Альтернативное мультилинейное отображение

Мультилинейное отображение, равное 0, когда аргументы линейно зависимы

В математике , а точнее в полилинейной алгебре , чередующееся полилинейное отображение — это полилинейное отображение со всеми аргументами, принадлежащими одному и тому же векторному пространству (например, билинейная форма или полилинейная форма ), которое равно нулю, когда любая пара его аргументов равна. Это напрямую обобщается до модуля над коммутативным кольцом .

Понятие альтернатизации (или чередования ) используется для вывода чередующегося полилинейного отображения из любого полилинейного отображения, все аргументы которого принадлежат одному и тому же пространству.

Определение

Пусть — коммутативное кольцо и , — модули над . Полилинейное отображение вида называется знакопеременным, если оно удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:V^{n}\to W}$

1. всякий раз, когда существует такое, что тогда . ^{[1] [2]} ${\textstyle 1\leq i\leq n-1}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$
2. всякий раз, когда существует такое, что тогда . ^{[1] [3]} ${\textstyle 1\leq i\neq j\leq n}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

Векторные пространства

Пусть — векторные пространства над одним и тем же полем. Тогда полилинейное отображение вида является знакопеременным, если оно удовлетворяет следующему условию: ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle f:V^{n}\to W}$

• если линейно зависимы , то . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

Пример

В алгебре Ли скобка Ли — это знакопеременное билинейное отображение. Определитель матрицы — это полилинейное знакопеременное отображение строк или столбцов матрицы.

Характеристики

Если любой компонент чередующегося полилинейного отображения заменить на для любого и в базовом кольце , то значение этого отображения не изменится. ^[3] ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}+cx_{j}}$ ${\displaystyle j\neq i}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R}$

Каждое знакопеременное полилинейное отображение является антисимметричным, ^[4] что означает, что ^[1] или, что эквивалентно, где обозначает группу перестановок степени , а — знак . ^[5] Если — единица в базовом кольце , то каждая антисимметричная -полилинейная форма является знакопеременной . $${\displaystyle f(\dots ,x_{i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ for any }}1\leq i\leq n-1,}$$ $${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ for any }}\sigma \in \mathrm {S} _{n},}$$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$

Альтернативизация

При наличии полилинейного отображения вида чередующееся полилинейное отображение, определяемое формулой, называется чередованием отображения . ${\displaystyle f:V^{n}\to W,}$ ${\displaystyle g:V^{n}\to W}$ $${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}$$ ${\displaystyle f}$

Характеристики

• Чередование -мультилинейного чередующегося отображения равно самому себе. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$
• Альтернатизация симметричной карты равна нулю.
• Альтернатизация билинейного отображения является билинейной. В частности, альтернатизация любого коцикла является билинейной. Этот факт играет решающую роль в идентификации второй группы когомологий решетки с группой чередующихся билинейных форм на решетке.

Смотрите также

• Альтернативная алгебра
• Билинейная карта
• Внешняя алгебра § Переменные полилинейные формы
• Карта (математика)
• Полилинейная алгебра
• Многолинейная карта
• Многолинейная форма
• Симметризация

Примечания

1. Lang 2002, стр. 511–512.
2. Бурбаки 2007, A III.80, §4
3. Dummit & Foote 2004, стр. 436
4. Ротман 1995, стр. 235
5. Ту 2011, стр. 23

Ссылки

• Бурбаки, Н. (2007). Элементы математики . Том. Algèbre Chapitres 1–3 (переиздание). Спрингер.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley.
• Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Т. 211 (пересмотренное 3-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-95385-4. OCLC  48176673.
• Ротман, Джозеф Дж. (1995). Введение в теорию групп . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 148 (4-е изд.). Springer. ISBN 0-387-94285-8. OCLC  30028913.
• Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия . Springer-Verlag New York. ISBN 978-1-4419-7400-6.