Обратная теорема Пифагора

Соотношение между длинами сторон и высотой прямоугольного треугольника

Сравнение обратной теоремы Пифагора с теоремой Пифагора с использованием наименьшей положительной целой обратной пифагоровой тройки в таблице ниже.

В геометрии обратная теорема Пифагора (также известная как обратная теорема Пифагора ^[1] или перевернутая теорема Пифагора ^[2] ) выглядит следующим образом: ^[3]

Пусть A , B — концы гипотенузы прямоугольного треугольника △ ABC . Пусть D — основание перпендикуляра, опущенного из C , вершины прямого угла, на гипотенузу. Тогда

${\displaystyle {\frac {1}{CD^{2}}}={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}.}$

Эту теорему не следует путать с предложением 48 из первой книги « Начал » Евклида , обратным теореме Пифагора, которая гласит, что если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то две другие стороны содержат прямой угол.

Доказательство

Площадь треугольника △ ABC можно выразить либо через AC и BC , либо через AB и CD :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt](AC\cdot BC)^{2}&=(AB\cdot CD)^{2}\\[4pt]{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {AB^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\end{aligned}}}$

дано CD > 0 , AC > 0 и BC > 0 .

Используя теорему Пифагора ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}+AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]\quad \therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}}$

как указано выше.

Обратите внимание в частности:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

Частный случай крестообразной кривой

Крестообразная кривая или перекрёстная кривая — это кривая четвертой степени, заданная уравнением

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0}$

где два параметра, определяющие форму кривой, a и b, каждый из них равен CD .

Заменив x на AC и y на BC, получим

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}AC^{2}-CD^{2}BC^{2}&=0\\[4pt]AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\[4pt]{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]\therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}}$

Обратные пифагоровы тройки могут быть сгенерированы с использованием целочисленных параметров t и u следующим образом. ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}AC&=(t^{2}+u^{2})(t^{2}-u^{2})\\BC&=2tu(t^{2}+u^{2})\\CD&=2tu(t^{2}-u^{2})\end{aligned}}}$

Приложение

Если две одинаковые лампы поместить в точки A и B , то теорема и закон обратных квадратов подразумевают , что интенсивность света в точке C будет такой же, как и при размещении одной лампы в точке D.

Смотрите также

• Теорема о среднем геометрическом  – Теорема о прямоугольных треугольниках
• Теорема Пифагора  – Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника

Ссылки

1. Р. Б. Нельсен, Доказательство без слов: обратная теорема Пифагора, Mathematics Magazine, 82, декабрь 2009 г., стр. 370
2. Перевернутая теорема Пифагора, Дженнифер Ричиник, The Mathematical Gazette, том 92, № 524 (июль 2008 г.), стр. 313-316
3. Йохан Вестлунд, «Суммирование обратных квадратов по евклидовой геометрии», http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf, стр. 4–5.
4. «Диофантово уравнение трёх переменных».