Полиномы Абеля

Полиномы Абеля представляют собой последовательность полиномов, названных в честь Нильса Хенрика Абеля , определяемую следующим уравнением:

${\displaystyle p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}}$

Эта полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип : и наоборот, каждая полиномиальная последовательность биномиального типа может быть получена из последовательности Абеля с использованием теневого исчисления .

Примеры

Для a = 1 полиномы (последовательность A137452 в OEIS )

${\displaystyle p_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle p_{1}(x)=x;}$

${\displaystyle p_{2}(x)=-2x+x^{2};}$

${\displaystyle p_{3}(x)=9x-6x^{2}+x^{3};}$

${\displaystyle p_{4}(x)=-64x+48x^{2}-12x^{3}+x^{4};}$

Для a = 2 полиномы равны

${\displaystyle p_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle p_{1}(x)=x;}$

${\displaystyle p_{2}(x)=-4x+x^{2};}$

${\displaystyle p_{3}(x)=36x-12x^{2}+x^{3};}$

${\displaystyle p_{4}(x)=-512x+192x^{2}-24x^{3}+x^{4};}$

${\displaystyle p_{5}(x)=10000x-4000x^{2}+600x^{3}-40x^{4}+x^{5};}$

${\displaystyle p_{6}(x)=-248832x+103680x^{2}-17280x^{3}+1440x^{4}-60x^{5}+x^{6};}$

Рекомендации

• Рота, Джан-Карло ; Шен, Цзяньхун; Тейлор, Брайан Д. (1997). «Все полиномы биномиального типа представлены полиномами Абеля». Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze . Серия 4. 25 (3–4): 731–738. МР  1655539. Збл  1003.05011.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Абеля». Математический мир .