производная Дарбу

Производная Дарбу отображения между многообразием и группой Ли является вариантом стандартной производной. Это, возможно, более естественное обобщение однопеременной производной. Она позволяет обобщить однопеременную фундаментальную теорему исчисления на более высокие измерения, в ином ключе, чем обобщение, которое является теоремой Стокса .

Формальное определение

Пусть будет группой Ли , и пусть будет ее алгеброй Ли . Форма Маурера-Картана , , является гладкой -значной -формой на (ср. Ли алгебраически значная форма ), определяемой соотношением ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \omega _{G}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \omega _{G}(X_{g})=(T_{g}L_{g})^{-1}X_{g}}$

для всех и . Здесь обозначает левое умножение на элемент , а — его производная в точке . ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle X_{g}\in T_{g}G}$ ${\displaystyle L_{g}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle T_{g}L_{g}}$ ${\displaystyle g}$

Пусть будет гладкой функцией между гладким многообразием и . Тогда производная Дарбу от является гладкой -значной -формой ${\displaystyle f:M\to G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \omega _{f}:=f^{*}\omega _{G},}$

обратный откат от . Отображение называется интегралом или примитивом от . ${\displaystyle \omega _{G}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega _{f}}$

Более естественно?

Причина, по которой можно назвать производную Дарбу более естественным обобщением производной исчисления с одной переменной, заключается в следующем. В исчислении с одной переменной производная функции назначает каждой точке области одно число. Согласно более общим многообразным идеям производных, производная назначает каждой точке области линейную карту из касательного пространства в точке области в касательное пространство в точке изображения. Эта производная инкапсулирует два фрагмента данных: изображение точки области и линейную карту. В исчислении с одной переменной мы отбрасываем некоторую информацию. Мы сохраняем только линейную карту в форме скалярного множителя (т. е. числа). ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Один из способов оправдать это соглашение о сохранении только аспекта линейного отображения производной — обратиться к (очень простой) структуре группы Ли относительно сложения. Касательное расслоение любой группы Ли может быть тривиализировано с помощью левого (или правого) умножения. Это означает, что каждое касательное пространство в может быть отождествлено с касательным пространством в тождестве, , которое является алгеброй Ли . В этом случае левое и правое умножение являются просто переносом. Путем посткомпозиции производной многообразного типа с тривиализацией касательного пространства для каждой точки в области мы получаем линейное отображение из касательного пространства в точке области в алгебру Ли . В символах для каждого мы рассматриваем отображение ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle v\in T_{x}\mathbb {R} \mapsto (T_{f(x)}L_{f(x)})^{-1}\circ (T_{x}f)v\in T_{0}\mathbb {R} .}$

Поскольку рассматриваемые касательные пространства одномерны, это линейное отображение представляет собой просто умножение на некоторый скаляр. (Этот скаляр может меняться в зависимости от того, какой базис мы используем для векторных пространств, но каноническое единичное векторное поле на дает канонический выбор базиса и, следовательно, канонический выбор скаляра.) Этот скаляр мы обычно обозначаем как . ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f'(x)}$

Уникальность примитивов

Если многообразие связно и оба являются примитивами , т.е. , то существует некоторая константа такая, что ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f,g:M\to G}$ ${\displaystyle \omega _{f}}$ ${\displaystyle \omega _{f}=\omega _{g}}$ ${\displaystyle C\in G}$

${\displaystyle f(x)=C\cdot g(x)}$для всех . ${\displaystyle x\in M}$

Эта константа , конечно, является аналогом константы, которая появляется при взятии неопределенного интеграла . ${\displaystyle C}$

Основная теорема исчисления

Структурное уравнение для формы Маурера-Картана имеет вид:

${\displaystyle d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]=0.}$

Это означает, что для всех векторных полей и на и всех мы имеем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle (d\omega )_{x}(X_{x},Y_{x})+[\omega _{x}(X_{x}),\omega _{x}(Y_{x})]=0.}$

Для любой алгебраически значимой -формы на любом гладком многообразии все члены этого уравнения имеют смысл, поэтому для любой такой формы мы можем спросить, удовлетворяет ли она этому структурному уравнению. ${\displaystyle 1}$

Обычная фундаментальная теорема исчисления для исчисления с одной переменной имеет следующее локальное обобщение.

Если -значная -форма на удовлетворяет структурному уравнению, то каждая точка имеет открытую окрестность и гладкое отображение, такое что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\to G}$

${\displaystyle \omega _{f}=\omega |_{U},}$

т.е. имеет примитив, определенный в окрестности каждой точки . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$

Для глобального обобщения основной теоремы необходимо изучить некоторые вопросы монодромии в и . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

Смотрите также

• Обобщения производной  – Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
• Логарифмическая производная  – Математическая операция в исчислении
• Форма Маурера–Картана  – Математическая концепция

Ссылки

• Р.В. Шарп (1996). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Шпрингер-Верлаг, Берлин. ISBN 0-387-94732-9.
• Шломо Штернберг (1964). "Глава V, Группы Ли. Раздел 2, Инвариантные формы и алгебра Ли". Лекции по дифференциальной геометрии . Prentice-Hall. OCLC  529176.