Бимодальная функция
В математике положительно определенная функция — это, в зависимости от контекста, один из двух типов функций .
Определение 1
Пусть – множество действительных чисел , а – множество комплексных чисел .![{\displaystyle \mathbb {R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Функция называется положительно-полуопределенной, если для любых [ необходимо уточнение ] действительных чисел x 1 , …, x n матрица размера n × n
![{\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
– положительная полуопределенная матрица . [ нужна цитата ]
По определению, положительная полуопределенная матрица, такая как , является эрмитовой ; следовательно, f (− x ) является комплексно-сопряженным f ( x ) ).![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В частности, необходимо (но недостаточно), чтобы
![{\displaystyle f(0)\geq 0~,\quad |f(x)|\leq f(0)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(эти неравенства следуют из условия n = 1, 2.)
Функция является отрицательно-полуопределенной, если неравенство обращено на противоположное. Функция является определенной , если слабое неравенство заменить сильным (<, > 0).
Примеры
Если это реальное пространство внутреннего продукта , то оно положительно определено для каждого : для всех и вся мы имеем![{\displaystyle (X,\langle \cdot,\cdot \rangle)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{y}\двоеточие X\to \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х\mapsto \exp (я\langle y,x\rangle)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y\in X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{1},\ldots,x_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^ {i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_ {k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1} ^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку неотрицательные линейные комбинации положительно определенных функций снова являются положительно определенными, функция косинуса является положительно определенной как неотрицательная линейная комбинация вышеуказанных функций:
![{\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+ g_{-1}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Положительно определенную функцию можно легко создать из положительно определенной функции для любого векторного пространства : выберите линейную функцию и определите ее . Затем![{\ displaystyle f \ двоеточие X \ to \ mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi \ двоеточие X\to \mathbb {R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f^{*}:=f\circ \phi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f ^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_ {k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где где различны, поскольку является линейным . [1]![{\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x }}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ фи }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теорема Бохнера
Положительная определенность естественным образом возникает в теории преобразования Фурье ; Непосредственно видно, что для положительной определенности достаточно, чтобы f была преобразованием Фурье функции g на действительной прямой с g ( y ) ≥ 0.
Обратным результатом является теорема Бохнера , утверждающая, что любая непрерывная положительно определенная функция на действительной прямой является преобразованием Фурье (положительной) меры . [2]
Приложения
В статистике , и особенно байесовской статистике , теорема обычно применяется к действительным функциям. Обычно выполняются n скалярных измерений некоторого скалярного значения в точках, и точки, которые взаимно близки, должны иметь измерения, которые сильно коррелированы. На практике необходимо следить за тем, чтобы результирующая ковариационная матрица (матрица размера n × n ) всегда была положительно определенной. Одна из стратегий состоит в том, чтобы определить корреляционную матрицу A , которая затем умножается на скаляр, чтобы получить ковариационную матрицу : она должна быть положительно определенной. Теорема Бохнера утверждает, что если корреляция между двумя точками зависит только от расстояния между ними (через функцию f ), то функция f должна быть положительно определенной, чтобы гарантировать положительно определенную ковариационную матрицу A. См. Кригинг .![{\displaystyle R^{d}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В этом контексте терминология Фурье обычно не используется, а вместо этого утверждается, что f ( x ) является характеристической функцией симметричной функции плотности вероятности (PDF) .
Обобщение
На любой локально компактной абелевой топологической группе можно определить положительно определенные функции ; Теорема Бохнера распространяется и на этот контекст. Положительно определенные функции на группах естественным образом возникают в теории представлений групп в гильбертовых пространствах (т. е. в теории унитарных представлений ).
Определение 2
Альтернативно, функция называется положительно определенной в окрестности D начала координат, если и для каждого ненулевого . [3] [4]
![{\displaystyle f(0)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что это определение противоречит определению 1, данному выше.
В физике это требование иногда отбрасывается (см., например, Корни и Олсен [5] ).![{\displaystyle f(0)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- Кристиан Берг, Кристенсен, Пол Рессел. Гармонический анализ полугрупп , GTM, Springer Verlag.
- З. Сасвари, Положительно определенные и дефинитизируемые функции , Akademie Verlag, 1994.
- Уэллс, Дж. Х.; Уильямс, Л.Р. Вложения и расширения в анализе . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 стр.
Примечания
- ^ Чейни, Эллиот Уорд (2009). Курс теории приближений. Американское математическое общество. стр. 77–78. ISBN 9780821847985. Проверено 3 февраля 2022 г.
- ^ Бохнер, Саломон (1959). Лекции по интегралам Фурье . Издательство Принстонского университета.
- ^ Ферхюльст, Фердинанд (1996). Нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы (2-е изд.). Спрингер. ISBN 3-540-60934-2.
- ^ Хан, Вольфганг (1967). Стабильность движения . Спрингер.
- ^ Корни, Дж. Ф.; Олсен, МК (19 февраля 2015 г.). «Негауссовы чистые состояния и положительные функции Вигнера». Физический обзор А. 91 (2): 023824. arXiv : 1412.4868 . Бибкод : 2015PhRvA..91b3824C. doi : 10.1103/PhysRevA.91.023824. ISSN 1050-2947. S2CID 119293595.
Внешние ссылки