Периодическая бегущая волна

В математике периодическая бегущая волна (или волновой поезд ) — это периодическая функция одномерного пространства , которая движется с постоянной скоростью. Следовательно, это особый тип пространственно-временных колебаний , который является периодической функцией как пространства, так и времени.

Периодические бегущие волны играют фундаментальную роль во многих математических уравнениях, включая автоколебательные системы , ^{[1] [2]} возбудимые системы ^[3] и системы реакция-диффузия-адвекция . ^[4] Уравнения этих типов широко используются в качестве математических моделей биологии, химии и физики, и многие примеры явлений, напоминающих периодические бегущие волны, были найдены эмпирически .

Математическая теория периодических бегущих волн наиболее полно разработана для уравнений в частных производных , но эти решения встречаются и в ряде других типов математических систем, включая интегродифференциальные уравнения, ^{[5] [6]} интегроразностные уравнения, ^[7] решетки связанных отображений ^[8] и клеточные автоматы . ^{[9] [10]}

Периодические бегущие волны не только важны сами по себе, но и значимы как одномерный эквивалент спиральных волн и целевых узоров в двумерном пространстве, а также спиралевидных волн в трехмерном пространстве.

История исследования

Хотя периодические бегущие волны были известны как решения волнового уравнения с 18 века, их изучение в нелинейных системах началось в 1970-х годах. Ключевой ранней исследовательской работой была работа Нэнси Копелл и Лу Ховарда ^[1], которые доказали несколько фундаментальных результатов о периодических бегущих волнах в уравнениях реакции-диффузии . За этим последовала значительная исследовательская деятельность в 1970-х и начале 1980-х годов. Затем был период бездействия, прежде чем интерес к периодическим бегущим волнам был возобновлен математической работой по их генерации, ^{[11] [12]} и их обнаружением в экологии , в пространственно-временных наборах данных о циклических популяциях. ^{[13] [14]} С середины 2000-х годов исследования периодических бегущих волн выиграли от новых вычислительных методов для изучения их устойчивости и абсолютной устойчивости. ^{[15] [16]}

Семьи

Существование периодических бегущих волн обычно зависит от значений параметров в математическом уравнении. Если есть решение периодической бегущей волны, то обычно существует семейство таких решений с различными скоростями волн. Для уравнений с частными производными периодические бегущие волны обычно возникают для непрерывного диапазона скоростей волн. ^[1]

Стабильность

Важный вопрос заключается в том, является ли периодическая бегущая волна устойчивой или неустойчивой как решение исходной математической системы. Для уравнений с частными производными типично, что семейство волн подразделяется на устойчивые и неустойчивые части. ^{[1] [17] [18]} Для неустойчивых периодических бегущих волн важным вспомогательным вопросом является то, являются ли они абсолютно или конвективно неустойчивыми, то есть существуют или нет стационарные растущие линейные моды. ^[19] Этот вопрос был решен только для нескольких уравнений с частными производными. ^{[2] [15] [16]}

Поколение

В настоящее время хорошо изучен ряд механизмов генерации периодических бегущих волн. К ним относятся:

• Гетерогенность : пространственный шум в значениях параметров может генерировать ряд полос периодических бегущих волн. ^[20] Это важно в приложениях к колебательным химическим реакциям , где примеси могут вызывать целевые узоры или спиральные волны, которые являются двумерными обобщениями периодических бегущих волн. Этот процесс послужил мотивацией для большей части работы над периодическими бегущими волнами в 1970-х и начале 1980-х годов. Неоднородность ландшафта также была предложена как причина периодических бегущих волн, наблюдаемых в экологии. ^[21]
• Вторжения , которые могут оставлять после себя периодическую бегущую волну. ^{[11] [12] [22]} Это важно в системе Тейлора-Куэтта при наличии сквозного потока, ^[23] в химических системах, таких как реакция Белоусова-Жаботинского ^{[24] [25]} и в системах хищник-жертва в экологии . ^{[26] [27]}

• 

  Волны, генерируемые граничным условием Дирихле на центральном отверстии

  Границы доменов с граничными условиями Дирихле или Робина . ^{[28] [29] [30]} Это потенциально важно в экологии , где условия Робина или Дирихле соответствуют границе между средой обитания и окружающей враждебной средой. Однако окончательные эмпирические доказательства причины волн трудно получить для экологических систем.
• Миграция, вызванная преследованием и уклонением . ^[31] Это может иметь важное значение в экологии .
• Миграция между субпопуляциями , ^[32] которая опять же имеет потенциальное экологическое значение.

Во всех этих случаях ключевым вопросом является то, какой член периодического семейства бегущих волн выбран. Для большинства математических систем это остается открытой проблемой.

Пространственно-временной хаос

Периодические бегущие волны и хаос при имитации вторжения хищников на добычу

Обычно для некоторых значений параметров периодические бегущие волны, возникающие из механизма генерации волн, нестабильны. В таких случаях решение обычно эволюционирует к пространственно-временному хаосу . ^{[11] [27]} Таким образом, решение включает пространственно-временной переход к хаосу через периодическую бегущую волну.

Лямбда-омега-системы и комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау

Существуют две конкретные математические системы, которые служат прототипами для периодических бегущих волн и которые были основополагающими для развития математического понимания и теории. Это класс уравнений реакции-диффузии "лямбда-омега" ^[1] $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\lambda (r)u-\omega (r)v}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+\omega (r)u+\lambda (r)v}$$

( ) и комплексное уравнение Гинзбурга–Ландау . ^[2] ${\textstyle r={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=A+(1+ib){\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}-(1+ic)|A|^{2}A}$$

( A комплекснозначно). Обратите внимание, что эти системы одинаковы, если λ ( r ) = 1 − r ² , ω ( r ) = − c r ² и b = 0 . Обе системы можно упростить, переписав уравнения в терминах амплитуды ( r или | A |) и фазы (arctan( v / u ) или arg A ). После того как уравнения будут переписаны таким образом, легко увидеть, что решения с постоянной амплитудой представляют собой периодические бегущие волны, причем фаза является линейной функцией пространства и времени. Следовательно, u и v , или Re( A ) и Im( A ), являются синусоидальными функциями пространства и времени.

Эти точные решения для периодических семейств бегущих волн позволяют провести множество дальнейших аналитических исследований. Точные условия устойчивости периодических бегущих волн могут быть найдены, ^{[1] [2]} а условие абсолютной устойчивости может быть сведено к решению простого полинома . ^{[15] [16]} Также были получены точные решения для задачи выбора для волн, порожденных вторжениями ^{[22] [33]} и нулевыми граничными условиями Дирихле. ^{[34] [35]} В последнем случае для комплексного уравнения Гинзбурга–Ландау общее решение представляет собой стационарную дыру Нозаки–Бекки. ^{[34] [36]}

Большая часть работ по периодическим бегущим волнам в сложном уравнении Гинзбурга–Ландау содержится в физической литературе, где они обычно известны как плоские волны .

Численный расчет периодических бегущих волн и их устойчивости

Для большинства математических уравнений аналитический расчет периодических решений бегущей волны невозможен, и поэтому необходимо выполнять численные вычисления . Для уравнений с частными производными обозначим через x и t (одномерные) пространственные и временные переменные соответственно. Тогда периодические бегущие волны являются функциями переменной бегущей волны z = x - c t . Подстановка этой формы решения в уравнения с частными производными дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений, известную как уравнения бегущей волны. Периодические бегущие волны соответствуют предельным циклам этих уравнений, и это обеспечивает основу для численных вычислений . Стандартный вычислительный подход - численное продолжение уравнений бегущей волны. Сначала выполняется продолжение стационарного состояния, чтобы найти точку бифуркации Хопфа . Это отправная точка для ветви (семейства) периодических решений бегущей волны, которую можно отслеживать с помощью численного продолжения. В некоторых (необычных) случаях обе конечные точки ветви (семейства) периодических решений бегущей волны являются гомоклиническими решениями, ^[37] и в этом случае необходимо использовать внешнюю отправную точку, такую ​​как численное решение уравнений с частными производными.

Периодическая устойчивость бегущей волны может быть также рассчитана численно, путем вычисления спектра . Это облегчается тем фактом, что спектр периодических решений бегущей волны уравнений с частными производными полностью состоит из существенного спектра . ^[38] Возможные численные подходы включают метод Хилла ^[39] и численное продолжение спектра. ^[15] Одним из преимуществ последнего подхода является то, что его можно расширить для вычисления границ в пространстве параметров между устойчивыми и неустойчивыми волнами ^[40]

Программное обеспечение: Бесплатный пакет программного обеспечения с открытым исходным кодом Wavetrain http://www.ma.hw.ac.uk/wavetrain предназначен для численного исследования периодических бегущих волн. ^[41] Используя численное продолжение , Wavetrain способен вычислять форму и устойчивость периодических решений бегущих волн для дифференциальных уравнений в частных производных, а также области пространства параметров, в которых существуют волны и в которых они устойчивы.

Приложения

Примеры явлений, напоминающих периодические бегущие волны, обнаруженные эмпирическим путем, включают следующее.

• Многие естественные популяции переживают многолетние циклы численности. В некоторых случаях эти популяционные циклы пространственно организованы в периодическую бегущую волну. Такое поведение было обнаружено у полевок в Фенноскандии ^[13] и Северной Великобритании, ^[14] пядениц в Северной Фенноскандии, ^[42] лиственничных листоверток в европейских Альпах ^[21] и красных куропаток в Шотландии. ^[43]
• В полупустынях растительность часто самоорганизуется в пространственные узоры . ^[44] На склонах это обычно состоит из полос растительности, идущих параллельно контурам , разделенных полосами голой земли; этот тип полосатой растительности иногда называют тигровым кустом . Во многих наблюдательных исследованиях сообщалось о медленном движении полос в направлении вверх по склону. ^[45] Однако в ряде других случаев данные явно указывают на стационарные узоры, ^[46] и вопрос о движении остается спорным. Вывод, который наиболее согласуется с имеющимися данными, заключается в том, что некоторые полосатые узоры растительности движутся, а другие нет. ^[47] Узоры в первой категории имеют форму периодических бегущих волн.
• Бегущие полосы возникают в колебательных и возбудимых химических реакциях. Они были обнаружены в 1970-х годах в реакции Белоусова-Жаботинского ^[48] и сформировали важную мотивацию для математической работы, проделанной в то время над периодическими бегущими волнами. Более поздние исследования также использовали возможность связать экспериментально наблюдаемые полосы с математической теорией периодических бегущих волн посредством детального моделирования. ^[49]
• Периодические бегущие волны возникают на Солнце как часть солнечного цикла . ^{[50] [51]} Они являются следствием генерации магнитного поля Солнца солнечным динамо . Как таковые, они связаны с солнечными пятнами .
• В гидродинамике модели конвекции часто включают периодические бегущие волны. Конкретные примеры включают бинарную конвекцию жидкости ^[52] и конвекцию нагретой проволоки. ^[53]
• Модели периодической формы бегущей волны возникают при «нестабильности принтера», при которой тонкий зазор между двумя вращающимися ацентрическими цилиндрами заполнен маслом. ^[54]

Смотрите также

• Плоская волна
• Система реакция-диффузия
• Волна

Ссылки

1. Н. Копелл, Л. Н. Ховард (1973) «Плоские волновые решения уравнений реакции–диффузии», Stud. Appl. Math. 52: 291–328.
2. IS Aranson, L. Kramer (2002) "Мир комплексного уравнения Гинзбурга–Ландау", Rev. Mod. Phys. 74: 99–143. DOI:10.1103/RevModPhys.74.99
3. S. Coombes (2001) «От периодических бегущих волн к бегущим фронтам в модели спайк-диффузный-спайк дендритных волн», Math. Biosci. 170: 155–172. DOI:10.1016/S0025-5564(00)00070-5
4. JA Sherratt, GJ Lord (2007) "Нелинейная динамика и бифуркации паттернов в модели для полос растительности в полузасушливых условиях", Theor. Popul. Biol. 71 (2007): 1–11. DOI:10.1016/j.tpb.2006.07.009
5. SA Gourley, NF Britton (1993) "Неустойчивость решений бегущей волны популяционной модели с нелокальными эффектами", IMA J. Appl. Math. 51: 299–310. DOI:10.1093/imamat/51.3.299
6. P. Ashwin, MV Bartuccelli, TJ Bridges, SA Gourley (2002) "Бегущая фронта для уравнения KPP с пространственно-временной задержкой", Z. Angew. Math. Phys. 53: 103–122. DOI:0010-2571/02/010103-20
7. М. Кот (1992) "Дискретно-временные бегущие волны: экологические примеры", J. Math. Biol. 30: 413-436. DOI:10.1007/BF00173295
8. MDS Herrera, JS Martin (2009) «Аналитическое исследование связанных решеток отображений синхронизированных состояний и бегущих волн, а также их каскадов удвоения периода», Chaos, Solitons & Fractals 42: 901–910.DOI:10.1016/j.chaos.2009.02.040
9. JA Sherratt (1996) «Периодические бегущие волны в семействе детерминированных клеточных автоматов», Physica D 95: 319–335. DOI:10.1016/0167-2789(96)00070-X
10. M. Courbage (1997) «О распространенности бегущих волн в бесконечных одномерных клеточных автоматах», Physica D 103: 133–144. DOI:10.1016/S0167-2789(96)00256-4
11. JA Sherratt (1994) «Нерегулярные следы в реакционно-диффузионных волнах», Physica D 70: 370–382. DOI:10.1016/0167-2789(94)90072-8
12. SV Petrovskii, H. Malchow (1999) "Минимальная модель формирования паттерна в системе жертва–хищник", Math. Comp. Modeling 29: 49–63. DOI:10.1016/S0895-7177(99)00070-9
13. E. Ranta, V. Kaitala (1997) "Бегущая волна в динамике популяции полевок", Nature 390: 456. DOI:10.1038/37261
14. X. Lambin, DA Elston, SJ Petty, JL MacKinnon (1998) "Пространственная асинхронность и периодические бегущие волны в циклических популяциях полевых полевок", Proc. R. Soc. Lond. B 265: 1491–1496. DOI:10.1098/rspb.1998.0462
15. JDM Rademacher, B. Sandstede , A. Scheel (2007) «Вычисление абсолютных и существенных спектров с использованием продолжения», Physica D 229: 166–183. DOI:10.1016/j.physd.2007.03.016
16. MJ Smith, JDM Rademacher, JA Sherratt (2009) «Абсолютная устойчивость волновых поездов может объяснить пространственно-временную динамику в системах реакции-диффузии типа лямбда-омега», SIAM J. Appl. Dyn. Systems 8: 1136–1159. DOI:10.1137/090747865
17. K. Maginu (1981) "Устойчивость периодических решений бегущей волны с большими пространственными периодами в системах реакции-диффузии", J. Diff. Eqns. 39: 73–99. 10.1016/0022-0396(81)90084-X
18. MJ Smith, JA Sherratt (2007) «Влияние неравных коэффициентов диффузии на периодические бегущие волны в колебательных системах реакции-диффузии», Physica D 236: 90–103. DOI:10.1016/j.physd.2007.07.013
19. Б. Сандстеде, А. Шил (2000) «Абсолютная и конвективная неустойчивость волн в неограниченных и больших ограниченных областях», Physica D 145: 233–277. DOI:10.1016/S0167-2789(00)00114-7
20. AL Kay, JA Sherratt (2000) «Пространственный шум стабилизирует периодические волновые паттерны в колебательных системах на конечных доменах», SIAM J. Appl. Math. 61: 1013–1041. DOI:10.1137/S0036139999360696
21. DM Johnson, ON Bjornstad, AM Liebhold (2006) «Ландшафтная мозаика вызывает бегущие волны вспышек численности насекомых», Oecologia 148: 51–60. DOI:10.1007/s00442-005-0349-0
22. K. Nozaki, N. Bekki (1983) "Выбор паттерна и пространственно-временной переход к хаосу в уравнении Гинзбурга–Ландау", Phys. Rev. Lett. 51: 2171-2174. DOI:10.1103/PhysRevLett.51.2171
23. А. Цамерет, В. Штейнберг (1994) "Конкурирующие состояния в системе Куэтта–Тейлора с аксиальным потоком", Phys. Rev. E 49: 4077-4086. DOI:10.1103/PhysRevE.49.4077
24. M. Ipsen, L. Kramer, PG Sorensen (2000) "Уравнения амплитуды для описания систем химической реакции–диффузии", Phys. Rep. 337: 193–235. DOI:10.1016/S0370-1573(00)00062-4
25. А. С. Михайлов, К. Шоуолтер (2006) «Управление волнами, структурами и турбулентностью в химических системах», Phys. Rep. 425: 79–194. DOI:10.1016/j.physrep.2005.11.003
26. JA Sherratt, MA Lewis, AC Fowler (1995) «Экологический хаос в результате вторжения», Proc. Natl. Acad. Sci. USA 92: 2524–2528. 10.1073/pnas.92.7.2524
27. SV Petrovskii, H. Malchow (2001) "Волна хаоса: новый механизм формирования паттернов в пространственно-временной динамике популяций", Theor. Pop. Biol. 59: 157–174. DOI:10.1006/tpbi.2000.1509
28. JA Sherratt, X. Lambin, CJ Thomas, TN Sherratt (2002) "Генерация периодических волн особенностями ландшафта в циклических системах хищник-жертва" Proc. R. Soc. Lond. B 269: 327–334. DOI:10.1098/rspb.2001.1890
29. M. Sieber, H. Malchow, SV Petrovskii (2010) "Подавление периодических бегущих волн в колебательных реакционно-диффузионных системах под действием шума", Proc. R. Soc. Lond. A 466: 1903–1917. DOI:10.1098/rspa.2009.0611
30. JA Sherratt (2008) "Сравнение генерации периодических бегущих волн граничными условиями Робина и Дирихле в колебательных уравнениях реакции-диффузии". IMA J. Appl. Math. 73: 759-781. DOI:10.1093/imamat/hxn015
31. В. Н. Бикташев, М. А. Цыганов (2009) "Спонтанные бегущие волны в колебательных системах с кросс-диффузией", Phys. Rev. E 80: art. no. 056111. DOI:10.1103/PhysRevE.80.056111
32. MR Garvie, M. Golinski (2010) «Динамика метапопуляции для пространственно расширенных взаимодействий хищник–жертва», Ecological Complexity 7: 55–59. DOI:10.1016/j.ecocom.2009.05.001
33. JA Sherratt (1994) «Об эволюции периодических плоских волн в уравнениях реакции-диффузии типа λ-ω», SIAM J. Appl. Math. 54: 1374–1385. DOI: 10.1137/S0036139993243746
34. N. Bekki, K. Nozaki (1985) "Формирования пространственных структур и дырок в обобщенном уравнении Гинзбурга–Ландау", Phys. Lett. A 110: 133–135. DOI: 10.1016/0375-9601(85)90759-5
35. JA Sherratt (2003) «Периодический выбор бегущей волны с помощью граничных условий Дирихле в колебательных системах реакции-диффузии», SIAM J. Appl. Math. 63: 1520–1538. DOI:10.1137/S0036139902392483
36. J. Lega (2001) «Решения комплексного уравнения Гинзбурга–Ландау с перемещающимися дырками: обзор», Physica D 152: 269–287. DOI:10.1016/S0167-2789(01)00174-9
37. EJ Doedel, JP Kernevez (1986) «AUTO: программное обеспечение для задач продолжения и бифуркации в обыкновенных дифференциальных уравнениях», Applied Mathematics Report , Калифорнийский технологический институт, Пасадена, США
38. Раздел 3.4.2 из B. Sandstede (2002) "Устойчивость бегущих волн". В: B. Fiedler (ред.) Handbook of Dynamical Systems II , North-Holland, Amsterdam, стр. 983–1055. http://www.dam.brown.edu/people/sandsted/publications/survey-stability-of-waves.pdf Архивировано 27.09.2013 на Wayback Machine
39. B. Deconinck, JN Kutz (2006) "Вычисление спектров линейных операторов с использованием метода Флоке–Фурье–Хилла", J. Comput. Phys. 219: 296–321. DOI:10.1016/j.jcp.2006.03.020
40. JA Sherratt (2013) "Численное продолжение границ в пространстве параметров между устойчивыми и неустойчивыми периодическими решениями бегущей волны (волнового поезда) уравнений с частными производными", Adv. Comput. Math , в печати. ​​DOI:10.1007/s10444-012-9273-0
41. JA Sherratt (2012) "Численные методы продолжения для изучения периодических решений бегущих волн (волновых поездов) уравнений с частными производными", Appl. Math. Computation 218: 4684–4694. DOI:10.1016/j.amc.2011.11.005
42. AC Nilssen, O. Tenow, H. Bylund (2007) «Волны и синхронность вспышек Epirrita autumnata/Operophtera brumata II. Активность солнечных пятен не может объяснить циклические вспышки», J. Animal Ecol. 76: 269–275. DOI:10.1111/j.1365-2656.2006.01205.x/full
43. Р. Мосс, Д. А. Элстон, А. Уотсон (2000) «Пространственная асинхронность и демографические бегущие волны во время циклов популяции красного тетерева», Экология 81: 981-989. DOI:10.1890/0012-9658
44. М. Риткерк, С.К. Деккер, ПК де Рюитер, Дж. ван де Коппель (2004) «Самоорганизованная неоднородность и катастрофические сдвиги в экосистемах», Science 305: 1926–1929.DOI: 10.1126/science.1101867
45. C. Valentin, JM d'Herbes, J. Poesen (1999) "Почвенные и водные компоненты полосчатых растительных узоров", Catena 37: 1-24. DOI:10.1016/S0341-8162(99)00053-3
46. DL Dunkerley, KJ Brown (2002) «Наклонные полосы растительности в засушливой зоне Австралии: последствия для теорий эволюции и поддержания паттернов», J. Arid Environ. 52: 163–181. DOI:10.1006/jare.2001.0940
47. В. Деблау (2010) «Модуляция структур растительности, автоматически организующихся в засушливой среде / Самоорганизованная модуляция структуры растительности в засушливом климате». Кандидатская диссертация, Свободный университет Брюсселя . «Каталог электронных устройств ULB - Эти ULBetd-04122010-093151». Архивировано из оригинала 27 сентября 2013 г. Проверено 9 января 2013 г.
48. Н. Копелл, Л. Н. Ховард (1973) «Горизонтальные полосы в реакции Белоусова», Science 180: 1171–1173. DOI:10.1126/science.180.4091.1171
49. Г. Бордюгов, Н. Фишер, Х. Энгель, Н. Манц, О. Штейнбок (2010) «Аномальная дисперсия в реакции Белоусова–Жаботинского: эксперименты и моделирование», Physica D 239: 766–775. DOI:10.1016/j.physd.2009.10.022
50. MREProctor (2006) «Действие динамо и солнце». В: M. Rieutord, B. Dubrulle (ред.) Stellar Fluid Dynamics and Numerical Simulations: From the Sun to Neutron Stars , EAS Publications Series 21: 241–273. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/mrep/solcyc/paper.pdf
51. MRE Proctor, EA Spiegel (1991) "Волны солнечной активности". В: Солнце и холодные звезды: активность, магнетизм, динамо (Конспект лекций по физике 380) стр. 117–128.DOI:10.1007/3-540-53955-7_116
52. E. Kaplan, V. Steinberg (1993) «Проскальзывание фазы, неадиабатический эффект и динамика источника бегущих волн», Phys. Rev. Lett. 71: 3291–3294. DOI:10.1103/PhysRevLett.71.3291
53. Л. Пастур, М. Т. Вестра, Д. Снук, В. ван де Уотер, М. ван Хек, К. Сторм, В. ван Саарлоос (2003) «Источники и дыры в одномерном эксперименте по конвекции бегущей волны», Физ. Откр. Е 67: ст. нет. 036305. DOI:10.1103/PhysRevE.67.036305.
54. P. Habdas, MJ Case, JR de Bruyn (2001) "Поведение дефектов стока и источника в одномерном перемещающемся пальцеобразном узоре", Phys. Rev. E 63: art.\ no.\ 066305.DOI:10.1103/PhysRevE.63.066305