Повышение дискретизации

Метод передискретизации цифрового сигнала

В цифровой обработке сигналов повышающая дискретизация , расширение и интерполяция — это термины, связанные с процессом повторной дискретизации в многоскоростной системе цифровой обработки сигналов. Повышение дискретизации может быть синонимом расширения или может описывать весь процесс расширения и фильтрации ( интерполяции ). ^{[1] [2] [3]} Когда повышающая дискретизация выполняется над последовательностью выборок сигнала или другой непрерывной функции, она создает аппроксимацию последовательности, которая была бы получена путем дискретизации сигнала с более высокой скоростью (или плотностью , как в случае с фотографией). Например, если звук компакт-диска со скоростью 44 100 выборок в секунду подвергается повышающей дискретизации в 5/4 раза, результирующая частота дискретизации составит 55 125.

Рис. 1: Изображение одного скалярного произведения, дающего одну выходную выборку (зеленого цвета), для случая L=4, n=9, j=3. Между каждой парой входных выборок изображены три концептуальных «вставленных нуля». Исключение их из расчета — вот что отличает многоскоростной фильтр от моноскоростного фильтра.

Повышение дискретизации с помощью целочисленного коэффициента

Увеличение скорости на целочисленный коэффициент можно объяснить как двухэтапный процесс с эквивалентной, более эффективной реализацией : ^[4] ${\displaystyle L}$

1. Расширение : Создайте последовательность, состоящую из исходных образцов, разделенных нулями. Обозначение этой операции : ${\displaystyle x_{L}[n],}$ ${\displaystyle x[n],}$ ${\displaystyle L-1}$  ${\displaystyle x_{L}[n]=x[n]_{\uparrow L}.}$
2. Интерполяция : сгладьте разрывы с помощью фильтра нижних частот , который заменяет нули.

В этом приложении фильтр называется интерполяционным фильтром , а его конструкция обсуждается ниже. Когда интерполяционный фильтр относится к типу КИХ , его эффективность можно повысить, поскольку нули не вносят никакого вклада в вычисления скалярного произведения . Их легко исключить как из потока данных, так и из вычислений. Расчет, выполняемый многоскоростным интерполяционным КИХ-фильтром для каждой выходной выборки, представляет собой скалярное произведение : ^[a]

где последовательность представляет собой импульсную характеристику интерполяционного фильтра и представляет собой наибольшее значение, для которого не равно нулю. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h[j+kL]}$

В этом случае   функцию можно спроектировать как полуполосный фильтр , где почти половина коэффициентов равна нулю и не требует включения в скалярное произведение. Коэффициенты импульсной характеристики, взятые с интервалами, образуют подпоследовательность, причем существуют такие подпоследовательности (называемые фазами ), мультиплексированные вместе. Каждая из фаз импульсной характеристики фильтрует одни и те же последовательные значения потока данных и создает одно из последовательных выходных значений. В некоторых многопроцессорных архитектурах эти скалярные произведения выполняются одновременно, и в этом случае это называется многофазным фильтром. ${\displaystyle L=2,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$

Для полноты картины упомянем теперь, что возможная, но маловероятная реализация каждой фазы заключается в замене коэффициентов других фаз нулями в копии массива и обработке   последовательности в разы быстрее, чем исходная скорость ввода. Тогда каждый выход равен нулю. Искомая последовательность представляет собой сумму фаз, где члены каждой суммы тождественно равны нулю. Вычисление нулей между полезными выходами фазы и добавление их к сумме фактически является прореживанием. Это тот же результат, что и вообще не вычислять их. Эта эквивалентность известна как вторая дворянская идентичность . ^[5] Иногда он используется при разработке многофазного метода. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x_{L}[n]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L-1}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L-1}$ ${\displaystyle L-1}$

Проект интерполяционного фильтра

Рис. 2: Первый треугольник первого графика представляет собой преобразование Фурье X ( f ) непрерывной функции x(t) . Весь первый график изображает преобразование Фурье в дискретном времени последовательности x[n] , сформированной путем выборки непрерывной функции x(t) с низкой скоростью 1/T . На втором графике показано применение фильтра нижних частот на более высокой скорости передачи данных, реализованное путем вставки нулевых выборок между исходными. И третий график — это DTFT выходного сигнала фильтра. В нижней таблице указана максимальная полоса пропускания фильтра в различных единицах частоты, используемых инструментами проектирования фильтров.

Пусть – преобразование Фурье любой функции, выборки которой на некотором интервале равны последовательности. Тогда преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT) последовательности представляет собой представление ряда Фурье периодического суммирования [ ^b] ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle x(t),}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle X(f):}$

Если есть единицы секунды, то есть единицы герцы (Гц) . Уменьшение времени выборки (с интервалом ) увеличивает периодичность в ^[c] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T/L}$ ${\displaystyle L:}$

что также является желаемым результатом интерполяции. Пример обоих этих распределений изображен на первом и третьем графиках рис. 2. ^[6] 

Когда в дополнительные выборки вставляются нули, они уменьшают интервал выборки до Опуская нулевые члены ряда Фурье, это можно записать как: ${\displaystyle T/L.}$

${\displaystyle \sum _{n=0,\pm L,\pm 2L,...,\pm \infty }{}x(nT/L)\ e^{-i2\pi fnT/L}\quad {\stackrel {m\ \triangleq \ n/L}{\longrightarrow }}\sum _{m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \infty }{}x(mT)\ e^{-i2\pi fmT},}$

что эквивалентно уравнению 2 независимо от значения. Эта эквивалентность изображена на втором графике фиг.2. Единственное отличие состоит в том, что доступная цифровая полоса пропускания расширяется до , что увеличивает количество периодических спектральных изображений в новой полосе пропускания. Некоторые авторы описывают это как новые частотные компоненты. ^[7]   На втором графике также изображен фильтр нижних частот, приводящий к желаемому спектральному распределению (третий график). Полоса пропускания фильтра представляет собой частоту Найквиста исходной последовательности. ^[A]   Это значение выражается в Гц,   но приложения для проектирования фильтров обычно требуют нормализованных единиц . (см. рис. 2, таблицу) ${\displaystyle L.}$ ${\displaystyle L/T}$ ${\displaystyle L=3,}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{T}},}$

Повышение дискретизации с помощью дробного коэффициента

Пусть L / M обозначает коэффициент повышающей дискретизации, где L  >  M.

1. Повышение дискретизации в L раз
2. Понижение дискретизации в M раз

Для повышения частоты дискретизации требуется фильтр нижних частот после увеличения скорости передачи данных, а для понижающей дискретизации требуется фильтр нижних частот перед децимацией. Следовательно, обе операции могут быть выполнены с помощью одного фильтра с меньшей из двух частот среза. Для случая L  >  M срез интерполяционного фильтра,   циклов на промежуточную выборку , является более низкой частотой. ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{L}}}$

Смотрите также

• Понижение разрешения
• Многоскоростная цифровая обработка сигналов
• Полуполосный фильтр
• Передискретизация
• Выборка (теория информации)
• Сигнал (теория информации)
• Конверсия данных
• Интерполяция
• Формула суммирования Пуассона

Примечания

1. Реализуемые фильтры нижних частот имеют полосу перехода , в которой отклик уменьшается от почти единицы до почти нуля. Таким образом, на практике частота среза располагается достаточно далеко ниже теоретического среза, так что полоса перехода фильтра находится ниже теоретического среза.

Цитаты страниц

1. Крошер и Рабинер «2.3». р 38. уравнение 2.80, где     также требуется     и   ${\displaystyle m\triangleq j+nL,}$ ${\displaystyle n={\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor },}$ ${\displaystyle j=m-nL.}$
2. Харрис 2004. «2.2». п 23. рис 2.12 (вверху).
3. Харрис 2004. «2.2». п 23. рис 2.12 (внизу).

Рекомендации

1. Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В.; Бак, Джон Р. (1999). «4.6.2» . Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 172. ИСБН 0-13-754920-2.
2. Крошер, RE; Рабинер, Л.Р. (1983). «2,3». Многоскоростная цифровая обработка сигналов. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 35–36. ISBN 0136051626.
3. Пуларикас, Александр Д. (сентябрь 1998 г.). Справочник формул и таблиц для обработки сигналов (1-е изд.). ЦРК Пресс. стр. 42–48. ISBN 0849385792.
4. Харрис, Фредерик Дж. (24 мая 2004 г.). «2,2». Многоскоростная обработка сигналов для систем связи . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: PTR Prentice Hall. стр. 20–21. ISBN 0131465112. Процесс повышающей выборки можно представить как двухэтапную последовательность действий. Процесс начинается с увеличения частоты дискретизации входного ряда x(n) путем повторной выборки [расширения]. Временной ряд с нулевой упаковкой обрабатывается фильтром h(n). В действительности процессы увеличения частоты дискретизации и уменьшения полосы пропускания объединены в один процесс, называемый многоскоростным фильтром.
5. Стрэнг, Гилберт ; Нгуен, Труонг (1 октября 1996 г.). Вейвлеты и банки фильтров (2-е изд.). Уэлсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press. п. 101. ИСБН 0961408871. Благородные Идентичности применимы к каждому многофазному компоненту... они не применимы ко всему фильтру.
6. Тан, Ли (21 апреля 2008 г.). «Повышающая и понижающая дискретизация». eetimes.com . ЭЭ Таймс . Проверено 27 июня 2024 г. глава 12.1.2, рисунок 12-5B
7. Лайонс, Рик (23 марта 2015 г.). «Почему нулевое заполнение во временной области создает несколько спектральных изображений в частотной области». dspreled.com . Архивировано из оригинала 30 сентября 2023 г. Проверено 31 января 2024 г.

дальнейшее чтение

• «Домашняя страница цифрового аудио передискретизации».(обсуждается метод интерполяции с ограниченной полосой пропускания)
• «Пример Matlab использования многофазных фильтров для интерполяции».