Полуабелева категория

В математике , в частности в теории категорий , полуабелева категория — это предабелева категория , в которой индуцированный морфизм является биморфизмом , т. е. мономорфизмом и эпиморфизмом , для каждого морфизма . ${\displaystyle {\overline {f}}:\operatorname {coim} f\rightarrow \operatorname {im} f}$ ${\displaystyle f}$

История этого понятия тесно переплетена с историей квазиабелевой категории , поскольку некоторое время не было известно, являются ли эти два понятия различными (см. квазиабелева категория#История ).

Характеристики

Два свойства, используемые в определении, могут быть охарактеризованы несколькими эквивалентными условиями. ^[1]

Каждая полуабелева категория имеет максимально точную структуру .

Если полуабелева категория не является квазиабелевой , то класс всех пар ядро-коядро не образует точной структуры .

Примеры

Каждая квазиабелева категория является полуабелевой. В частности, каждая абелева категория является полуабелевой. Неквазиабелевыми примерами являются следующие.

• Категория борнологических пространств ( возможно, нехаусдорфовых ) является полуабелевой. ^{[2] [3] [4]}
• Пусть будет колчан ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}1&\xrightarrow {} &2&\xleftarrow {} &3\\\downarrow {}&&\downarrow {}&&\downarrow {}\\4&\xrightarrow {} &5&\xleftarrow {} &6\\\end{array}}}$

и быть полем . Категория конечно порожденных проективных модулей над алгеброй является полуабелевой. ^[5] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle KQ}$

Левые и правые полуабелевы категории

Разделив два условия на индуцированное отображение в определении, можно определить левые полуабелевы категории , потребовав, чтобы было мономорфизмом для каждого морфизма . Соответственно, правые полуабелевы категории являются предабелевыми категориями, такими что является эпиморфизмом для каждого морфизма . ^[6] ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f}$

Если категория является левой полуабелевой и правой квазиабелевой , то она уже является квазиабелевой. То же самое справедливо, если категория является правой полуабелевой и левой квазиабелевой. ^[7]

Цитаты

1. Копылов и др., 2012.
2. Бонет и др., 2004/2005.
3. Зиг и др., 2011, Пример 4.1.
4. Рамп, 2011, стр. 44.
5. Рамп, 2008, стр. 993.
6. Рамп, 2001.
7. Рамп, 2001.

Ссылки

• Хосе Бонет , Ж., Сюзанна Диерольф , Обратный путь для борнологических и ультраборнологических пространств. Примечание Матем. 25(1), 63–67 (2005/2006).
• Ярослав Копылов и Свен-Аке Вегнер, О понятии полуабелевой категории в смысле Паламодова, Прикл. кат. структуры 20 (5) (2012) 531–541.
• Вольфганг Рамп, Контрпример к гипотезе Райкова, Bull. London Math. Soc. 40, 985–994 (2008).
• Вольфганг Рамп, Почти абелевы категории, Cahiers Topologie Géom. Дифференциальная категория. 42(3), 163–225 (2001).
• Вольфганг Румп, Анализ проблемы Райкова с приложениями к бочкообразным и борнологическим пространствам, J. Pure and Appl. Algebra 215, 44–52 (2011).
• Деннис Зиг и Свен-Аке Вегнер, Максимальные точные структуры на аддитивных категориях, Math. Nachr. 284 (2011), 2093–2100.