеристике на рисунке 3 регулируется коэффициентом затухания exp(− ρt ). То есть, если мы укажем некоторое приемлемое отклонение переходной характеристики от конечного значения, скажем Δ, то есть:

${\displaystyle S(t)\leq 1+\Delta ,}$

это условие выполняется независимо от значения β A _OL при условии, что время больше времени установления, скажем t _S , определяемого по формуле: ^[4]

${\displaystyle \Delta =e^{-\rho t_{S}}{\text{ or }}t_{S}={\frac {\ln {\frac {1}{\Delta }}}{\rho }}=\tau _{2}{\frac {2\ln {\frac {1}{\Delta }}}{1+{\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}}}\approx 2\tau _{2}\ln {\frac {1}{\Delta }},}$

где τ ₁  ≫ τ ₂ применимо из-за условия управления перерегулированием, что делает τ ₁  =  αβA _OL τ ₂ . Часто условие времени установления упоминается, говоря, что период установления обратно пропорционален полосе пропускания единичного усиления, потому что 1/(2 π  τ ₂ ) близко к этой полосе пропускания для усилителя с типичной компенсацией доминирующего полюса . Однако этот результат точнее, чем это эмпирическое правило . В качестве примера этой формулы, если Δ = 1/e ⁴ = 1,8 %, условие времени установления равно t _S  = 8  τ ₂ .

В общем случае контроль перерегулирования устанавливает отношение постоянной времени, а время установления t _S устанавливает τ ₂ . ^{[5] [6] [7]}

Идентификация системы с использованием реакции на шаг: система с двумя реальными полюсами

Переходная характеристика системы с . Измерьте существенную точку , и . ${\displaystyle x(t)=1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t_{25}}$ ${\displaystyle t_{75}}$

Этот метод использует значимые точки реакции на скачок. Нет необходимости угадывать касательные к измеренному сигналу. Уравнения выводятся с использованием численного моделирования, определяя некоторые значимые соотношения и параметры подгонки нелинейных уравнений. См. также. ^[8]

Вот шаги:

• Измерьте реакцию системы на ступенчатое воздействие при входном ступенчатом сигнале . ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$
• Определите временные интервалы , в которых переходная характеристика достигает 25% и 75% от выходного значения устойчивого состояния. ${\displaystyle t_{25}}$ ${\displaystyle t_{75}}$
• Определите коэффициент усиления системы в установившемся режиме с помощью ${\displaystyle k=A_{0}}$ ${\displaystyle k=\lim _{t\to \infty }{\dfrac {y(t)}{x(t)}}}$
• Рассчитать $${\displaystyle r={\dfrac {t_{25}}{t_{75}}}}$$ $${\displaystyle P=-18.56075\,r+{\dfrac {0.57311}{r-0.20747}}+4.16423}$$ $${\displaystyle X=14.2797\,r^{3}-9.3891\,r^{2}+0.25437\,r+1.32148}$$
• Определите две постоянные времени $${\displaystyle \tau _{2}=T_{2}={\dfrac {t_{75}-t_{25}}{X\,(1+1/P)}}}$$ $${\displaystyle \tau _{1}=T_{1}={\dfrac {T_{2}}{P}}}$$
• Рассчитайте передаточную функцию идентифицированной системы в области Лапласа. $${\displaystyle G(s)={\dfrac {k}{(1+s\,T_{1})\cdot (1+s\,T_{2})}}}$$

Запас по фазе

Рисунок 5: График усиления Боде для поиска запаса по фазе; шкалы логарифмические, поэтому помеченные разделения являются мультипликативными факторами. Например, f _{0 дБ} = βA ₀ × f ₁ .

Далее, выбор полюсного отношения τ ₁ / τ ₂ связан с запасом по фазе усилителя обратной связи. ^[9] Применяется процедура, описанная в статье о диаграмме Боде . На рисунке 5 представлен график усиления Боде для двухполюсного усилителя в диапазоне частот до положения второго полюса. Предположение, лежащее в основе рисунка 5, заключается в том, что частота f _{0 дБ} лежит между самым нижним полюсом при f ₁  = 1/(2πτ ₁ ) и вторым полюсом при f ₂  = 1/(2πτ ₂ ). Как указано на рисунке 5, это условие выполняется для значений α ≥ 1.

Используя рисунок 5, можно найти частоту (обозначенную f _{0 дБ} ), при которой коэффициент усиления контура β A ₀ удовлетворяет условию единичного усиления или 0 дБ, как определено формулой:

${\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 db}})|=1.}$

Наклон нисходящей части графика усиления составляет (20 дБ/декада); при каждом десятикратном увеличении частоты усиление падает во столько же раз:

${\displaystyle f_{\text{0 dB}}=\beta A_{0}f_{1}.}$

Запас по фазе — это отклонение фазы при f _{0 дБ} от −180°. Таким образом, запас равен:

${\displaystyle \phi _{m}=180^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{1})-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2}).}$

Поскольку f _{0 дБ} / f ₁ =  βA ₀  ≫ 1, член в f ₁ равен 90°. Это дает запас по фазе:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{m}&=90^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2})\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {\beta A_{0}f_{1}}{\alpha \beta A_{0}f_{1}}}\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {1}{\alpha }}=\arctan \alpha \,.\end{aligned}}}$

В частности, для случая α = 1, φ _m = 45°, а для α = 2, φ _m = 63,4°. Сансен ^[10] рекомендует α = 3, φ _m = 71,6° как «хорошее безопасное положение для начала».

Если α увеличивается за счет сокращения τ ₂ , время установления t _S также сокращается. Если α увеличивается за счет удлинения τ ₁ , время установления t _S изменяется незначительно. Чаще всего изменяются как τ _{1 , так} и τ ₂ , например, если используется метод расщепления полюсов .

Кстати, для усилителя с более чем двумя полюсами диаграмму на рисунке 5 все еще можно подогнать под диаграммы Боде, сделав f ₂ подходящим параметром, называемым положением «эквивалентного второго полюса». ^[11]

Смотрите также

• Импульсный ответ
• Перерегулирование (сигнал)
• Расщепление полюсов
• Время подъема
• Время установления
• Постоянная времени

Ссылки и примечания

1. Юрий Шмалий (2007). Системы непрерывного времени . Springer Science & Business Media. стр. 46. ISBN 978-1-4020-6272-8.
2. Бенджамин С. Куо и Голнараги Ф. (2003). Автоматические системы управления (восьмое изд.). Нью-Йорк: Wiley. стр. 253. ISBN 0-471-13476-7.
3. Бенджамин С. Куо и Голнараги Ф (2003). п. 259. Уайли. ISBN 0-471-13476-7.
4. Эта оценка немного консервативна (длинная), поскольку множитель 1 / sin(φ) в перерегулировании вклада в S ( t ) был заменен на 1 / sin( φ ) ≈ 1.
5. Дэвид А. Джонс и Мартин К. У. (1997). Проектирование аналоговых интегральных схем. Нью-Йорк: Wiley. С. 234–235. ISBN 0-471-14448-7.
6. Вилли М. К. Сансен (2006). Основы аналогового проектирования. Дордрехт, Нидерланды: Springer. стр. §0528 стр. 163. ISBN 0-387-25746-2.
7. По словам Джонса и Мартина (см. выше) , время установления имеет большое значение , например, в схемах с переключаемыми конденсаторами , где время установления операционного усилителя должно быть меньше половины тактового периода для достаточно быстрой передачи заряда.
8. "Идентификация затухающей системы PT2 | Hackaday.io". hackaday.io . Получено 2018-08-06 .
9. Запас усиления усилителя не может быть найден с помощью двухполюсной модели, поскольку запас усиления требует определения частоты f ₁₈₀ , где усиление меняет знак, а этого никогда не происходит в двухполюсной системе. Если мы знаем f ₁₈₀ для рассматриваемого усилителя, запас усиления можно найти приблизительно, но f ₁₈₀ тогда зависит от третьего и более высоких положений полюса, как и запас усиления, в отличие от оценки запаса по фазе, которая является двухполюсной оценкой.
10. Вилли М. К. Сансен (2006-11-30). §0526 стр. 162. Springer. ISBN 0-387-25746-2.
11. Гаэтано Палумбо и Пенниси С. (2002). Усилители обратной связи: теория и конструкция. Бостон/Дордрехт/Лондон: Kluwer Academic Press. стр. § 4.4 стр. 97–98. ISBN 0-7923-7643-9.

Дальнейшее чтение

• Роберт И. Демроу Время установления операционных усилителей [1]
• Сезми Каябаси Методы измерения времени стабилизации, достигающие высокой точности на высоких скоростях [2]
• Владимир Игоревич Арнольд "Обыкновенные дифференциальные уравнения", различные издания MIT Press и Springer Verlag, глава 1 "Основные понятия"

Внешние ссылки

• Слайды Куо Пауэр Пойнт; Глава 7 особенно