Полиномы Аски–Уилсона

В математике полиномы Аски–Уилсона (или q -полиномы Уилсона ) представляют собой семейство ортогональных полиномов, введенных Ричардом Аски и Джеймсом А. Уилсоном как q-аналоги полиномов Уилсона . ^[1] Они включают в себя многие другие ортогональные полиномы от 1 переменной как особые или предельные случаи , описанные в схеме Аски . Полиномы Аски–Уилсона являются особым случаем полиномов Макдональда (или полиномов Коорнвиндера ) для нередуцированной аффинной системы корней типа ( C^∨
₁, C ₁ ), а их 4 параметра a , b , c , d соответствуют 4 орбитам корней этой корневой системы.

Они определяются

${\displaystyle p_{n}(x)=p_{n}(x;a,b,c,d\mid q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_{n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&ae^{i\theta }&ae^{-i\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]}$

где φ — базовая гипергеометрическая функция , x = cos θ , а (,,,) _n — q- символ Похгаммера . Функции Аски–Вильсона являются обобщением на нецелые значения n .

Доказательство

Этот результат можно доказать, поскольку известно, что

${\displaystyle p_{n}(\cos {\theta })=p_{n}(\cos {\theta };a,b,c,d\mid q)}$

и используя определение q- символа Похгаммера

${\displaystyle p_{n}(\cos {\theta })=a^{-n}\sum _{\ell =0}^{n}q^{\ell }\left(abq^{\ell },acq^{\ell },adq^{\ell };q\right)_{n-\ell }\times {\frac {\left(q^{-n},abcdq^{n-1};q\right)_{\ell }}{(q;q)_{\ell }}}\prod _{j=0}^{\ell -1}\left(1-2aq^{j}\cos {\theta }+a^{2}q^{2j}\right)}$

что приводит к выводу, что оно равно

${\displaystyle a^{-n}(ab,ac,ad;q)_{n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&ae^{i\theta }&ae^{-i\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]}$

Смотрите также

• схема Аски

Ссылки

1. Эски и Уилсон (1985).

• Аски, Ричард ; Уилсон, Джеймс (1985), «Некоторые основные гипергеометрические ортогональные многочлены, обобщающие многочлены Якоби», Мемуары Американского математического общества , 54 (319): iv+55, doi :10.1090/memo/0319, ISBN 978-0-8218-2321-7, ISSN  0065-9266, MR  0783216
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические ряды , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 96 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, МР  2128719
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Класс Аски-Уилсона", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Koornwinder, Tom H. (2012), "Многочлен Аски-Уилсона", Scholarpedia , 7 (7): 7761, Bibcode : 2012SchpJ...7.7761K, doi : 10.4249/scholarpedia.7761