Полумартингейл

Тип случайного процесса

В теории вероятностей действительный стохастический процесс X называется семимартингалом , если его можно разложить в сумму локального мартингала и процесса конечной вариации, адаптированного по càdlàg . Семимартингалы являются «хорошими интеграторами», образуя наибольший класс процессов, относительно которых можно определить интеграл Ито и интеграл Стратоновича .

Класс семимартингалов довольно велик (включая, например, все непрерывно дифференцируемые процессы, броуновское движение и пуассоновские процессы ). Субмартингалы и супермартингалы вместе представляют собой подмножество семимартингалов.

Определение

Действительный процесс X, определенный на отфильтрованном вероятностном пространстве (Ω, F ,( F _t ) _{t  ≥ 0} ,P), называется семимартингалом, если его можно разложить следующим образом:

${\displaystyle X_{t}=M_{t}+A_{t}}$

где M — локальный мартингал , а A — càdlàg -адаптированный процесс локально ограниченной вариации . Это означает, что для почти всех и всех компактных интервалов траектория выборки имеет ограниченную вариацию. ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle I\subset [0,\infty )}$ ${\displaystyle I\ni s\mapsto A_{s}(\omega )}$

R ⁿ -значный процесс X = ( X ¹ ,..., X ⁿ ) является семимартингалом, если каждый из его компонентов X i ^{является} семимартингалом.

Альтернативное определение

Во-первых, простые предсказуемые процессы определяются как линейные комбинации процессов вида H _t = A 1 _{{ t > T }} для моментов остановки T и F _T -измеримых случайных величин A. Интеграл H ⋅ X для любого такого простого предсказуемого процесса H и действительного процесса X равен

${\displaystyle H\cdot X_{t}:=1_{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).}$

Это распространяется на все простые предсказуемые процессы благодаря линейности H ⋅ X по H.

Действительный процесс X является семимартингалом, если он является последовательным, адаптированным и для каждого t ≥ 0,

${\displaystyle \left\{H\cdot X_{t}:H{\rm {\ is\ simple\ predictable\ and\ }}|H|\leq 1\right\}}$

ограничено по вероятности. Теорема Бихтелера–Деллашери утверждает, что эти два определения эквивалентны (Protter 2004, стр. 144).

Примеры

• Адаптированные и непрерывно дифференцируемые процессы являются непрерывными процессами с локально конечной вариацией и, следовательно, семимартингалами.
• Броуновское движение — это семимартингал.
• Все мартингалы , субмартингалы и супермартингалы являются семимартингалами.
• Процессы Ито , которые удовлетворяют стохастическому дифференциальному уравнению вида dX = σdW + μdt, являются семимартингалами. Здесь W — броуновское движение, а σ, μ — адаптированные процессы.
• Каждый процесс Леви представляет собой семимартингал.

Хотя большинство непрерывных и адаптированных процессов, изучаемых в литературе, являются семимартингалами, это не всегда так.

• Дробное броуновское движение с параметром Херста H ≠ 1/2 не является семимартингалом.

Характеристики

• Семимартингалы образуют самый большой класс процессов, для которых можно определить интеграл Ито .
• Линейные комбинации семимартингалов являются семимартингалами.
• Произведения семимартингалов являются семимартингалами, что является следствием формулы интегрирования по частям для интеграла Ито .
• Квадратичная вариация существует для каждого семимартингала.
• Класс семимартингалов замкнут относительно опциональной остановки , локализации , изменения времени и абсолютно непрерывного изменения вероятностной меры (см. теорему Гирсанова ).
• Если X — семимартингал со значениями в R ^m , а f — дважды непрерывно дифференцируемая функция из R ^m в R ⁿ , то f ( X ) — семимартингал. Это следствие леммы Ито .
• Свойство быть семимартингалом сохраняется при сжатии фильтрации. Точнее, если X является семимартингалом относительно фильтрации F _t и адаптирован относительно подфильтрации G _t , то X является G _t -семимартингалом.
• (Счетное расширение Жакода) Свойство быть полумартингалом сохраняется при увеличении фильтрации счетным множеством непересекающихся множеств. Предположим, что F _t — фильтрация, а G _t — фильтрация, порожденная F _t и счетным множеством непересекающихся измеримых множеств. Тогда каждый F _t -полумартингал также является G _t -полумартингалом. (Protter 2004, стр. 53)

Полумартингальные разложения

По определению, каждый семимартингал является суммой локального мартингала и конечно-вариационного процесса. Однако это разложение не является единственным.

Непрерывные семимартингалы

Непрерывный семимартингал однозначно разлагается как X = M + A , где M — непрерывный локальный мартингал, а A — непрерывный процесс с конечной вариацией, начинающийся с нуля. (Роджерс и Уильямс, 1987, стр. 358)

Например, если X — это процесс Ито, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению d X _t = σ _t d W _t + b _t dt, то

${\displaystyle M_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dW_{s},\ A_{t}=\int _{0}^{t}b_{s}\,ds.}$

Специальные семимартингалы

Специальный семимартингал — это вещественнозначный процесс с разложением , где — локальный мартингал, а — предсказуемый процесс с конечной вариацией, начинающийся с нуля. Если такое разложение существует, то оно уникально вплоть до P-нулевого множества. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=M^{X}+B^{X}}$ ${\displaystyle M^{X}}$ ${\displaystyle B^{X}}$

Каждый специальный семимартингал является семимартингалом. Наоборот, семимартингал является специальным семимартингалом тогда и только тогда, когда процесс X _t ^*  ≡ sup _{s  ≤  t}  |X _s | локально интегрируем (Protter 2004, стр. 130).

Например, каждый непрерывный семимартингал является специальным семимартингалом, и в этом случае M и A являются непрерывными процессами.

Мультипликативные разложения

Напомним, что обозначает стохастическую экспоненту семимартингала . Если — специальный семимартингал такой, что ^{[ необходимо разъяснение ]} , то и — локальный мартингал. ^[1] Процесс называется мультипликативным компенсатором , а тождество — мультипликативным разложением . ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta B^{X}\neq -1}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(B^{X})\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)/{\mathcal {E}}(B^{X})={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(B^{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right){\mathcal {E}}(B^{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

Чисто разрывные семимартингалы / квадратичные чисто скачкообразные семимартингалы

Семимартингал называется чисто разрывным (Калленберг 2002), если его квадратичная вариация [ X ] является чисто скачкообразным процессом с конечной вариацией, т. е.

${\displaystyle [X]_{t}=\sum _{s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}}$.

Согласно этому определению, время является чисто прерывистым семимартингалом, хотя оно вообще не демонстрирует скачков. Альтернативная (и предпочтительная) терминология квадратичный чисто-скачковый семимартингал для чисто прерывистого семимартингала (Protter 2004, стр. 71) мотивируется тем фактом, что квадратичная вариация чисто прерывистого семимартингала является чисто скачкообразным процессом. Каждый конечно-вариационный семимартингал является квадратичным чисто-скачковым семимартингалом. Адаптированный непрерывный процесс является квадратичным чисто-скачковым семимартингалом тогда и только тогда, когда он имеет конечную вариацию.

Для каждого семимартингала X существует уникальный непрерывный локальный мартингал, начинающийся с нуля, такой, что является квадратичным чисто-скачковым семимартингалом (He, Wang & Yan 1992, стр. 209; Kallenberg 2002, стр. 527). Локальный мартингал называется непрерывной мартингальной частью X. ${\displaystyle X^{c}}$ ${\displaystyle X-X^{c}}$ ${\displaystyle X^{c}}$

Обратите внимание, что является мероспецифичным. Если и являются двумя эквивалентными мерами, то обычно отличается от , в то время как и являются квадратичными чисто скачкообразными семимартингалами. По теореме Гирсанова является непрерывным процессом с конечной вариацией, дающим . ${\displaystyle X^{c}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X^{c}(P)}$ ${\displaystyle X^{c}(Q)}$ ${\displaystyle X-X^{c}(P)}$ ${\displaystyle X-X^{c}(Q)}$ ${\displaystyle X^{c}(P)-X^{c}(Q)}$ ${\displaystyle [X^{c}(P)]=[X^{c}(Q)]=[X]-\sum _{s\leq \cdot }(\Delta X_{s})^{2}}$

Непрерывные и дискретные компоненты семимартингала

Каждый семимартингал имеет уникальное разложение , где , компонент не прыгает в предсказуемые моменты времени, и компонент равен сумме своих скачков в предсказуемые моменты времени в топологии семимартингала. Тогда имеем . ^[2] Типичными примерами компонента "qc" являются процесс Ито и процесс Леви . Компонент "dp" часто принимается за цепь Маркова , но в общем случае предсказуемые моменты времени скачка могут не быть изолированными точками; например, в принципе может прыгать в каждое рациональное время. Заметим также, что не обязательно имеет конечную вариацию, даже если она равна сумме своих скачков (в топологии семимартингала ). Например, на временном интервале возьмите иметь независимые приращения, причем скачки во времени принимают значения с равной вероятностью. ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X=X_{0}+X^{\mathrm {qc} }+X^{\mathrm {dp} },}$$ ${\displaystyle X_{0}^{\mathrm {qc} }=X_{0}^{\mathrm {dp} }=0}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {qc} }}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ ${\displaystyle [X^{\mathrm {qc} },X^{\mathrm {dp} }]=0}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ ${\displaystyle \{\tau _{n}=2-1/n\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \pm 1/n}$

Семимартингалы на многообразии

Концепция семимартингалов и связанная с ней теория стохастического исчисления распространяются на процессы, принимающие значения в дифференцируемом многообразии . Процесс X на многообразии M является семимартингалом, если f ( X ) является семимартингалом для каждой гладкой функции f из M в R . (Rogers & Williams 1987, p. 24) Стохастическое исчисление для семимартингалов на общих многообразиях требует использования интеграла Стратоновича .

Смотрите также

• Сигма-мартингейл

Ссылки

1. Лепингль, Доминик; Мемин, Жан (1978). «Sur l'integrabilité Uniforme des martingales exponentielles». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete (на французском языке). 42 (3). Предложение II.1. дои : 10.1007/BF00641409 . ISSN  0044-3719.
2. Черный, Алеш; Руф, Йоханнес (01 ноября 2021 г.). «Семимартингалы чистого прыжка». Бернулли . 27 (4): 2631. arXiv : 1909.03020 . дои : 10.3150/21-BEJ1325. ISSN  1350-7265. S2CID  202538473.

• Хэ, Шэн-у; Ван, Цзя-ган; Янь, Цзя-ан (1992), Теория полумартингала и стохастическое исчисление , Science Press, CRC Press Inc., ISBN 0-8493-7715-3
• Калленберг, Олав (2002), Основы современной теории вероятностей (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-95313-2
• Проттер, Филип Э. (2004), Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
• Роджерс, LCG; Уильямс, Дэвид (1987), Диффузия, марковские процессы и мартингалы , том. 2, John Wiley & Sons Ltd, ISBN 0-471-91482-7
• Карандикар, Раджива Л.; Рао, Б.В. (2018), Введение в стохастическое исчисление , Springer Ltd, ISBN 978-981-10-8317-4