Проблема моментов гамбургера

В математике проблема моментов Гамбургера , названная в честь Ганса Людвига Гамбургера , формулируется следующим образом: для заданной последовательности ( m0 , m1 , m2 , ...) существует ли положительная _{борелевская} мера μ (например, мера, определяемая кумулятивной функцией распределения _{случайной величины} ) на действительной прямой такая, что

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x){\text{ ?}}}$

Другими словами, утвердительный ответ на задачу означает, что ( m ₀ , m ₁ , m ₂ , ...) — последовательность моментов некоторой положительной борелевской меры  μ .

Проблема моментов Стилтьеса , проблема моментов Воробьева и проблема моментов Хаусдорфа похожи, но заменяют действительную прямую на (Стилтьес и Воробьев; но Воробьев формулирует задачу в терминах теории матриц) или на ограниченный интервал (Хаусдорф). ${\displaystyle [0,+\infty )}$

Характеристика

Проблема моментов Гамбургера разрешима (то есть ( m _n ) является последовательностью моментов ) тогда и только тогда, когда соответствующее ядро ​​Ганкеля на неотрицательных целых числах

${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots \\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots \\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}\right)}$

положительно определена , т.е.

${\displaystyle \sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}\geq 0}$

для любой произвольной последовательности ( c _j ) _{j ≥ 0} комплексных чисел , которые являются финитными (т.е. c _j  = 0, за исключением конечного числа значений  j ).

Что касается части «только если» в утверждениях, просто отметьте, что

${\displaystyle \sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|\sum _{j\geq 0}c_{j}x^{j}\right|^{2}\,d\mu (x)}$

что неотрицательно, если неотрицательно. ${\displaystyle \mu }$

Набросаем аргумент в пользу обратного. Пусть Z ⁺ — неотрицательные целые числа, а F ₀ ( Z ⁺ ) — семейство комплекснозначных последовательностей с конечным носителем. Положительное ядро ​​Ганкеля A индуцирует (возможно, вырожденное) полуторалинейное произведение на семействе комплекснозначных последовательностей с конечным носителем. Это, в свою очередь, дает гильбертово пространство

${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )}$

типичным элементом которого является класс эквивалентности , обозначаемый [ f ].

Пусть e _n будет элементом в F ₀ ( Z ⁺ ), определяемым как e _n ( m ) = δ _nm . Заметим, что

${\displaystyle \langle [e_{n+1}],[e_{m}]\rangle =A_{m,n+1}=m_{m+n+1}=\langle [e_{n}],[e_{m+1}]\rangle .}$

Следовательно, оператор сдвига T на , при этом T [ e _n ] = [ e _{n  + 1} ], является симметричным . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

С другой стороны, желаемое выражение

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$

предполагает, что μ является спектральной мерой самосопряженного оператора . (Более точно, μ является спектральной мерой для оператора, определенного ниже, и вектора [1], (Рид и Саймон 1975, стр. 145)). Если мы можем найти «функциональную модель» такую, что симметричный оператор T является умножением на  x , то спектральное разрешение самосопряженного расширения T доказывает это утверждение. ${\displaystyle {\overline {T}}}$

Функциональная модель задается естественным изоморфизмом из F ₀ ( Z ⁺ ) в семейство полиномов с одной действительной переменной и комплексными коэффициентами: для n  ≥ 0 отождествляем e _n с x ⁿ . В модели оператор T является умножением на x и плотно определенным симметричным оператором. Можно показать, что T всегда имеет самосопряженные расширения. Пусть будет одним из них, а μ будет его спектральной мерой. Так что ${\displaystyle {\overline {T}}}$

${\displaystyle \langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\int x^{n}d\mu (x).}$

С другой стороны,

${\displaystyle \langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\langle T^{n}[e_{0}],[e_{0}]\rangle =m_{n}.}$

Альтернативное доказательство существования, использующее только интегралы Стилтьеса, см. также в ^[1] , в частности теорему 3.2.

Уникальность решений

Решения образуют выпуклое множество, поэтому задача имеет либо бесконечно много решений, либо единственное решение.

Рассмотрим матрицу Ганкеля ( n  + 1) × ( n  + 1)

${\displaystyle \Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right].}$

Положительность A означает, что для каждого n det(Δ _n ) ≥ 0. Если det(Δ _n ) = 0 для некоторого  n , то

${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )}$

конечномерен, а T самосопряжен. Таким образом, в этом случае решение проблемы моментов Гамбургера единственно, а μ , будучи спектральной мерой T , имеет конечный носитель.

В более общем случае решение является единственным, если существуют константы C и D такие, что для всех n , | m _n | ≤ CD ⁿ n ! (Рид и Саймон 1975, стр. 205). Это следует из более общего условия Карлемана .

Существуют примеры, когда решение не является единственным; см., например, ^[2]

Дальнейшие результаты

Можно видеть, что проблема моментов Гамбургера тесно связана с ортогональными многочленами на вещественной прямой. Процедура Грама–Шмидта дает базис ортогональных многочленов, в котором оператор: имеет трехдиагональное представление матрицы Якоби . Это, в свою очередь, приводит к трехдиагональной модели положительных ядер Ганкеля. ${\displaystyle {\overline {T}}}$

Явное вычисление преобразования Кэли T показывает связь с так называемым классом аналитических функций Неванлинны на левой полуплоскости. Переходя к некоммутативной настройке, это мотивирует формулу Крейна , которая параметризует расширения частичных изометрий.

Кумулятивную функцию распределения и функцию плотности вероятности часто можно найти, применив обратное преобразование Лапласа к функции генерации моментов.

${\displaystyle m(t)=\sum _{n=0}m_{n}{\frac {t^{n}}{n!}},}$

при условии, что эта функция сходится.

Ссылки

• Чихара, ТС (1978), Введение в ортогональные многочлены , Гордон и Брич, Science Publishers, ISBN 0-677-04150-0
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Анализ Фурье, Самосопряженность , Методы современной математической физики, т. 2, Academic Press, стр. 145, 205, ISBN 0-12-585002-6
• Шохат, JA; Тамаркин, JD (1943), Проблема моментов , Нью-Йорк: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1501-6.

1. Чихара 1978, стр. 56.
2. Чихара 1978, стр. 73.