гипотеза Пойа

Опровергнутая гипотеза в теории чисел

Сумматорная функция Лиувилля L ( n ) до n  = 10 ⁷ . (Опровергнутая) гипотеза утверждает, что эта функция всегда отрицательна. Легко видимые колебания обусловлены первым нетривиальным нулем дзета -функции Римана .

Крупный план суммирующей функции Лиувилля L ( n ) в области, где гипотеза Полиа неверна.

Логарифмический график отрицательной части суммарной функции Лиувилля L ( n ) до n  = 2 × 10 ⁹ . Зеленый пик показывает саму функцию (а не ее отрицательность) в узкой области, где гипотеза неверна; синяя кривая показывает колебательный вклад первого нуля Римана.

В теории чисел гипотеза Полиа (или гипотеза Полиа ) утверждала, что «большинство» (т. е. 50% или более) натуральных чисел, меньших любого заданного числа, имеют нечетное количество простых множителей . Гипотеза была выдвинута венгерским математиком Джорджем Полиа в 1919 году ^[1] и опровергнута в 1958 году Брайаном Хаселгроувом . Хотя математики обычно называют это утверждение гипотезой Полиа, Полиа на самом деле никогда не предполагал, что это утверждение истинно; вместо этого он показал, что истинность утверждения влечет за собой гипотезу Римана . По этой причине ее точнее называть «проблемой Полиа».

Размер наименьшего контрпримера часто используется для демонстрации того факта, что гипотеза может быть верной для многих случаев и при этом не выполняться в общем случае ^[2] , что является иллюстрацией усиленного закона малых чисел .

Заявление

Гипотеза Полиа утверждает, что для любого n  > 1, если натуральные числа, меньшие или равные n (исключая 0), разбить на числа с нечетным числом простых множителей и числа с четным числом простых множителей, то первое множество имеет по крайней мере столько же членов, сколько и второе множество. Повторяющиеся простые множители подсчитываются повторно; например, мы говорим, что 18 = 2 × 3 × 3 имеет нечетное число простых множителей, в то время как 60 = 2 × 2 × 3 × 5 имеет четное число простых множителей.

Эквивалентно это можно выразить в терминах суммирующей функции Лиувилля , предполагая, что

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0}$

для всех n > 1. Здесь λ( k ) = (−1) ^{Ω( k )} положительно, если количество простых множителей целого числа k четное, и отрицательно, если оно нечетное. Большая функция Омега подсчитывает общее количество простых множителей целого числа.

Опровержение

Гипотеза Полиа была опровергнута Брайаном Хаселгроувом в 1958 году. Он показал, что у гипотезы есть контрпример, который он оценил примерно в 1,845 × 10 ³⁶¹ . ^[3]

Явный контрпример (гораздо меньший) для n = 906 180 359 был приведён Р. Шерманом Леманом в 1960 году; ^[4] наименьший контрпример для n = 906 150 257 был найден Минору Танакой в ​​1980 году. ^[5]

Гипотеза не выполняется для большинства значений n в области 906 150 257 ≤ n ≤ 906 488 079. В этой области сумматорная функция Лиувилля достигает максимального значения 829 при n = 906 316 571.

Ссылки

1. Полиа, Г. (1919). «Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке). 28 : 31–40. ЖФМ  47.0882.06.
2. Стайн, Шерман К. (2010). Математика: Вселенная, созданная человеком. Courier Dover Publications. стр. 483. ISBN 9780486404509..
3. Haselgrove, CB (1958). «Опровержение гипотезы Полиа». Mathematika . 5 (2): 141–145. doi :10.1112/S0025579300001480. ISSN  0025-5793. MR  0104638. Zbl  0085.27102.
4. Lehman, RS (1960). «О функции Лиувилля». Mathematics of Computation . 14 (72): 311–320. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5 . JSTOR  2003890. MR  0120198.
5. Танака, М. (1980). «Численное исследование кумулятивной суммы функции Лиувилля». Tokyo Journal of Mathematics . 3 (1): 187–189. doi : 10.3836/tjm/1270216093 . MR  0584557.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Полиа». Математический мир .