Первоначальный элемент (коалгебра)

В алгебре примитивным элементом коалгебры C (над элементом g ) называется элемент x, удовлетворяющий условию

${\displaystyle \mu (x)=x\otimes g+g\otimes x}$

где — ко-умножение , а g — элемент C , который отображается в мультипликативную единицу 1 базового поля под ко-единицей ( g называется групповым ). ${\displaystyle \mu }$

Если C является биалгеброй , т. е. коалгеброй, которая также является алгеброй (при выполнении определенных условий совместимости), то обычно g принимается равным 1, мультипликативному тождеству C. Биалгебра C называется примитивно порожденной, если она порождена примитивными элементами (как алгебра).

Если C — биалгебра, то множество примитивных элементов образует алгебру Ли с обычной коммутаторной скобкой ( градуированным коммутатором , если C градуирована). ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

Если A — связная градуированная кокоммутативная алгебра Хопфа над полем нулевой характеристики, то теорема Милнора–Мура утверждает, что универсальная обертывающая алгебра градуированной алгебры Ли примитивных элементов A изоморфна A. (Это справедливо и при несколько более слабых требованиях.)

Ссылки

• http://www.encyclepediaofmath.org/index.php/Primitive_element_in_a_co-algebra