В математике , в частности в теории групп , подгруппа Холла конечной группы G — это подгруппа , порядок которой взаимно прост с ее индексом . Они были введены теоретиком групп Филиппом Холлом (1928).
Делитель Холла (также называемый унитарным делителем ) целого числа n — это делитель d числа n, такой что d и n / d взаимно просты. Самый простой способ найти делители Холла — это записать разложение на простые множители рассматриваемого числа и взять любое подмножество множителей. Например, чтобы найти делители Холла числа 60, его разложение на простые множители равно 2 2 × 3 × 5, поэтому можно взять любое произведение 3, 2 2 = 4 и 5. Таким образом, делители Холла числа 60 равны 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20 и 60.
Холловская подгруппа группы G — это подгруппа, порядок которой является делителем Холла порядка группы G. Другими словами, это подгруппа, порядок которой взаимно прост с ее индексом.
Если π — множество простых чисел , то π - холлова подгруппа — это подгруппа, порядок которой является произведением простых чисел из π , а индекс не делится ни на одно простое число из π .
Холл (1928) доказал , что если G — конечная разрешимая группа , а π — любое множество простых чисел, то G имеет холлову π -подгруппу, и любые две холловы π -подгруппы сопряжены. Более того, любая подгруппа, порядок которой является произведением простых чисел в π, содержится в некоторой холловской π -подгруппе . Этот результат можно рассматривать как обобщение теоремы Силова на холловы подгруппы, но приведенные выше примеры показывают, что такое обобщение ложно, когда группа неразрешима.
Существование холловских подгрупп можно доказать индукцией по порядку G , используя тот факт, что каждая конечная разрешимая группа имеет нормальную элементарную абелеву подгруппу. Точнее, зафиксируем минимальную нормальную подгруппу A , которая является либо π -группой , либо π′ -группой , поскольку G является π -отделимой . По индукции существует подгруппа H группы G , содержащая A , такая, что H / A является π -холловской подгруппой группы G / A . Если A является π -группой , то H является π -холловской подгруппой группы G . С другой стороны, если A является π′ -группой , то по теореме Шура–Цассенхауза A имеет дополнение в H , которое является π -холловской подгруппой группы G .
Любая конечная группа, имеющая холлову π -подгруппу для каждого множества простых чисел π, разрешима. Это обобщение теоремы Бернсайда о том, что любая группа, порядок которой имеет вид p a q b для простых чисел p и q, разрешима, поскольку теорема Силова подразумевает, что все холловы подгруппы существуют. Это (в настоящее время) не дает другого доказательства теоремы Бернсайда, поскольку теорема Бернсайда используется для доказательства этого обратного утверждения .
Силовская система — это множество силовских p -подгрупп S p для каждого простого числа p, такое, что S p S q = S q S p для всех p и q . Если у нас есть силовская система, то подгруппа, порожденная группами S p для p из π, является холловской π -подгруппой . Более точная версия теоремы Холла гласит, что любая разрешимая группа имеет силовскую систему, и любые две силовские системы сопряжены.
Любая нормальная холлова подгруппа H конечной группы G обладает дополнением , то есть существует некоторая подгруппа K группы G , которая пересекает H тривиально и такая, что HK = G (то есть G является полупрямым произведением H и K ). Это теорема Шура–Цассенхауза .