Плоскость Мёбиуса

В математике классическая плоскость Мёбиуса (названная в честь Августа Фердинанда Мёбиуса ) — это евклидова плоскость, дополненная единственной точкой на бесконечности . Она также называется инверсной плоскостью , поскольку замкнута относительно инверсии относительно любой обобщенной окружности и, таким образом, является естественным окружением для плоской инверсной геометрии .

Инверсия плоскости Мёбиуса относительно любой окружности — это инволюция , которая фиксирует точки на окружности и меняет местами точки внутри и снаружи, при этом центр окружности меняется местами с точкой в ​​бесконечности. В инверсивной геометрии прямая линия рассматривается как обобщенная окружность, содержащая точку в бесконечности; инверсия плоскости относительно прямой — это евклидово отражение .

В более общем смысле, плоскость Мёбиуса — это структура инцидентности с теми же отношениями инцидентности, что и классическая плоскость Мёбиуса. Это одна из плоскостей Бенца : плоскость Мёбиуса, плоскость Лагерра и плоскость Минковского .

Отношение к аффинным плоскостям

Плоскость Мёбиуса: касательное отношение

Аффинные плоскости — это системы точек и прямых, которые удовлетворяют, среди прочего, свойству, что две точки определяют ровно одну прямую. Эту концепцию можно обобщить на системы точек и окружностей, при этом каждая окружность определяется тремя неколлинеарными точками. Однако три коллинеарные точки определяют прямую , а не окружность. Этот недостаток можно устранить, добавив к каждой прямой точку на бесконечности . Если мы назовем и окружности, и такие завершенные прямые циклами , мы получим структуру инцидентности , в которой каждые три точки определяют ровно один цикл.

В аффинной плоскости отношение параллельности между прямыми является существенным. В геометрии циклов это отношение обобщается до отношения касания . Два цикла касаются друг друга, если у них есть хотя бы одна общая точка. Это верно для двух касающихся окружностей или прямой, касающейся окружности . Две завершенные прямые касаются, если у них есть только общая точка на бесконечности, поэтому они параллельны. Отношение касания обладает свойством

• для любого цикла , точки на и любой точки не на существует ровно один цикл, содержащий точки и касающиеся (в точке ). ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P}$

Эти свойства по существу определяют аксиоматическую плоскость Мёбиуса . Но классическая плоскость Мёбиуса — не единственная геометрическая структура, которая удовлетворяет свойствам аксиоматической плоскости Мёбиуса. Простой пример плоскости Мёбиуса можно получить, заменив действительные числа рациональными числами . Использование комплексных чисел (вместо действительных чисел) не приводит к плоскости Мёбиуса, потому что в комплексной аффинной плоскости кривая является не окружностью, а гиперболой. К счастью, существует множество полей (чисел) вместе с подходящими квадратичными формами , которые приводят к плоскостям Мёбиуса (см. ниже). Такие примеры называются микелевскими , потому что они удовлетворяют теореме Микеля . Все эти микелевы плоскости Мёбиуса можно описать с помощью пространственных моделей. Классическую действительную плоскость Мёбиуса можно рассматривать как геометрию окружностей на единичной сфере. Существенным преимуществом пространственной модели является то, что любой цикл представляет собой просто окружность (на сфере). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Классическая действительная плоскость Мёбиуса

классическая плоскость Мёбиуса:2d/3d-модель

Начнем с действительной аффинной плоскости с квадратичной формой и получим действительную евклидову плоскость : — это множество точек , линии описываются уравнениями или , а окружность — это множество точек, которое удовлетворяет уравнению ${\displaystyle {\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=mx+b}$ ${\displaystyle x=c}$

${\displaystyle \rho (x-x_{0},y-y_{0})=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2},\ r>0}$.

Геометрию прямых и окружностей евклидовой плоскости можно гомогенизировать (аналогично проективному дополнению аффинной плоскости), вложив ее в структуру инцидентности

${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

с

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \},\infty \notin \mathbb {R} }$, множество точек и

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{g\cup \{\infty \}\mid g{\text{ line of }}{\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )\}\cup \{k\mid k{\text{ circle of }}{\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )\}}$ набор циклов .

Тогда называется классической действительной плоскостью Мёбиуса . ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

В новой структуре завершенные линии больше не играют особой роли. Очевидно, имеет следующие свойства. ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

• Для любого набора из трех точек существует ровно один цикл, содержащий . ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B,C}$
• Для любого цикла , любой точки и существует ровно один цикл с: и , т.е. и касаются друг друга в точке . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P\in z}$ ${\displaystyle Q\notin z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P,Q\in z'}$ ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$можно описать с помощью комплексных чисел. представляет точку и является комплексно сопряженным числом . ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \},\infty \notin \mathbb {C} }$, и

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{\{z\in \mathbb {C} \mid az+{\overline {az}}+b=0\ {\text{(line)}}\ \}\cup \{\infty \}\mid \ 0\neq a\in \mathbb {C} ,b\in \mathbb {R} \}}$

${\displaystyle \cup \{\{z\in \mathbb {C} \mid (z-z_{0}){\overline {(z-z_{0})}}=d\ {\text{(circle)}}\mid z_{0}\in \mathbb {C} ,d\in \mathbb {R} ,d>0\}.}$

Преимущество этого описания в том, что можно легко проверить, что следующие перестановки циклов отображения переходят в циклы. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

(1) с (вращением + расширением) ${\displaystyle z\rightarrow rz,\ \ \infty \rightarrow \infty ,\quad }$ ${\displaystyle r\in \mathbb {C} }$

(2) с (переводом) ${\displaystyle z\rightarrow z+s,\ \ \infty \rightarrow \infty ,\quad }$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

(3) (отражение в ) ${\displaystyle z\rightarrow \displaystyle {\frac {1}{z}},\ z\neq 0,\ \ 0\rightarrow \infty ,\ \ \infty \rightarrow 0,\quad }$ ${\displaystyle \pm 1}$

(4) (отражение или инверсия относительно действительной оси) ${\displaystyle z\rightarrow {\overline {z}},\ \ \infty \rightarrow \infty .\quad }$

Рассматривая как проективную прямую над , можно распознать, что отображения (1)-(3) порождают группу (см. PGL(2,C) , преобразование Мёбиуса ). Геометрия является однородной структурой, т.е. ее группа автоморфизмов транзитивна . Следовательно, из (4) получаем: Для любого цикла существует инверсия . Например: — инверсия, которая фиксирует единичную окружность . Это свойство дает альтернативное название инверсная плоскость . ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ ${\displaystyle z\rightarrow {\tfrac {1}{\overline {z}}}}$ ${\displaystyle z{\overline {z}}=1}$

стереографическая проекция

Аналогично пространственной модели дезарговой проективной плоскости существует пространственная модель для геометрии , которая опускает формальное различие между циклами, определяемыми линиями, и циклами, определяемыми окружностями: Геометрия изоморфна геометрии окружностей на сфере. Изоморфизм может быть выполнен с помощью подходящей стереографической проекции . Например: ^[1] ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

${\displaystyle \Phi :\ (x,y)\rightarrow \left({\frac {x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)=(u,v,w)\ .}$

${\displaystyle \Phi }$это проекция с центром и картами ${\displaystyle (0,0,1)}$

• -плоскость на сферу с уравнением , средней точкой и радиусом ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle u^{2}+v^{2}+w^{2}-w=0}$ ${\displaystyle (0,0,{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}};}$
• окружность с уравнением в плоскость . Это означает, что изображение окружности является плоским сечением сферы и, следовательно, снова окружностью (на сфере). Соответствующие плоскости не содержат центр, ; ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-ax-by-c=0}$ ${\displaystyle au+bv-(1+c)w+c=0}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$
• прямую в плоскость . Таким образом, изображение прямой — это окружность (на сфере), проходящая через точку , но минуя точку ${\displaystyle ax+by+c=0}$ ${\displaystyle au+bv-cw+c=0}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,1).}$

Аксиомы плоскости Мёбиуса

Поведение инцидентности классической действительной плоскости Мёбиуса приводит к следующему определению аксиоматической плоскости Мёбиуса.

Плоскость Мёбиуса: аксиомы (A1),(A2)

Структура инцидентности с множеством точек и множеством циклов называется плоскостью Мёбиуса, если выполняются следующие аксиомы: ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

A1: Для любых трех точек существует ровно один цикл , содержащий . ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B,C}$

A2: Для любого цикла , любой точки и существует ровно один цикл с: и ( и касаются друг друга в точке ). ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P\in z}$ ${\displaystyle Q\notin z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P,Q\in z'}$ ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P}$

A3: Любой цикл содержит не менее трех точек. Существует не менее одного цикла.

Четыре точки являются конциклическими, если существует цикл с . ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B,C,D\in z}$

Не следует ожидать, что приведенные выше аксиомы определяют классическую действительную плоскость Мёбиуса. Существует много аксиоматических плоскостей Мёбиуса, которые отличаются от классической (см. ниже). Подобно минимальной модели аффинной плоскости, «минимальная модель» плоскости Мёбиуса. Она состоит из точек: ${\displaystyle 5}$

Плоскость Мёбиуса: минимальная модель (нарисованы только циклы, содержащие . Любой набор из 3 точек является циклом.) ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\{A,B,C,D,\infty \},\quad {\mathcal {Z}}:=\{z\mid z\subset {\mathcal {P}},|z|=3\}.}$ Следовательно: ${\displaystyle |{\mathcal {Z}}|={5 \choose 3}=10.}$

Связь между классической плоскостью Мёбиуса и реальной аффинной плоскостью аналогична связи между минимальной моделью плоскости Мёбиуса и минимальной моделью аффинной плоскости. Эта сильная связь типична для плоскостей Мёбиуса и аффинных плоскостей (см. ниже).

Для плоскости Мёбиуса мы определяем структуру и называем ее остатком в точке P. ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus \{P\},\{z\setminus \{P\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\},\in )}$

Для классической модели вычет в точке является базовой вещественной аффинной плоскостью. Сущностный смысл вычета показывает следующая теорема. ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \infty }$

Теорема: Любой остаток плоскости Мёбиуса является аффинной плоскостью.

Эта теорема позволяет использовать многочисленные результаты об аффинных плоскостях для исследований плоскостей Мёбиуса и приводит к эквивалентному определению плоскости Мёбиуса:

Теорема: Структура инцидентности является плоскостью Мёбиуса тогда и только тогда, когда выполняется следующее свойство: ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

A': Для любой точки вычет является аффинной плоскостью. ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}}$

Для конечных плоскостей Мёбиуса, т.е. , имеем (как и для аффинных плоскостей): ${\displaystyle |{\mathcal {P}}|<\infty }$

Любые два цикла плоскости Мёбиуса имеют одинаковое количество точек.

Это оправдывает следующее определение:

Для конечной плоскости Мёбиуса и цикла целое число называется порядком ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ ${\displaystyle z\in {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle n:=|z|-1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}.}$

Из комбинаторики получаем:

Пусть — плоскость Мёбиуса порядка . Тогда а) любой остаток — аффинная плоскость порядка , б) , в) ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |{\mathcal {P}}|=n^{2}+1}$ ${\displaystyle |{\mathcal {Z}}|=n(n^{2}+1).}$

Микелевские плоскости Мёбиуса

В поисках дополнительных примеров плоскостей Мёбиуса кажется многообещающим обобщить классическую конструкцию, начинающуюся с квадратичной формы на аффинной плоскости над полем для определения окружностей. Но просто заменить действительные числа любым полем и сохранить классическую квадратичную форму для описания окружностей в общем случае не получится. Для получения подробностей следует заглянуть в примечание к лекции ниже. Таким образом, только для подходящих пар полей и квадратичных форм можно получить плоскости Мёбиуса . Они (как классическая модель) характеризуются огромной однородностью и следующей теоремой Микеля. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$

Теорема Микеля

Теорема (Мигель): Для плоскости Мёбиуса справедливо следующее: если для любых 8 точек , которые можно сопоставить вершинам куба таким образом, что точки в 5 гранях соответствуют конциклическим четверкам, то шестая четверка точек также будет конциклической. ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$
${\displaystyle P_{1},...,P_{8}}$

Обратное тоже верно.

Теорема (Чэнь): Только плоскость Мёбиуса удовлетворяет теореме Микеля. ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$

Из-за последней теоремы плоскость Мёбиуса называется микелевой плоскостью Мёбиуса . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$

Замечание: Минимальная модель плоскости Мёбиуса — микелиана. Она изоморфна плоскости Мёбиуса

${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$с (полем ) и . ${\displaystyle K=\mathrm {GF} (2)}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$

(Например, единичная окружность — это множество точек .) ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}=1}$ ${\displaystyle \{(0,1),(1,0),(1,1)\}}$

Замечание: Если мы выберем поле комплексных чисел, то подходящей квадратичной формы вообще не существует. ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$

Выбор (поле рациональных чисел) и является подходящим. ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}+y^{2}}$

Выбор (поле рациональных чисел) и тоже подходит. ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}-2y^{2}}$

Замечание: Стереографическая проекция показывает: изоморфна геометрии плоскости ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$

сечения на сфере (невырожденной квадрике индекса 1) в проективном 3-мерном пространстве над полем . ${\displaystyle K}$

Замечание: Доказательство теоремы Микеля для классического (действительного) случая можно найти здесь . Оно элементарно и основано на теореме о вписанном угле .

Замечание: существует много плоскостей Мёбиуса, которые не являются микелевскими (см. ссылку ниже). Класс, который наиболее похож на микелевские плоскости Мёбиуса, — это овоидальные плоскости Мёбиуса . Овоидальная плоскость Мёбиуса — это геометрия плоских сечений овоида . Овоид — это квадратичное множество и обладает теми же геометрическими свойствами, что и сфера в проективном 3-мерном пространстве: 1) прямая не пересекает овоид ни в одной точке, а только в одной или двух точках и 2) в любой точке овоида множество касательных линий образует плоскость, касательную плоскость . Простой овоид в действительном 3-мерном пространстве можно построить, склеив две подходящие половинки различных эллипсоидов, так что результат не будет квадрикой. Даже в конечном случае существуют овоиды (см. квадратичное множество ). Овоидальные плоскости Мёбиуса характеризуются теоремой о расслоении .

Конечные плоскости Мёбиуса и блочные конструкции

Блок -схема с параметрами одноточечного расширения конечной аффинной плоскости порядка , т.е. - -схема, является плоскостью Мёбиуса порядка . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle (n^{2}+1,n+1,1)}$ ${\displaystyle n}$

Эти конечные блочные конструкции удовлетворяют аксиомам, определяющим плоскость Мёбиуса, когда окружность интерпретируется как блок конструкции.

Единственные известные конечные значения для порядка плоскости Мёбиуса — это простые числа или степени простых чисел. Единственные известные конечные плоскости Мёбиуса построены в конечных проективных геометриях.

Смотрите также

• Конформная геометрия
• Преобразование Мёбиуса

Ссылки

1. Плоская круговая геометрия, введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского. (PDF; 891 кБ), С. 60.

• В. Бенц, Vorlesungen über Geometrie der Algebren , Springer (1973)
• Ф. Букенхаут (ред.), Справочник по геометрии инцидентности , Elsevier (1995) ISBN  0-444-88355-X
• П. Дембовски, Конечные геометрии , Springer-Verlag (1968) ISBN 3-540-61786-8 

Внешние ссылки

• Плоскость Мёбиуса в Энциклопедии математики
• Самолет Бенца в Энциклопедии математики
• Конспект лекций «Плоская круговая геометрия», введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского