Полиномы Золотарева

В математике многочлены Золотарева — это многочлены, используемые в теории приближения . Иногда их используют как альтернативу многочленам Чебышева, где точность приближения вблизи начала координат имеет меньшее значение. Многочлены Золотарева отличаются от многочленов Чебышева тем, что два коэффициента фиксируются заранее, а не могут принимать какие-либо значения. Многочлены Чебышева первого рода являются частным случаем многочленов Золотарева. Эти многочлены были введены русским математиком Егором Ивановичем Золотаревым в 1868 году.

Определение и свойства

Полиномы Золотарева степени имеют вид ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle Z_{n}(x,\sigma )=x^{n}-\sigma x^{n-1}+\cdots +a_{k}x^{k}+\cdots +a_{0}\ ,}$

где — заданное значение для и выбираются таким образом, чтобы отклонение от нуля было минимальным в интервале . ^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle a_{n-1}}$ ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Z_{n}(x)}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

Подмножество полиномов Золотарева можно выразить через полиномы Чебышева первого рода, . Для ${\displaystyle T_{n}(x)}$

${\displaystyle 0\leq \sigma \leq {\dfrac {1}{n}}\tan ^{2}{\dfrac {\pi }{2n}}}$

затем

${\displaystyle Z_{n}(x,\sigma )=(1+\sigma )^{n}T_{n}\left({\frac {x-\sigma }{1+\sigma }}\right)\ .}$

Для значений, больших, чем максимум этого диапазона, полиномы Золотарева могут быть выражены через эллиптические функции . Для полином Золотарева идентичен эквивалентному полиному Чебышева. Для отрицательных значений полином может быть найден из полинома положительного значения, ^[2] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle Z_{n}(x,-\sigma )=(-1)^{n}Z_{n}(-x,\sigma )\ .}$

Полином Золотарева можно разложить в сумму полиномов Чебышева, используя соотношение ^[3]

${\displaystyle Z_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}T_{k}(x)\ .}$

Полином Золотарева 8-й степени (слева) и 9-й степени (справа). ^[4] Шкала x обозначена как частота прототипа , как это было бы сделано при использовании полинома в конструкции фильтра.

В терминах эллиптических функций Якоби

Первоначальное решение задачи аппроксимации, данное Золотаревым, было в терминах эллиптических функций Якоби . Золотарев дал общее решение, где число нулей слева от пикового значения ( ) в интервале не равно числу нулей справа от этого пика ( ). Степень полинома равна . Для многих приложений используется и затем нужно только рассматривать. Общие полиномы Золотарева определяются как ^[5] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle p=q}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Z_{n}(x|\kappa )={\frac {(-1)^{p}}{2}}\left[\left({\dfrac {H(u-v)}{H(u+v)}}\right)^{n}+\left({\dfrac {H(u+v)}{H(u-v)}}\right)^{n}\right]}$

где

${\displaystyle u=F\left(\left.\operatorname {sn} \left(\left.v\right|\kappa \right){\sqrt {\dfrac {1+x}{x+2\operatorname {sn} ^{2}\left(\left.v\right|\kappa \right)-1}}}\right|\kappa \right)}$

${\displaystyle v={\dfrac {p}{n}}K(\kappa )}$

${\displaystyle H(\varphi )}$это функция Якоби эта

${\displaystyle F(\varphi |\kappa )}$— неполный эллиптический интеграл первого рода

${\displaystyle K(\kappa )}$является четвертьволновым полным эллиптическим интегралом первого рода . То есть, ^[6] ${\displaystyle K(\kappa )=F\left(\left.{\frac {\pi }{2}}\right|\kappa \right)}$

${\displaystyle \kappa }$эллиптический модуль Якоби

${\displaystyle \operatorname {sn} (\varphi |\kappa )}$— эллиптический синус Якоби .

Изменение функции в интервале [−1,1] является равноволнистым, за исключением одного пика, который больше остальных. Положение и ширина этого пика могут быть установлены независимо. Положение пика задается формулой ^[7]

${\displaystyle x_{\text{max}}=1-2\operatorname {sn} ^{2}(v|\kappa )+2{\dfrac {\operatorname {sn} (v|\kappa )\operatorname {cn} (v|\kappa )}{\operatorname {dn} (v|\kappa )}}Z(v|\kappa )}$

где

${\displaystyle \operatorname {cn} (\varphi |\kappa )}$это эллиптический косинус Якоби

${\displaystyle \operatorname {dn} (\varphi |\kappa )}$это амплитуда дельта Якоби

${\displaystyle Z(\varphi |\kappa )}$это дзета-функция Якоби

${\displaystyle v}$как определено выше.

Высота пика определяется по формуле ^[8]

${\displaystyle Z_{n}(x_{\text{max}}|\kappa )=\cosh 2n{\bigl (}\sigma _{\text{max}}Z(v|\kappa )-\varPi (\sigma _{\text{max}},v|\kappa ){\bigr )}}$

где

${\displaystyle \varPi (\phi _{1},\phi _{2}|\kappa )}$— неполный эллиптический интеграл третьего рода

${\displaystyle \sigma _{\text{max}}=F\left(\left.\sin ^{-1}\left({\dfrac {1}{\kappa \operatorname {sn} (v|\kappa )}}{\sqrt {\dfrac {x_{\text{max}}-x_{\mathrm {L} }}{x_{\text{max}}+1}}}\right)\right|\kappa \right)}$

${\displaystyle x_{\mathrm {L} }}$— это положение на левом плече пика, которое имеет ту же высоту, что и равноволнистые пики.

функция Якоби эта

Эта-функция Якоби может быть определена через вспомогательную тета-функцию Якоби , ^[9]

${\displaystyle H(\varphi |\kappa )=\theta _{1}(a|b)}$

где,

${\displaystyle a={\frac {\pi \varphi }{2K'(\kappa )}}}$

${\displaystyle b=\exp \left(-{\frac {\pi K'(\kappa )}{K(\kappa )}}\right)}$

${\displaystyle K'(\kappa )=K({\sqrt {1-\kappa ^{2}}})\ .}$^[10]

Приложения

Многочлены были введены Егором Ивановичем Золотаревым в 1868 году как средство равномерного приближения многочленов степени на интервале [−1,1]. Пафнутий Чебышев показал в 1858 году, что можно приблизить на этом интервале многочленом степени не более с погрешностью . В 1868 году Золотарев показал, что можно приблизить многочленом степени не более , на две степени ниже. Погрешность метода Золотарева определяется по формуле ^[11] ${\displaystyle x^{n+1}}$ ${\displaystyle x^{n+1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle x^{n+1}-\sigma x^{n}}$ ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle 2^{-n}\left({\dfrac {1+\sigma }{1+n}}\right)^{n+1}\ .}$

Процедура была дополнительно развита Наумом Ачиезером в 1956 году. ^[12]

Полиномы Золотарева используются при проектировании фильтров Ахизера-Золотарева . Впервые они были использованы в этой роли в 1970 году Ральфом Леви при проектировании микроволновых волноводных фильтров . ^[13] Фильтры Ахизера-Золотарева похожи на фильтры Чебышева в том, что они имеют одинаковое затухание пульсаций через полосу пропускания , за исключением того, что затухание превышает заданную пульсацию для пика, ближайшего к началу координат. ^[14]

Полиномы Золотарева могут быть использованы для синтеза диаграмм направленности линейных антенных решеток , впервые предложенных DA McNamara в 1985 году. Работа была основана на применении фильтра с углом луча, используемым в качестве переменной вместо частоты. Диаграмма луча Золотарева имеет боковые лепестки равного уровня. ^[15]

Ссылки

1. Пинкус, стр. 463–464.
2. Пинкус, стр. 464
3. Заградник и Влчек, стр. 58
4. Кэмерон и др. , стр. 400
5. Заградник и Мирослав, стр. 57–58.
6. Биби, стр. 624
7. Заградник и Мирослав, стр. 58
8. Заградник и Мирослав, стр. 58
9. Биби, стр. 679
10. Биби, стр. 625
11. Ньюман и Редди, стр. 310
12. Ньюман и Редди, стр. 310, 316.
13. Хансен, стр.87
14. Кэмерон и др. , стр. 399
15. Хансен, стр.87

Библиография

• Achieser, Naum , Hymnan, CJ (перевод), Theory of Approximation , New York: Frederick Ungar Publishing, 1956. Переиздание Dover 2013 ISBN  0486495434 .
• Биби, Нельсон Х. Ф., Справочник по вычислению математических функций , Springer, 2017 ISBN 978-3-319-64110-2 . 
• Кэмерон, Ричард Дж.; Кудсия, Чандра М.; Мансур, Раафат Р., Микроволновые фильтры для систем связи , John Wiley & Sons, 2018 ISBN 1118274342 . 
• Хансен, Роберт С., Фазированные антенные решетки , Wiley, 2009 ISBN 0470529172 . 
• Макнамара, Д.А., «Оптимальное возбуждение моноимпульсной линейной решетки с использованием полиномов Золотарева», Электрон , т. 21, вып. 16, стр. 681–682, август 1985 г.
• Ньюман, DJ, Редди, AR, «Рациональные приближения к x n {\displaystyle x^{n}} II», Канадский математический журнал , т. 32, № 2, стр. 310–316, апрель 1980 г.
• Пинкус, Аллан, «Полиномы Золотарева», Хазевинкель, Михил (редактор), Математическая энциклопедия, Приложение III , Springer Science & Business Media, 2001 ISBN 1402001983 . 
• Влчек, Мирослав, Унбехауен, Рольф, «Полиномы Золотарева и оптимальные КИХ-фильтры», IEEE Transactions on Signal Processing , т. 47, вып. 3, стр. 717–730, март 1999 г. (исправления от июля 2000 г.).
• Заградник, Павел; Влчек, Мирослав, «Аналитическое проектирование двумерных узкополосных режекторных КИХ-фильтров», стр. 56–63 в Computational Science — ICCS 2004: Proceedings of the 4th International Conference , Bubak, Marian; van Albada, Geert D.; Sloot, Peter MA; Dongarra, Jack (редакторы), Springer Science & Business Media, 2004 ISBN 3540221298 .