Гиперболическая геометрия — это неевклидова геометрия , в которой первые четыре аксиомы евклидовой геометрии сохраняются, но пятая аксиома, постулат параллельности , изменяется. Пятая аксиома гиперболической геометрии гласит, что если даны прямая L и точка P, не лежащая на этой прямой, то через P пройдут по крайней мере две прямые , параллельные L. [1] Как и в евклидовой геометрии, где древнегреческие математики использовали циркуль и идеализированную линейку для построения длин, углов и других геометрических фигур, построения можно выполнять и в гиперболической геометрии .
Существует несколько моделей для гиперболической геометрии, которые могут облегчить выполнение и визуализацию построений. Части гиперболической плоскости могут быть помещены на псевдосферу и сохранять углы и гиперболические расстояния, а также изгибаться вокруг псевдосферы и при этом сохранять ее свойства. [2] Однако не вся гиперболическая плоскость может быть помещена на псевдосферу в качестве модели, только часть гиперболической плоскости. [2]
Всю гиперболическую плоскость можно также поместить на диск Пуанкаре и сохранить ее углы. Однако линии превратятся в дуги окружности, что их деформирует. [2]
В гиперболической геометрии можно использовать стандартную линейку и циркуль, которые часто используются в евклидовой плоской геометрии . Однако существуют различные циркули и линейки, разработанные для гиперболических построений.
Гиперкомпас может быть использован для построения гиперцикла , если заданы центральная линия и радиус. [3] Горокомпас может быть использован для построения горокомпаса через определенную точку, если также указаны диаметр и направление. Оба они также требуют наличия прямой кромки, например, стандартной линейки . [ 3] При выполнении построений в гиперболической геометрии, если вы используете правильную линейку для построения, три циркуля (то есть горокомпас, гиперкомпас и стандартный циркуль ) могут выполнять одни и те же построения. [3]
Параллельную линейку можно использовать для проведения линии, проходящей через заданную точку A и параллельную заданному лучу a [3] . Для любых двух линий гиперболическую линейку можно использовать для построения линии, параллельной первой линии и перпендикулярной второй. [3]
Несколько заметок об использовании линеек:
Рассмотрим заданный угол ᗉ IAI' ≠ π /2 радиан, биссектриса которого ищется. Это приводит к двум различным случаям: либо ᗉ IAI' < π /2 радиан, либо ᗉ IAI' > π /2 радиан. [3] Для обоих случаев нужна гиперболическая линейка, чтобы построить линию BI', где BI' перпендикулярна AI и параллельна AI'. Также постройте линию B'I, где B'I перпендикулярна AI' и параллельна AI. [3]
Случай 1: ᗉ IAI'< π /2 радиан
Пусть C будет пересечением BI' и B'I. Результатом этого является то, что линия AC делит пополам ᗉ IAI'. [3]
Случай 2: ᗉ IAI' > π /2 радиан
Это дело далее подразделяется на три поддела:
Рассмотрим задачу нахождения прямой, параллельной двум данным прямым, a и a' . Возможны три случая: a и a' пересекаются в точке O, a и a' параллельны друг другу, a и a ' ультрапараллельны друг другу. [3]
Случай 1: a и a' пересекаются в точке O,
Разделите пополам один из углов, образованных этими двумя прямыми, и назовите биссектрису угла b . Используя гиперболическую линейку, постройте прямую c так, чтобы c была перпендикулярна b и параллельна a. В результате c также параллельна a', делая c общей параллельной прямым a и a'. [3]
Случай 2: a и a' параллельны друг другу
Используя гиперболическую линейку, постройте AI' так, чтобы AI' был параллелен a' и перпендикулярен a. Постройте еще одну линию A'I так, чтобы A'I был параллелен a и перпендикулярен a'. Пусть пересечение AI' и A'I будет B. Поскольку ᗉ IBI' > π /2 радиан , случай теперь разыгрывается так же, как случай 1, позволяя построить общую параллель BI и BI'. [3]
Случай 3: a и a' ультрапараллельны друг другу
Используя гиперболическую линейку, постройте BI' так, чтобы BI' был перпендикулярен a и параллелен a' , и постройте линию B'I так, чтобы B'I был перпендикулярен a' и параллелен a таким образом, чтобы BI' и B'I находились по одну сторону от общего перпендикуляра к a и a', который можно найти с помощью теоремы об ультрапараллельности . Пусть пересечение BI' и B'I будет C. Тогда ᗉ ICI' ≠ π /2 радиан, что позволяет вам закончить построение, как и в двух других случаях. [3]
Предположим, у вас есть прямая a и точка A на этой прямой, и вы хотите построить прямую, перпендикулярную a и проходящую через A. Тогда пусть a' будет прямой, проходящей через A, где a и a' — две различные прямые. Тогда у вас будет один из двух случаев. [3]
Случай 1: a перпендикулярна a'
В этом случае у нас уже есть линия, перпендикулярная a , проходящая через A. [3]
Случай 2: a и a' не перпендикулярны друг другу
Используя гиперболическую линейку, постройте линию BI так, чтобы BI была перпендикулярна a и параллельна a'. Также постройте линию CI' так, чтобы CI' была перпендикулярна a и параллельна a', но в противоположном направлении от BI. Теперь нарисуйте линию II" так, чтобы II" была общей параллельной BI и I'C. Теорема об ультрапараллельности теперь позволяет нам создать общий перпендикуляр к II" и a, поскольку эти две линии ультрапараллельны. Этот общий перпендикуляр теперь является линией, перпендикулярной a и проходящей через A. [3]
Предположим, вы пытаетесь найти середину отрезка AB. Затем постройте линию AI так, чтобы AI проходила через A и была перпендикулярна AB. Также постройте линию BI' так, чтобы BI' пересекала AB в точке B и была перпендикулярна AB. Теперь постройте линию II' так, чтобы II' была общей параллельной AI и BI'. [3] Постройте общий перпендикуляр к II' и AB, что можно сделать с помощью теоремы об ультрапараллельности , поскольку II' и AB ультрапараллельны друг другу. Назовите эту линию CC'. Теперь C окажется серединой AB. [3]
Для целей следующих определений будут сделаны следующие предположения, которые обычно не могут быть сделаны в гиперболической геометрии:
Четырехугольник является вписанным , если сумма двух противоположных вершин составляет пи радиан или 180 градусов. [4] Кроме того, если четырехугольник вписан в окружность таким образом, что все его вершины лежат на окружности, он является вписанным. [5]
Рассмотрим треугольник ABC, в котором точки обозначены по часовой стрелке, так что все углы положительны. Пусть X будет точкой, движущейся вдоль BC от B до C. По мере того, как X приближается к C, угол ᗉAXB будет уменьшаться, а угол ᗉAXC будет увеличиваться. Когда X достаточно близко к B, ᗉAXB > ᗉAXC. Когда X достаточно близко к C, ᗉAXB < ᗉAXC. Это означает, что в какой-то момент X окажется в положении, где ᗉAXB = ᗉAXC. Когда X находится в этом положении, он определяется как основание псевдовысоты из вершины A. [4] Тогда псевдовысота будет отрезком прямой AX. [4]
Пусть d E (A,B) обозначает псевдодлину для данного гиперболического отрезка AB. Пусть преобразование перемещает A в центр диска Пуанкаре с радиусом, равным 1. Псевдодлина d E (A,B) — это длина этого отрезка в евклидовой геометрии. [4]
Если заданы точка P, точка A, где A является центром гомотетии, и число k, представляющее отношение гомотетии, гомотетия — это преобразование, которое переместит точку P в точку P', где P' находится на луче AP и d E (A,P') = k·d E (A,P). [4]
Рассмотрим три окружности ω 1 , ω 2 и ω 3 в общей плоскости. Пусть P 1 будет пересечением двух внешних касательных линий ω 2 и ω 3 . Пусть P 2 и P 3 находятся таким же образом. Теорема о трех колпаках гласит, что P 1 , P 2 и P 3 лежат на одной прямой. [4]
Доказательство: Постройте сферу на вершине каждой окружности, а затем постройте плоскость, касательную к этим трём сферам. Плоскость пересекает плоскость, на которой лежат окружности, по прямой, содержащей точки P 1 , P 2 и P 3 . Эти точки также являются центрами гомотетии для окружностей, из которых они были получены. [4]
С алгебраической точки зрения гиперболическая и сферическая геометрия имеют одинаковую структуру. [4] Это позволяет нам применять концепции и теоремы одной геометрии к другой. [4] Применение гиперболической геометрии к сферической геометрии может облегчить ее понимание, поскольку сферы гораздо более конкретны, что упрощает концептуализацию сферической геометрии.
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )