Полугруппа с двумя элементами

Пример полугруппы

В математике полугруппа с двумя элементами — это полугруппа , для которой мощность базового множества равна двум. Существует ровно пять неизоморфных полугрупп, имеющих два элемента:

• O ₂ , нулевая полугруппа второго порядка.
• LO ₂ — левая нулевая полугруппа второго порядка.
• RO ₂ , правая нулевая полугруппа второго порядка.
• ({0,1}, ∧) (где «∧» — логическая связка « и »), или, что эквивалентно, множество {0,1} при умножении: единственная полурешетка с двумя элементами и единственная ненулевая полугруппа с нулем второго порядка, также моноид и, в конечном счете, двухэлементная булева алгебра ; она также изоморфна (Z ₂ , · ₂ ), мультипликативной группе {0,1} по модулю 2.
• (Z ₂ , + ₂ ) (где Z ₂ = {0,1}, а «+ ₂ » — это «сложение по модулю 2»), или, что эквивалентно, ({0,1}, ⊕) (где «⊕» — это логическая связка « xor »), или, что эквивалентно, множество {−1,1} при умножении: единственная группа порядка два.

Полугруппы LO 2 _и RO ₂ антиизоморфны . O ₂ , ({0,1} , ∧) и (Z ₂ , + ₂ ) коммутативны , а LO ₂ и RO ₂ некоммутативны. LO ₂ , RO ₂ и ({0,1}, ∧) являются полосами .

Определение полугрупп с двумя элементами

Выбрав множество A = { 1, 2 } в качестве базового множества, имеющего два элемента, можно определить шестнадцать бинарных операций в A . Эти операции показаны в таблице ниже. В таблице матрица вида

указывает на бинарную операцию над A, имеющую следующую таблицу Кэли .

В этой таблице:

• Полугруппа ({0,1}, ) ${\displaystyle \wedge }$ обозначает двухэлементную полугруппу, содержащую нулевой элемент 0 и единичный элемент 1. Две бинарные операции, определяемые матрицами на зеленом фоне, ассоциативны, и сопряжение любой из них с A создает полугруппу, изоморфную полугруппе ({0,1}, ) ${\displaystyle \wedge }$ . Каждый элемент является идемпотентом в этой полугруппе, поэтому она является полосой . Кроме того, она коммутативна (абелева) и, следовательно, является полурешеткой . Индуцированный порядок является линейным порядком , и поэтому она фактически является решеткой , а также дистрибутивной и дополняемой решеткой , т.е. фактически является двухэлементной булевой алгеброй .
• Две бинарные операции, определяемые матрицами на синем фоне, ассоциативны, и объединение любой из них с A создает полугруппу, изоморфную нулевой полугруппе O ₂ с двумя элементами.
• Бинарная операция, определяемая матрицей на оранжевом фоне, ассоциативна, и ее сопряжение с A создает полугруппу. Это левая нулевая полугруппа LO ₂ . Она не коммутативна.
• Бинарная операция, определяемая матрицей на фиолетовом фоне, ассоциативна, и ее сопряжение с A создает полугруппу. Это правая нулевая полугруппа RO ₂ . Она также не коммутативна.
• Две бинарные операции, определяемые матрицами на красном фоне, ассоциативны, и объединение любой из них с A создает полугруппу, изоморфную группе ( Z ₂ , + ₂ ) .
• Оставшиеся восемь бинарных операций, определяемых матрицами на белом фоне, не являются ассоциативными , и, следовательно, ни одна из них не создает полугруппу в паре с A.

Двухэлементная полугруппа ({0,1}, ∧)

Таблица Кэли для полугруппы ({0,1}, ) приведена ниже: ${\displaystyle \wedge }$

Это простейший нетривиальный пример полугруппы, которая не является группой. Эта полугруппа имеет единичный элемент 1, что делает ее моноидом . Она также коммутативна. Это не группа, потому что элемент 0 не имеет обратного, и даже не является сократимой полугруппой, потому что мы не можем сократить 0 в уравнении 1·0 = 0·0.

Эта полугруппа возникает в различных контекстах. Например, если мы выберем 1 в качестве значения истинности " истина ", а 0 — в качестве значения истинности " ложь ", а операцию — логическую связку " и ", то мы получим эту полугруппу в логике . Она изоморфна моноиду {0,1} при умножении. Она также изоморфна полугруппе

${\displaystyle S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right\}}$

при умножении матриц .

Двухэлементная полугруппа (Z2, +2)

Таблица Кэли для полугруппы (Z ₂ , + ₂ ) приведена ниже:

Эта группа изоморфна циклической группе Z ₂ и симметрической группе S ₂ .

Полугруппы порядка 3

Пусть A — трехэлементное множество {1, 2, 3} . Всего на A можно определить 3 · ⁹ = 19683 различных бинарных операций . 113 из 19683 бинарных операций определяют 24 неизоморфные полугруппы или 18 неэквивалентных полугрупп (при этом эквивалентность является изоморфизмом или антиизоморфизмом). ^[1] За исключением группы с тремя элементами , каждая из них имеет одну (или более) из вышеуказанных двухэлементных полугрупп в качестве подполугрупп. ^[2] Например, множество {−1, 0, 1} при умножении является полугруппой порядка 3 и содержит как {0, 1} , так и {−1, 1} в качестве подполугрупп.

Конечные полугруппы высших порядков

Разработаны алгоритмы и компьютерные программы для определения неизоморфных конечных полугрупп заданного порядка. Они были применены для определения неизоморфных полугрупп малого порядка. ^{[2] [3] [4]} Количество неизоморфных полугрупп с n элементами, где n — неотрицательное целое число, указано в OEIS : A027851 в On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS : A001423 указывает количество неэквивалентных полугрупп, а OEIS : A023814 — количество ассоциативных бинарных операций из общего числа n ^{n 2} , определяющих полугруппу.

Смотрите также

• Пустая полугруппа
• Тривиальная полугруппа (полугруппа с одним элементом)
• Полугруппа из трех элементов
• Специальные классы полугрупп

Ссылки

1. Фридрик Диего; Кристин Халла Йонсдоттир (июль 2008 г.). «Ассоциативные операции над набором из трех элементов» (PDF) . Энтузиаст математики из Монтаны . 5 (2 и 3): 257–268. дои : 10.54870/1551-3440.1106. S2CID  118704099 . Проверено 6 февраля 2014 г.
2. Андреас Дистлер, Классификация и перечисление конечных полугрупп Архивировано 2 апреля 2015 г. в Wayback Machine , докторская диссертация, Университет Сент-Эндрюс
3. Црвенкович, Синиша; Стойменович, Иван (1993). «Алгоритм для таблиц Кэли алгебр» (PDF) . Зборник Радова Природно-математического факультета. Серия за математику. Обзор исследований. Факультет естественных наук. Математическая серия . 23 (2): 221–231. МР  1333549.
4. Джон А. Хильдебрант (2001). Справочник по конечным полугрупповым программам . (Препринт).[1]