Счетная мера

Математическая концепция

В математике , в частности в теории меры , счетная мера является интуитивным способом определения меры для любого множества – «размер» подмножества принимается равным числу элементов в подмножестве, если подмножество имеет конечное число элементов, и бесконечности ${\displaystyle \infty }$ , если подмножество бесконечно . ^[1]

Мера подсчета может быть определена на любом измеримом пространстве (то есть на любом множестве вместе с сигма-алгеброй), но в основном используется на счетных множествах. ^[1] ${\displaystyle X}$

В формальной нотации мы можем превратить любое множество в измеримое пространство, взяв множество мощности как сигма-алгебру , то есть все подмножества являются измеримыми множествами. Тогда счетная мера на этом измеримом пространстве является положительной мерой, определяемой для всех , где обозначает мощность множества ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma ;}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma \to [0,+\infty ]}$ $${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{if }}A{\text{ is finite}}\\+\infty &{\text{if }}A{\text{ is infinite}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle A\in \Sigma ,}$ ${\displaystyle \vert A\vert }$ ${\displaystyle A.}$

Счетная мера на является σ-конечной тогда и только тогда , когда пространство счетно . ^[3] ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$

Интеграция на Н {\displaystyle \mathbb {N} } с подсчетом меры

Возьмем мерное пространство , где есть множество всех подмножеств натуральных чисел и счетная мера. Возьмем любую измеримую . Так как она определена на , может быть представлена ​​поточечно как ${\displaystyle (\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },\mu )}$ ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)1_{\{n\}}(x)=\lim _{M\to \infty }\underbrace {\ \sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\ } _{\phi _{M}(x)}=\lim _{M\to \infty }\phi _{M}(x)}$$

Каждое измеримо. Более того . Более того, поскольку каждое из них является простой функцией , то по теореме о монотонной сходимости ${\displaystyle \phi _{M}}$ ${\displaystyle \phi _{M+1}(x)=\phi _{M}(x)+f(M+1)\cdot 1_{\{M+1\}}(x)\geq \phi _{M}(x)}$ ${\displaystyle \phi _{M}}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\int _{\mathbb {N} }\left(\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\right)d\mu =\sum _{n=1}^{M}f(n)\mu (\{n\})=\sum _{n=1}^{M}f(n)\cdot 1=\sum _{n=1}^{M}f(n)}$$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {N} }fd\mu =\lim _{M\to \infty }\int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\lim _{M\to \infty }\sum _{n=1}^{M}f(n)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$$

Обсуждение

Мера подсчета является частным случаем более общей конструкции. С обозначениями, как указано выше, любая функция определяет меру на , где возможно несчетная сумма действительных чисел определяется как супремум сумм по всем конечным подмножествам, то есть, Взяв для всех , получаем меру подсчета. ${\displaystyle f:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ $${\displaystyle \mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\quad {\text{ for all }}A\subseteq X,}$$ $${\displaystyle \sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\ :=\ \sup _{F\subseteq Y,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.}$$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\in X}$

Смотрите также

• Пип (счет)  – легко поддающиеся подсчету предметы
• Случайная мера подсчета
• Функция множества  – Функция преобразования множеств в числа

Ссылки

1. Счетная мера на PlanetMath .
2. Шиллинг, Рене Л. (2005). Меры, интегралы и мартингалы . Cambridge University Press. стр. 27. ISBN 0-521-61525-9.
3. Хансен, Эрнст (2009). Теория меры (Четвертое изд.). Кафедра математических наук, Копенгагенский университет. стр. 47. ISBN 978-87-91927-44-7.