Полупараметрическая модель

Тип статистической модели

В статистике полупараметрическая модель — это статистическая модель , имеющая параметрические и непараметрические компоненты.

Статистическая модель — это параметризованное семейство распределений, индексированное параметром . ${\displaystyle \{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$ ${\displaystyle \theta }$

• Параметрическая модель — это модель, в которой параметром индексации является вектор в трехмерном евклидовом пространстве для некоторого неотрицательного целого числа . ^[1] Таким образом, конечномерно и . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}}$
• В непараметрической модели множество возможных значений параметра является подмножеством некоторого пространства , которое не обязательно является конечномерным. Например, мы могли бы рассмотреть набор всех распределений со средним значением 0. Такие пространства являются векторными пространствами с топологической структурой , но не могут быть конечномерными, как векторные пространства. Таким образом, для некоторого, возможно, бесконечномерного пространства . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Theta \subseteq V}$ ${\displaystyle V}$
• В полупараметрической модели параметр имеет как конечномерную, так и бесконечномерную составляющую (часто вещественную функцию, определенную на действительной прямой). Таким образом, , где – бесконечномерное пространство. ${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}\times V}$ ${\displaystyle V}$

На первый взгляд может показаться, что полупараметрические модели включают в себя непараметрические модели, поскольку они имеют как бесконечномерную, так и конечномерную составляющую. Однако полупараметрическая модель считается «меньшей», чем полностью непараметрическая модель, поскольку нас часто интересует только конечномерная компонента . То есть бесконечномерная составляющая рассматривается как мешающий параметр . ^[2] В непараметрических моделях, напротив, основной интерес заключается в оценке бесконечномерного параметра. Таким образом, задача оценки статистически сложнее в непараметрических моделях. ${\displaystyle \theta }$

Эти модели часто используют сглаживание или ядра .

Пример

Хорошо известным примером полупараметрической модели является модель пропорциональных рисков Кокса . ^[3] Если мы заинтересованы в изучении времени до такого события, как смерть из-за рака или выход из строя лампочки, модель Кокса задает следующую функцию распределения для : ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle F(t)=1-\exp \left(-\int _{0}^{t}\lambda _{0}(u)e^{\beta x}du\right),}$

где – вектор ковариат, и – неизвестные параметры. . Здесь конечномерно и представляет интерес; представляет собой неизвестную неотрицательную функцию времени (известную как базовая функция риска) и часто является неприятным параметром . Множество возможных кандидатов на бесконечномерно. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ ${\displaystyle \theta =(\beta ,\lambda _{0}(u))}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$

Смотрите также

• Полупараметрическая регрессия
• Статистическая модель
• Обобщенный метод моментов

Примечания

1. Бикель, П.Дж.; Клаассен, CAJ; Ритов Ю.; Веллнер, Дж. А. (2006), «Полупараметрика», Коц, С .; и другие. (ред.), Энциклопедия статистических наук , Уайли.
2. Оукс, Д. (2006), «Полупараметрические модели», Коц, С .; и другие. (ред.), Энциклопедия статистических наук , Уайли.
3. Балакришнан, Н.; Рао, ЧР (2004). Справочник по статистике 23: Достижения в анализе выживания. Эльзевир . п. 126.

Рекомендации

• Бикель, П.Дж.; Клаассен, CAJ; Ритов Ю.; Веллнер, Дж. А. (1998), Эффективная и адаптивная оценка полупараметрических моделей , Springer
• Хердле, Вольфганг; Мюллер, Марлен; Сперлих, Стефан; Верватц, Аксель (2004), Непараметрические и полупараметрические модели , Springer
• Косорок, Майкл Р. (2008), Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод , Springer
• Циатис, Анастасиос А. (2006), Полупараметрическая теория и недостающие данные , Springer
• Бегун, Джанет М.; Холл, Вашингтон; Хуан, Вэй-Мин; Веллнер, Джон А. (1983), «Информация и асимптотическая эффективность в параметрических и непараметрических моделях», Анналы статистики, 11 (1983), вып. 2, 432--452