Матрица Фробениуса

Матрица Фробениуса — это особый вид квадратной матрицы из численного анализа . Матрица является матрицей Фробениуса, если она обладает следующими тремя свойствами:

• все записи на главной диагонали являются единицами
• записи под главной диагональю не более одного столбца являются произвольными
• каждая вторая запись равна нулю

Следующая матрица является примером.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

Матрицы Фробениуса обратимы . Обратная матрица Фробениуса — это снова матрица Фробениуса, равная исходной матрице с измененными знаками вне главной диагонали. Обратной матрицей для примера выше является, таким образом:

${\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&-a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&-a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

Матрицы Фробениуса названы в честь Фердинанда Георга Фробениуса .

Термин матрица Фробениуса может также использоваться для альтернативной формы матрицы, которая отличается от единичной матрицы только элементами одной строки, предшествующей диагональной записи этой строки (в отличие от приведенного выше определения, в котором матрица отличается от единичной матрицы одним столбцом под диагональю). Следующая матрица является примером этой альтернативной формы, показывающей матрицу 4 на 4 с ее третьей строкой, отличающейся от единичной матрицы.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\a_{31}&a_{32}&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Альтернативное название для этой последней формы матриц Фробениуса — матрица преобразования Гаусса , в честь Карла Фридриха Гаусса . ^[1] Они используются в процессе исключения Гаусса для представления преобразований Гаусса.

Если матрица умножается слева (умножается слева) на матрицу преобразования Гаусса, то к данной строке матрицы добавляется линейная комбинация предыдущих строк (в примере, показанном выше, к строке 3 будет добавлена ​​линейная комбинация строк 1 и 2). Умножение на обратную матрицу вычитает соответствующую линейную комбинацию из данной строки. Это соответствует одной из элементарных операций исключения Гаусса (помимо операции транспонирования строк и умножения строки на скалярный множитель).

Смотрите также

• Элементарная матрица , частный случай матрицы Фробениуса с единственным ненулевым недиагональным элементом.

Примечания

1. Голуб и Ван Лоан, стр. 95.

Ссылки

• Джин Х. Голуб и Чарльз Ф. Ван Лоан (1996). Матричные вычисления , третье издание, Johns Hopkins University Press. ISBN  0-8018-5413-X (твердая обложка), ISBN 0-8018-5414-8 (мягкая обложка).