Алгоритм подсчета очков

Алгоритм подсчета очков , также известный как подсчет очков Фишера , ^[1] представляет собой форму метода Ньютона , используемую в статистике для численного решения уравнений максимального правдоподобия , названную в честь Рональда Фишера .

Эскиз вывода

Пусть будут случайными величинами , независимыми и одинаково распределенными с дважды дифференцируемой плотностью вероятности , и мы хотим вычислить оценку максимального правдоподобия (ОМП) для . Сначала предположим, что у нас есть начальная точка для нашего алгоритма , и рассмотрим разложение Тейлора функции оценки , , около : ${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$ ${\displaystyle f(y;\theta )}$ ${\displaystyle \theta ^{*}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle V(\theta )}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle V(\theta )\approx V(\theta _{0})-{\mathcal {J}}(\theta _{0})(\theta -\theta _{0}),\,}$

где

${\displaystyle {\mathcal {J}}(\theta _{0})=-\sum _{i=1}^{n}\left.\nabla \nabla ^{\top }\right|_{\theta =\theta _{0}}\log f(Y_{i};\theta )}$

— это наблюдаемая информационная матрица в . Теперь, установив , используя это и переставив, мы получаем: ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$ ${\displaystyle V(\theta ^{*})=0}$

${\displaystyle \theta ^{*}\approx \theta _{0}+{\mathcal {J}}^{-1}(\theta _{0})V(\theta _{0}).\,}$

Поэтому мы используем алгоритм

${\displaystyle \theta _{m+1}=\theta _{m}+{\mathcal {J}}^{-1}(\theta _{m})V(\theta _{m}),\,}$

и при определенных условиях регулярности можно показать, что . ${\displaystyle \theta _{m}\rightarrow \theta ^{*}}$

Оценка Фишера

На практике обычно заменяется на информацию Фишера , таким образом давая нам алгоритм подсчета очков Фишера : ${\displaystyle {\mathcal {J}}(\theta )}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\mathrm {E} [{\mathcal {J}}(\theta )]}$

${\displaystyle \theta _{m+1}=\theta _{m}+{\mathcal {I}}^{-1}(\theta _{m})V(\theta _{m})}$..

При некоторых условиях регулярности, если является состоятельной оценкой , то (коррекция после одного шага) является «оптимальной» в том смысле, что ее распределение ошибок асимптотически идентично распределению истинной оценки максимального правдоподобия. ^[2] ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle \theta _{m+1}}$

Смотрите также

• Оценка (статистика)
• Тест на оценку
• Информация о Фишере

Ссылки

1. Лонгфорд, Николас Т. (1987). «Быстрый алгоритм подсчета для оценки максимального правдоподобия в несбалансированных смешанных моделях с вложенными случайными эффектами». Biometrika . 74 (4): 817–827. doi :10.1093/biomet/74.4.817.
2. Ли, Бин; Бабу, Г. Джогеш (2019), «Байесовский вывод», Springer Texts in Statistics , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York, Теорема 9.4, doi : 10.1007/978-1-4939-9761-9_6, ISBN 978-1-4939-9759-6, S2CID  239322258 , получено 2023-01-03

Дальнейшее чтение

• Jennrich, RI & Sampson, PF (1976). "Ньютон-Рафсон и связанные с ним алгоритмы для оценки компонента дисперсии максимального правдоподобия". Technometrics . 18 (1): 11–17. doi :10.1080/00401706.1976.10489395 (неактивен 2024-09-12). JSTOR  1267911.{{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на сентябрь 2024 г. ( ссылка )