Проблема планирования экономичных партий

Проблемы управления операциями и теории запасов

Проблема планирования экономических партий ( ELSP ) — это проблема управления операциями и теории запасов , которая изучается многими исследователями уже более 50 лет. Этот термин был впервые использован в 1958 году профессором Джеком Д. Роджерсом из Беркли ^[1] , который распространил модель экономического объема заказа на случай, когда на одной и той же машине должно быть произведено несколько продуктов , так что необходимо решить как партию, так и размер партии. размер каждого продукта и сроки производства каждой партии. Метод, проиллюстрированный Джеком Д. Роджерсом, основан на статье Уэлча У. Эверта 1956 года. ^[2] ELSP представляет собой математическую модель общей проблемы практически для любой компании или отрасли: планирование того, что производить, когда производить и сколько производить.

Формулировка модели

Классический ELSP предполагает планирование производства нескольких продуктов на одном станке, чтобы минимизировать общие затраты (которые включают затраты на настройку и затраты на хранение запасов).

Мы предполагаем известный, неизменяющийся спрос на m продуктов (например, может быть m = 3 продукта, и клиентам требуется 7 товаров в день Продукта 1, 5 товаров в день Продукта 2 и 2 продукта в день Продукта 3). ). Потребительский спрос удовлетворяется за счет запасов, а запасы пополняются за счет нашего производства. ${\displaystyle d_{j},j=1,\cdots ,m}$

Доступна одна машина, которая может производить все продукты, но не полностью взаимозаменяемыми способами. Вместо этого машину необходимо настроить для производства одного продукта, что потребует затрат на настройку и/или времени на настройку, после чего она будет производить этот продукт с известной скоростью . Когда необходимо произвести другой продукт, машину останавливают, и требуется еще одна дорогостоящая установка, чтобы начать производство следующего продукта. Пусть будет стоимость установки при переходе с продукта i на продукт j, а стоимость запасов взимается на основе среднего уровня запасов каждого товара. N — количество выполненных запусков, U — норма использования, L — размер партии и T — период планирования. ${\displaystyle P_{j}}$ ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle h_{j}}$

Если привести очень конкретный пример, то машиной может быть машина для розлива в бутылки , а продуктами могут быть ящики с яблочным соком , апельсиновым соком и молоком в бутылках . Настройка соответствует процессу остановки машины, ее очистки и загрузки бака машины нужной жидкостью. Эту смену продукта не следует производить слишком часто, иначе затраты на установку будут большими, но в равной степени слишком длительный период производства яблочного сока был бы нежелателен, поскольку это привело бы к большим инвестициям в запасы и затратам на содержание непроданных ящиков яблочного сока и, возможно, к большим затратам на содержание непроданных ящиков яблочного сока. дефицит апельсинового сока и молока. ELSP ищет оптимальный компромисс между этими двумя крайностями.

Алгоритм Роджерса

1. Определите:

${\displaystyle \theta =T/N=L/U}$= период использования

c _L = , себестоимость единицы партии размером L ${\displaystyle {\frac {hL(P-U)}{2PU}}+{\frac {S}{L}}}$

${\displaystyle C_{N}=NLc_{L}=UT\left[{\frac {hL\left(P-U\right)}{2PU}}+{\frac {S}{L}}\right]}$общая стоимость N лотов. Чтобы получить оптимум :

${\displaystyle {\frac {d(C_{N})}{dL}}={\frac {hT\left(P-U\right)}{2P}}-{\frac {SUT}{L^{2}}}=0}$

Это дает оптимальный размер партии. Теперь позвольте: ${\displaystyle L_{0}={\sqrt {\frac {2USP}{h(P-U)}}}}$

${\displaystyle C_{N_{L\pm a}}=UT\left[{\frac {h\left(L\pm a\right)\left(P-U\right)}{2PU}}+{\frac {S}{L\pm a}}\right]}$— общая стоимость N _L±a лотов размером L±a

${\displaystyle +\Delta =C_{N_{L+a}}-C_{N}=UT\left[{\frac {ha\left(P-U\right)}{2PU}}-{\frac {S}{{\frac {L^{2}}{a}}+L}}\right]}$— дополнительные затраты на переход от размера L к L+a.

${\displaystyle -\Delta =C_{N_{L-a}}-C_{N}=UT\left[-{\frac {ha\left(P-U\right)}{2PU}}+{\frac {S}{{\frac {L^{2}}{a}}-L}}\right]}$— дополнительные затраты на переход от размера L к La.

2.

Общее количество необходимого товара = UT

Общее время производства изделия = UT/P

Убедитесь, что производительная мощность удовлетворена:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {U_{i}T}{P_{i}}}\leq T}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {U_{i}}{P_{i}}}\leq 1}$

3. Вычислить:

${\displaystyle \theta _{0}={\frac {L_{0}}{U}}}$как целое число

Если для определенного предмета θ ₀ не является четным числом, вычислите:

${\displaystyle L=U\left(\theta _{0}+1\right)}$

${\displaystyle L=U\left(\theta _{0}-1\right)}$

И измените L ₀ на L в том направлении, которое вызывает наименьшее увеличение затрат между +Δ и -Δ.

4. Вычислите t _p =L/P для каждого элемента и перечислите элементы в порядке возрастания θ=L/U.

5. Для каждой пары предметов ij проверьте:

${\displaystyle \theta _{i}-t_{p_{i}}\geq t_{p_{j}}}$

${\displaystyle \theta _{j}-t_{p_{j}}\geq t_{p_{i}}}$

Для формирования пар берут i-й ^с i+1-м, i+2-м и т. д. Если какое-либо из этих неравенств нарушается, вычислите +Δ и -Δ для приращений размера партии 2U и в порядке размера изменения стоимости сделайте шаг – поэтапное изменение размера лота. Повторяйте этот шаг до тех пор, пока оба неравенства не будут удовлетворены.

6. ${\displaystyle e_{ij}=d-t_{p_{i}}\leq \theta _{i}-t_{p_{i}}-t_{p_{j}}}$

1. Сформируйте все возможные пары, как в шаге 5.
2. Для каждой пары выберите _θi < _θj
3. Определите, является ли t _{p i} > t _{p j} , t _{p i} < t _{p j} или t _{p i} = t _{p j}
4. Выберите значение для e _ij (e _ij =0,1,2,3,...,θ _i - t _{p i} - t _{p j} ) и вычислите t _pi +e и t _pj +e
5. Вычислите M _i θ _i -M _j θ _j, установив M _i =k и M _j =1,2,3,...,T/θ _j ; ∀kε(1,2,...,T/θi ₎ . Затем проверьте, удовлетворено ли одно из следующих граничных условий:

для или ${\displaystyle t_{p_{i}}>t_{p_{j}}}$ ${\displaystyle t_{p_{i}}<t_{p_{j}}}$ ${\displaystyle {\begin{cases}t_{p_{i}}+e\geq M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>e\\t_{p_{i}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}\geq t_{p_{i}}+e\\t_{p_{j}}+e\geq M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>t_{p_{i}}+e\\t_{p_{i}}+t_{p_{j}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}\geq t_{p_{j}}+e\end{cases}}}$

для ${\displaystyle t_{p_{i}}=t_{p_{j}}}$ ${\displaystyle {\begin{cases}t_{p_{i}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>e\\t_{p_{i}}+t_{p_{j}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>t_{p_{j}}+e\\t_{p_{i}}+e=M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}=t_{p_{j}}+e\end{cases}}}$

Если ни одно из граничных условий не удовлетворено, то e _ij не мешает: если i=1 в e _ij , выберите следующее большее e на подэтапе 4, если i≠1, вернитесь к подэтапу 2. Если какая-то граница условие выполнено, переходим к подэтапу 4. Если для какой-либо пары не появляется не мешающее е, возвращаемся к п. 5.

7.Введите позиции в график и проверьте их осуществимость.

Стохастический ЭЛСП

На практике большое значение имеет проектирование, планирование и эксплуатация общих мощностей для нескольких продуктов с учетом времени и затрат на переналадку в условиях неопределенного спроса. Помимо выбора (ожидаемого) времени цикла с некоторым запасом, заложенным в («время безопасности»), необходимо также учитывать объем страхового запаса (буферного запаса), который необходим для достижения желаемого уровня обслуживания. ^[3]

Статус проблемы

Эта проблема хорошо известна в сообществе исследователей операций, и был проведен большой объем академических исследований для улучшения модели и создания новых вариантов, решающих конкретные проблемы.

Модель известна как NP-трудная задача, поскольку в настоящее время невозможно найти оптимальное решение без проверки почти всех возможностей. То, что было сделано, следует двум подходам: ограничение решения конкретным типом (что позволяет найти оптимальное решение для более узкой проблемы) или приближенное решение полной проблемы с использованием эвристики или генетических алгоритмов . ^[4]

Смотрите также

• Бесконечная скорость заполнения производимой детали: экономичный объем заказа
• Постоянная скорость заполнения производимой детали: экономичный объем производства.
• Спрос случайен: классическая модель Newsvendor
• Спрос меняется со временем: модель динамического размера партии

Рекомендации

1. Джек Д. Роджерс : Вычислительный подход к проблеме планирования экономических партий, Наука управления, Том. 4, № 3, апрель 1958 г., стр. 264–291.
2. Уэлч, В. Эверт, Случай простого линейного программирования, Методы управления, 1956 г., Джек Д. Роджерс : Вычислительный подход к задаче планирования экономических партий, Management Science, Vol. 4, № 3, апрель 1958 г., стр. 264–291.
3. Таюр, С. (2000). «Улучшение операций и определение точных сроков выполнения работ на заводе по производству ламината». Интерфейсы . 30 (5): 1–15. дои : 10.1287/inte.30.5.1.11637.
4. Зипкин Пол Х., Основы управления запасами, Бостон: McGraw Hill, 2000, ISBN 0-256-11379-3 

дальнейшее чтение

• С. Е. Эльмаграби: Проблема планирования экономических лотов (ELSP): обзор и расширение, Наука управления, Vol. 24, № 6, февраль 1978 г., стр. 587–598.
• М. А. Лопес, Б. Г. Кингсман: Проблема планирования экономических партий: теория и практика, Международный журнал экономики производства, Vol. 23 октября 1991 г., стр. 147–164.
• Майкл Пинедо, Планирование и составление графиков в производстве и услугах, Springer, 2005. ISBN 0-387-22198-0 

Внешние ссылки

• Гальего: ELSP, Колумбийский университет, 2004 г.