Поток Куэтта

Модель течения вязкой жидкости между двумя поверхностями, движущимися относительно друг друга

В гидродинамике течение Куэтта — это течение вязкой жидкости в пространстве между двумя поверхностями, одна из которых движется по касательной относительно другой. Относительное движение поверхностей создает в жидкости напряжение сдвига и вызывает течение. В зависимости от определения термина может также существовать приложенный градиент давления в направлении потока.

Конфигурация Куэтта моделирует определенные практические проблемы, такие как мантия и атмосфера Земли ^[1] и поток в слегка нагруженных подшипниках скольжения . Он также используется в вискозиметрии и для демонстрации приближений обратимости . ^{[2] [3]}

Он назван в честь Мориса Куэтта , профессора физики Французского университета Анжера в конце 19 века.

Плоское течение Куэтта

Простая конфигурация Куэтта с использованием двух бесконечных плоских пластин.

Течение Куэтта часто используется на курсах бакалавриата по физике и инженерному делу для иллюстрации движения жидкости , вызванного сдвигом . Простая конфигурация соответствует двум бесконечным параллельным пластинам, разделенным расстоянием ; одна пластина перемещается с постоянной относительной скоростью в своей плоскости. Если пренебречь градиентами давления, уравнения Навье – Стокса упрощаются до ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=0,}$

где – пространственная координата, нормальная к пластинам, – поле скорости. Это уравнение отражает предположение, что поток однонаправлен , то есть только одна из трех составляющих скорости нетривиальна. Если нижняя пластина соответствует , граничными условиями являются и . Точное решение ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle (u,v,w)}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle u(0)=0}$ ${\displaystyle u(h)=U}$

${\displaystyle u(y)=U{\frac {y}{h}}}$

можно найти путем двукратного интегрирования и решения констант с использованием граничных условий. Примечательным аспектом течения является то, что напряжение сдвига является постоянным во всей области. В частности, первая производная скорости постоянна. Согласно закону вязкости Ньютона ( ньютоновская жидкость ), напряжение сдвига является произведением этого выражения и (постоянной) вязкости жидкости . ${\displaystyle U/h}$

Запускать

Схема запуска Куэтта

В действительности решение Куэтта не достигается мгновенно. «Проблема запуска», описывающая подход к устойчивому состоянию, определяется выражением

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$

при условии начального состояния

${\displaystyle u(y,0)=0,\quad 0<y<h,}$

и с теми же граничными условиями, что и установившийся поток:

${\displaystyle u(0,t)=0,\quad u(h,t)=U,\quad t>0.}$

Задачу можно сделать однородной , вычитая устойчивое решение. Тогда применение разделения переменных приводит к решению: ^[4]

${\displaystyle u(y,t)=U{\frac {y}{h}}-{\frac {2U}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-n^{2}\pi ^{2}{\frac {\nu t}{h^{2}}}}\sin \left[n\pi \left(1-{\frac {y}{h}}\right)\right]}$.

Временная шкала, описывающая релаксацию до устойчивого состояния, равна , как показано на рисунке. Время достижения установившегося состояния зависит только от расстояния между пластинами и кинематической вязкости жидкости, но не от . ${\displaystyle t\sim h^{2}/\nu }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U}$

Плоское течение с градиентом давления

Более общий поток Куэтта включает постоянный градиент давления в направлении, параллельном пластинам. Уравнения Навье – Стокса имеют вид ${\displaystyle G=-dp/dx=\mathrm {constant} }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }},}$

где динамическая вязкость . Дважды интегрирование приведенного выше уравнения и применение граничных условий (таких же, как в случае течения Куэтта без градиента давления) дает ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle u(y)={\frac {G}{2\mu }}y\,(h-y)+U{\frac {y}{h}}.}$

Градиент давления может быть положительным (неблагоприятный градиент давления) или отрицательным (благоприятный градиент давления). В предельном случае неподвижных пластин ( ) течение называется плоскостным течением Пуазейля и имеет симметричный (относительно горизонтальной средней плоскости) параболический профиль скорости. ^[5] ${\displaystyle U=0}$

Сжимаемый поток

Сжимаемый поток Куэтта для ${\displaystyle \mathrm {M} =0}$

Сжимаемый поток Куэтта для ${\displaystyle \mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} =7.5}$

В несжимаемом потоке профиль скорости линейный, поскольку температура жидкости постоянна. Когда верхняя и нижняя стенки поддерживаются при разных температурах, профиль скорости усложняется. Однако оно имеет точное неявное решение, как показал Ч.Р. Иллингворт в 1950 году. ^[6]

Рассмотрим плоское течение Куэтта с покоящейся нижней стенкой и движущейся с постоянной скоростью верхней стенкой . Обозначим свойства жидкости у нижней стенки индексом , а свойства у верхней стенки индексом . Свойства и давление у верхней стенки заданы и приняты за справочные величины. Пусть это расстояние между двумя стенами. Граничные условия: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle u=0,\ v=0,\ h=h_{w}=c_{pw}T_{w}\ {\text{at}}\ y=0,}$

${\displaystyle u=U,\ v=0,\ h=h_{\infty }=c_{p\infty }T_{\infty },\ p=p_{\infty }\ {\text{at}}\ y=l}$

где – удельная энтальпия , – удельная теплоемкость . Сохранение массы и импульса необходимо повсюду в области течения. Сохранение энергии и -импульса сводится к ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle v=0,\ p=p_{\infty }}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\mu {\frac {du}{dy}}\right)=0,\quad \Rightarrow \quad {\frac {d\tau }{dy}}=0,\quad \Rightarrow \quad \tau =\tau _{w}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Pr} }}{\frac {d}{dy}}\left(\mu {\frac {dh}{dy}}\right)+\mu \left({\frac {du}{dy}}\right)^{2}=0.}$

где напряжение сдвига стенки. Поток зависит не от числа Рейнольдса , а от числа Прандтля и числа Маха , где – теплопроводность , – скорость звука , – удельная теплоемкость . Введем безразмерные переменные ${\displaystyle \tau =\tau _{w}={\text{constant}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} =Ul/\nu _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathrm {Pr} =\mu _{\infty }c_{p\infty }/\kappa _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathrm {M} =U/c_{\infty }=U/{\sqrt {(\gamma -1)h_{\infty }}}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\tilde {y}}={\frac {y}{l}},\quad {\tilde {T}}={\frac {T}{T_{\infty }}},\quad {\tilde {T}}_{w}={\frac {T_{w}}{T_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}={\frac {h}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}_{w}={\frac {h_{w}}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {u}}={\frac {u}{U}},\quad {\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu _{\infty }}},\quad {\tilde {\tau }}_{w}={\frac {\tau _{w}}{\mu _{\infty }U/l}}}$

В этих величинах решения имеют вид

${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {h}}_{w}+\left[{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} +(1-{\tilde {h}}_{w})\right]{\tilde {u}}-{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} \,{\tilde {u}}^{2},}$

${\displaystyle {\tilde {y}}={\frac {1}{{\tilde {\tau }}_{w}}}\int _{0}^{\tilde {u}}{\tilde {\mu }}\,d{\tilde {u}},\quad {\tilde {\tau }}_{w}=\int _{0}^{1}{\tilde {\mu }}\,d{\tilde {u}},\quad q_{w}=-{\frac {1}{\mathrm {Pr} }}\tau _{w}\left({\frac {dh}{du}}\right)_{w},}$

где - теплота, передаваемая в единицу времени на единицу площади от нижней стенки. Таким образом, являются неявными функциями . Можно также записать решение через температуру восстановления и энтальпию восстановления , рассчитанную при температуре изолированной стенки, т.е. значения и для которых . ^{[ нужны разъяснения ]} Тогда решение ${\displaystyle q_{w}}$ ${\displaystyle {\tilde {h}},{\tilde {T}},{\tilde {u}},{\tilde {\mu }}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle T_{r}}$ ${\displaystyle h_{r}}$ ${\displaystyle T_{w}}$ ${\displaystyle h_{w}}$ ${\displaystyle q_{w}=0}$

${\displaystyle {\frac {q_{w}}{\tau _{w}U}}={\frac {{\tilde {T}}_{w}-{\tilde {T}}_{r}}{(\gamma -1)\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} }},\quad {\tilde {T}}_{r}=1+{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} ,}$

${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {h}}_{w}+({\tilde {h}}_{r}-{\tilde {h}}_{w}){\tilde {u}}-{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} \,{\tilde {u}}^{2}.}$

Если удельная теплоемкость постоянна, то . Когда и , то и везде постоянны, что восстанавливает решение течения Куэтта несжимаемой жидкости. В противном случае необходимо знать полную температурную зависимость . Хотя не существует простого выражения, которое было бы одновременно точным и общим, существует несколько приближений для определенных материалов — см., например, температурную зависимость вязкости . При и величины восстановления становятся единицей . Для воздуха обычно используются значения , результаты для этого случая показаны на рисунке. ${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {T}}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} \rightarrow 0}$ ${\displaystyle T_{w}=T_{\infty },\Rightarrow q_{w}=0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})}$ ${\displaystyle {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})}$ ${\displaystyle \mathrm {M} \rightarrow 0}$ ${\displaystyle q_{w}\neq 0}$ ${\displaystyle {\tilde {T}}_{r}=1}$ ${\displaystyle \gamma =1.4,\ {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})={\tilde {T}}^{2/3}}$

Также изучались эффекты диссоциации и ионизации (т. е. непостоянства); в этом случае температура восстановления снижается из-за диссоциации молекул. ^[7] ${\displaystyle c_{p}}$

Прямоугольный канал

Течение Куэтта для квадратного канала

Течение Куэтта с h/l=0,1

Одномерное течение справедливо, когда обе пластины имеют бесконечную длину в продольном ( ) и поперечном ( ) направлениях. Когда длина по размаху конечна, поток становится двумерным и является функцией как от , так и от . Однако бесконечную длину в продольном направлении необходимо сохранить, чтобы обеспечить однонаправленный характер потока. ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

В качестве примера рассмотрим бесконечно длинный прямоугольный канал с поперечной высотой и шириной по размаху при условии, что верхняя стенка движется с постоянной скоростью . Без наложенного градиента давления уравнения Навье – Стокса сводятся к ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0}$

с граничными условиями

${\displaystyle u(0,z)=0,\quad u(h,z)=U,}$

${\displaystyle u(y,0)=0,\quad u(y,l)=0.}$

Используя разделение переменных , решение дается формулой

${\displaystyle u(y,z)={\frac {4U}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}{\frac {\sinh(\beta _{n}y)}{\sinh(\beta _{n}h)}}\sin(\beta _{n}z),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{l}}.}$

При , плоское течение Куэтта восстанавливается, как показано на рисунке. ${\displaystyle h/l\ll 1}$

Коаксиальные цилиндры

Течение Тейлора – Куэтта представляет собой течение между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами бесконечной длины. ^[8] Исходная задача была решена Стоуксом в 1845 году, ^[9] но имя Джеффри Ингрэма Тейлора было связано с потоком, поскольку он изучал его устойчивость в знаменитой статье 1923 года. ^[10]

Задача может быть решена в цилиндрических координатах . Обозначим радиусы внутреннего и внешнего цилиндров как и . Если предположить, что цилиндры вращаются с постоянными угловыми скоростями и , то скорость в -направлении равна ^[11] ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle v_{\theta }(r)=ar+{\frac {b}{r}},\qquad a={\frac {\Omega _{2}R_{2}^{2}-\Omega _{1}R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}},\quad b={\frac {(\Omega _{1}-\Omega _{2})R_{1}^{2}R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}}.}$

Это уравнение показывает, что эффекты кривизны больше не допускают постоянного сдвига в области потока.

Коаксиальные цилиндры конечной длины

Классическая задача Тейлора – Куэтта предполагает наличие бесконечно длинных цилиндров; если цилиндры имеют непренебрежимо малую конечную длину , то анализ необходимо изменить (хотя поток по-прежнему однонаправленный). Для проблема конечной длины может быть решена с использованием разделения переменных или интегральных преобразований , что дает: ^[12] ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \Omega _{2}=0}$

${\displaystyle v_{\theta }(r,z)={\frac {4R_{1}\Omega _{1}}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}{\frac {I_{1}(\beta _{n}R_{2})K_{1}(\beta _{n}r)-K_{1}(\beta _{n}R_{2})I_{1}(\beta _{n}r)}{I_{1}(\beta _{n}R_{2})K_{1}(\beta _{n}R_{1})-K_{1}(\beta _{n}R_{2})I_{1}(\beta _{n}R_{1})}}\sin(\beta _{n}z),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{l}},}$

где – модифицированные функции Бесселя первого и второго рода. ${\displaystyle I(\beta _{n}r),\ K(\beta _{n}r)}$

Смотрите также

• Ламинарный поток
• Течение Стокса-Куэтта
• Уравнение Хагена – Пуазейля
• Поток Тейлора – Куэтта
• Течение Хагена–Пуазейля из уравнений Навье–Стокса

Рекомендации

1. Жиленко и др. (2018)
2. Гийон и др. (2001), с. 136
3. Хеллер (1960)
4. Позрикидис (2011), стр. 338–339.
5. Кунду и др. (2016), с. 415
6. Лагерстрем (1996)
7. Липманн и др. (1956, 1957)
8. Ландау и Лифшиц (1987)
9. Стоукс (1845)
10. Тейлор (1923)
11. Гийон и др. (2001), стр. 163–166.
12. Вендл (1999)

Источники

• Ачесон, диджей (1990). Элементарная гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-859679-0.
• Бэтчелор, ГК (2000) [1967]. Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66396-2.
• Гийон, Этьен; Юлен, Жан-Пьер; Пети, Люк; Митеску, Каталин Д. (2001). Физическая гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-851746-7.
• Хеллер, Джон П. (1960). «Несмешиваемая демонстрация». Американский журнал физики . 28 (4): 348–353. Бибкод : 1960AmJPh..28..348H. дои : 10.1119/1.1935802. ISSN  0002-9505.
• Иллингворт, ЧР (1950). «Некоторые решения уравнений течения вязкой сжимаемой жидкости». Математические труды Кембриджского философского общества . 46 (3): 469–478. Бибкод : 1950PCPS...46..469I. дои : 10.1017/S0305004100025986. ISSN  0305-0041. S2CID  122559614.
• Кунду, Пиджуш К.; Коэн, Ира М.; Даулинг, Дэвид Р. (2016). Механика жидкости (6-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-12-405935-1.
• Лагерстрем, Пако (1996). Теория ламинарного течения. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0691025988.
• Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (1987). Механика жидкости (2-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-08-057073-0.
• Липманн, Х.В. и З.О. Блевисс. «Влияние диссоциации и ионизации на сжимаемый поток Куэтта». Представитель Douglas Aircraft Co. СМ-19831 130 (1956 г.).
• Липманн, Ганс Вольфганг и Анатол Рошко . Элементы газодинамики. Курьерская корпорация, 1957 год.
• Позрикидис, К. (2011). Введение в теоретическую и вычислительную гидродинамику . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-975207-2.
• Ричард Фейнман (1964) Лекции Фейнмана по физике: в основном электромагнетизм и материя , § 41–6 Поток Куэтта, ISBN Аддисона-Уэсли 0-201-02117-X 
• Стоукс, Джордж Габриэль (1880). «К теориям внутреннего трения движущихся жидкостей, а также равновесия и движения упругих твердых тел». Математические и физические статьи . Издательство Кембриджского университета: 75–129. дои : 10.1017/CBO9780511702242.005. ISBN 9780511702242.
• Тейлор, Джеффри И. (1923). «Устойчивость вязкой жидкости, содержащейся между двумя вращающимися цилиндрами». Философские труды Лондонского королевского общества . Серия А, содержащая статьи математического или физического характера. 223 (605–615): 289–343. Бибкод : 1923RSPTA.223..289T. дои : 10.1098/rsta.1923.0008 . JSTOR  91148.
• Вендл, Майкл К. (1999). «Общее решение профиля потока Куэтта». Физический обзор E . 60 (5): 6192–6194. Бибкод : 1999PhRvE..60.6192W. doi : 10.1103/PhysRevE.60.6192. ISSN  1063-651X. ПМИД  11970531.
• Жиленко Дмитрий Владимирович; Кривоносова Ольга; Грицевич, Мария; Прочтите, Питер (2018). «Выбор волнового числа при наличии шума: результаты эксперимента». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 28 (5): 053110. Бибкод : 2018Хаос..28e3110Z. дои : 10.1063/1.5011349. hdl : 10138/240787 . ISSN  1054-1500. PMID  29857673. S2CID  46925417.

Внешние ссылки

• Глоссарий AMS: течение Куэтта
• Взгляд реологов: наука, лежащая в основе аксессуара ячейки Куэтта