Проблема белых угрей

В теории групп , разделе абстрактной алгебры , проблема Уайтхеда — это следующий вопрос:

Является ли каждая абелева группа A с Ext ¹ ( A , Z ) = 0 свободной абелевой группой ?

Сахарон Шелах доказал, что проблема Уайтхеда не зависит от ZFC , стандартных аксиом теории множеств. ^[1]

Уточнение

Предположим, что A — абелева группа, такая что каждая короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow B\rightarrow A\rightarrow 0}$

должно расщепляться, если B также абелева. Тогда проблема Уайтхеда спрашивает: должно ли A быть свободным? Это требование расщепления эквивалентно условию Ext ¹ ( A , Z ) = 0. Абелевы группы A, удовлетворяющие этому условию, иногда называются группами Уайтхеда , поэтому проблема Уайтхеда спрашивает: свободна ли каждая группа Уайтхеда? Следует отметить, что если это условие усилить, потребовав, чтобы точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow C\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow 0}$

должна расщепляться для любой абелевой группы C , то хорошо известно, что это эквивалентно тому, что A является свободной.

Внимание : Обратное к проблеме Уайтхеда, а именно, что каждая свободная абелева группа является Уайтхедом, является хорошо известным фактом теории групп. Некоторые авторы называют группой Уайтхеда только несвободную группу A , удовлетворяющую Ext ¹ ( A , Z ) = 0. Тогда проблема Уайтхеда спрашивает: существуют ли группы Уайтхеда?

Доказательство Шелаха

Сахарон Шелах показал, что при наличии канонической системы аксиом ZFC проблема не зависит от обычных аксиом теории множеств . ^[1] Точнее, он показал, что:

• Если каждое множество конструируемо , то каждая группа Уайтхеда свободна;
• Если аксиома Мартина и отрицание гипотезы континуума верны, то существует несвободная группа Уайтхеда.

Поскольку согласованность ZFC подразумевает согласованность обоих следующих факторов:

• Аксиома конструктивности (утверждающая, что все множества конструктивны);
• Аксиома Мартина плюс отрицание гипотезы континуума,

Проблему Уайтхеда невозможно решить в ZFC.

Обсуждение

Дж. Х. К. Уайтхед , мотивированный второй проблемой Кузена , впервые сформулировал эту проблему в 1950-х годах. Стайн ответил на вопрос утвердительно для счетных групп. ^[2] Прогресс для больших групп был медленным, и эта проблема считалась важной в алгебре в течение нескольких лет.

Результат Шелаха был совершенно неожиданным. Хотя существование неразрешимых утверждений было известно со времен теоремы Гёделя о неполноте 1931 года, предыдущие примеры неразрешимых утверждений (такие как гипотеза континуума ) все были в чистой теории множеств . Проблема Уайтхеда была первой чисто алгебраической проблемой, неразрешимость которой была доказана.

Позже Шелах показал, что проблема Уайтхеда остается неразрешимой, даже если принять гипотезу континуума. ^{[3] [4]} Фактически, она остается неразрешимой даже при обобщенной гипотезе континуума . ^[5] Гипотеза Уайтхеда верна, если все множества конструируемы . То, что это и другие утверждения о несчетных абелевых группах доказуемо независимы от ZFC, показывает, что теория таких групп очень чувствительна к предполагаемой базовой теории множеств .

Смотрите также

• Свободная абелева группа
• торсия Уайтхеда
• Список утверждений, неразрешимых в ZFC
• Утверждения верны в L

Ссылки

1. Shelah, S. (1974). «Бесконечные абелевы группы, проблема Уайтхеда и некоторые конструкции». Israel Journal of Mathematics . 18 (3): 243–256. doi :10.1007/BF02757281. MR  0357114. S2CID  123351674.
2. Штейн, Карл (1951). «Аналитические функции лучше комплексны для решения периодических модулей и решения задач». Математические Аннален . 123 : 201–222. дои : 10.1007/BF02054949. MR  0043219. S2CID  122647212.
3. Shelah, S. (1977). "Группы Уайтхеда могут не быть свободными, даже если предположить CH. I". Israel Journal of Mathematics . 28 (3): 193-203. doi : 10.1007/BF02759809 . hdl : 10338.dmlcz/102427 . MR  0469757. S2CID  123029484.
4. Shelah, S. (1980). «Группы Уайтхеда могут не быть свободными, даже если предположить CH. II». Israel Journal of Mathematics . 35 (4): 257–285. doi :10.1007/BF02760652. MR  0594332. S2CID  122336538.
5. Triflaj, Jan (16 февраля 2023 г.). «Проблема Уайтхеда и ее последствия (конспект лекций по NMAG565)» (PDF) . Charles University . Получено 26 сентября 2024 г. .

Дальнейшее чтение

• Эклоф, Пол К. (декабрь 1976 г.). «Проблема Уайтхеда неразрешима». The American Mathematical Monthly . 83 (10): 775–788. doi :10.2307/2318684. JSTOR  2318684.Разъяснительный отчет о доказательстве Шелаха.
• Эклоф, ПК (2001) [1994], «Проблема Уайтхеда», Энциклопедия математики , EMS Press