В математике термин « существенно уникальный» используется для описания более слабой формы уникальности, где объект, удовлетворяющий свойству, «уникален» только в том смысле, что все объекты, удовлетворяющие свойству, эквивалентны друг другу. Понятие существенной уникальности предполагает некоторую форму «одинаковости», которая часто формализуется с помощью отношения эквивалентности .
Связанное понятие — универсальное свойство , где объект не только по существу уникален, но и уникален с точностью до уникального изоморфизма [1] (что означает, что он имеет тривиальную группу автоморфизмов ). В общем случае может быть более одного изоморфизма между примерами по существу уникального объекта.
На самом базовом уровне существует по существу уникальный набор любой заданной мощности , независимо от того, маркируются ли элементы или . В этом случае неоднозначность изоморфизма (например, соответствие 1 или 1 ) отражается в симметричной группе .
С другой стороны, существует по существу единственное полностью упорядоченное множество любой заданной конечной мощности, которое является единственным с точностью до единственного изоморфизма: если написать и , то единственным сохраняющим порядок изоморфизмом будет тот, который отображает 1 в , 2 в , а 3 в .
Основная теорема арифметики устанавливает, что разложение любого положительного целого числа на простые числа по существу уникально, т. е. уникально с точностью до порядка простых множителей . [2] [3]
В контексте классификации групп существует по существу уникальная группа, содержащая ровно 2 элемента. [3] Аналогично, существует также по существу уникальная группа, содержащая ровно 3 элемента: циклическая группа порядка три. Фактически, независимо от того, как кто-то выбирает для записи трех элементов и обозначения групповой операции, все такие группы, как можно показать, изоморфны друг другу, и, следовательно, являются «одинаковыми».
С другой стороны, не существует по существу единственной группы, состоящей ровно из 4 элементов, поскольку в этом случае имеется всего две неизоморфные группы: циклическая группа порядка 4 и четверная группа Клейна . [4]
Существует по существу уникальная мера, которая является инвариантной относительно трансляции , строго положительной и локально конечной на действительной прямой . Фактически, любая такая мера должна быть постоянным кратным меры Лебега , указывая, что мера единичного интервала должна быть 1 — до определения решения однозначно.
Существует по существу единственное двумерное, компактное , односвязное многообразие : 2-сфера . В этом случае оно единственно с точностью до гомеоморфизма .
В области топологии, известной как теория узлов , существует аналог фундаментальной теоремы арифметики: разложение узла на сумму простых узлов по существу единственно. [5]
Максимальная компактная подгруппа полупростой группы Ли может быть не единственной, но единственна с точностью до сопряжения .
Объект, являющийся пределом или копределом на данной диаграмме, по сути уникален, поскольку существует уникальный изоморфизм с любым другим ограничивающим/копредельным объектом. [6]
Учитывая задачу использования 24- битных слов для хранения 12 бит информации таким образом, чтобы можно было обнаружить 4-битные ошибки и исправить 3-битные ошибки, решение по сути уникально: расширенный двоичный код Голея . [7]
