Производная по времени

Производная функции по времени

Производная по времени — это производная функции по времени , обычно интерпретируемая как скорость изменения значения функции. ^[1] Переменная, обозначающая время, обычно записывается как . ${\displaystyle t}$

Обозначения

Для обозначения производной по времени используются различные обозначения. В дополнение к обычным обозначениям ( Лейбница )

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$

Очень распространенное сокращенное обозначение, особенно в физике, — это «точка». ИЕ

${\displaystyle {\dot {x}}}$

(Это называется обозначением Ньютона )

Используются также высшие производные по времени: вторая производная по времени записывается как

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

с соответствующим сокращением . ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

В качестве обобщения, производная вектора по времени, скажем:

${\displaystyle \mathbf {v} =\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\ldots \right]}$

определяется как вектор, компоненты которого являются производными компонентов исходного вектора. То есть,

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\ldots \right].}$

Использование в физике

Производные по времени являются ключевым понятием в физике . Например, для изменяющегося положения его производная по времени — это его скорость , а вторая производная по времени — это его ускорение . Иногда используются и более высокие производные: третья производная положения по времени известна как рывок . См. графики движения и производные . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

Большое количество фундаментальных уравнений физики включают в себя первые или вторые производные величин. Многие другие фундаментальные величины в науке являются производными друг от друга по времени:

• сила - это производная импульса по времени
• мощность - это производная энергии по времени
• электрический ток - это производная по времени электрического заряда

и так далее.

Распространенным явлением в физике является производная по времени вектора , например скорости или смещения. При работе с такой производной и величина, и ориентация могут зависеть от времени.

Пример: круговое движение

Связь между декартовыми координатами ( x , y ) и полярными координатами ( r , θ ).

Например, рассмотрим частицу, движущуюся по круговой траектории. Его положение определяется вектором смещения , связанным с углом θ и радиальным расстоянием r , как показано на рисунке: ${\displaystyle r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}}$

В этом примере мы предполагаем, что θ = t . Следовательно, смещение (положение) в любой момент времени t определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r\cos(t){\hat {\imath }}+r\sin(t){\hat {\jmath }}}$

Эта форма показывает , что движение, описываемое r ( t ), происходит по кругу радиуса r , поскольку величина r ( t ) определяется выражением

${\displaystyle |\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r}$

используя тригонометрическое тождество sin ² ( t ) + cos ² ( t ) = 1 и где – обычное евклидово скалярное произведение. ${\displaystyle \cdot }$

При такой форме смещения теперь найдена скорость. Производная по времени вектора смещения является вектором скорости. В общем, производная вектора — это вектор, состоящий из компонентов, каждый из которых является производной соответствующего компонента исходного вектора. Таким образом, в данном случае вектор скорости равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos(t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{aligned}}}$

Таким образом, скорость частицы отлична от нуля, хотя величина положения (то есть радиус пути) постоянна. Скорость направлена ​​перпендикулярно смещению, что можно определить с помощью скалярного произведения :

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0\,.}$

Тогда ускорение является производной скорости по времени:

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)\,.}$

Ускорение направлено внутрь, к оси вращения. Он направлен напротив вектора положения и перпендикулярно вектору скорости. Это направленное внутрь ускорение называется центростремительным ускорением .

В дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии величины часто выражаются относительно локального ковариантного базиса , где i варьируется по числу измерений. Компоненты вектора, выраженные таким образом, преобразуются в контравариантный тензор , как показано в выражении , использующем соглашение Эйнштейна о суммировании . Если мы хотим вычислить производные по времени этих компонентов вдоль траектории, чтобы мы имели , мы можем определить новый оператор, инвариантную производную , который будет продолжать возвращать контравариантные тензоры: ^[2] ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {U} =U^{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (t)=U^{i}(t)\mathbf {e} _{i}(t)}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}={\frac {dU^{i}}{dt}}+V^{j}\Gamma _{jk}^{i}U^{k}\\\end{aligned}}}$

где (поскольку это j- я координата) отражает компоненты скорости в локальном ковариантном базисе, а являются символами Кристоффеля для системы координат. Обратите внимание, что явная зависимость от t в обозначениях скрыта. Тогда мы можем написать: ${\displaystyle V^{j}={\frac {dx^{j}}{dt}}}$ ${\displaystyle x^{j}}$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {U} }{dt}}={\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}}$

а также:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {U} }{dt^{2}}}={\frac {\delta ^{2}U^{i}}{\delta t^{2}}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}}$

С точки зрения ковариантной производной , имеем: ${\displaystyle \nabla _{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}=V^{j}\nabla _{j}U^{i}\\\end{aligned}}}$

Использование в экономике

В экономике многие теоретические модели эволюции различных экономических переменных строятся в непрерывном времени и поэтому используют производные по времени. ^{[3] : гл. 1-3} Одна ситуация включает в себя переменную запаса и ее производную по времени, переменную потока . Примеры включают в себя:

• Поток чистых инвестиций в основной капитал является производной по времени от основного капитала .
• Поток инвестиций в запасы является производной по времени от запасов запасов .
• Темп роста денежной массы представляет собой производную по времени денежной массы, деленную на саму денежную массу.

Иногда в модели может появиться производная по времени переменной потока:

• Темп роста выпуска — это производная по времени потока выпуска, деленная на сам выпуск.
• Темп роста рабочей силы представляет собой производную по времени рабочей силы, разделенную на саму рабочую силу.

А иногда появляется временная производная переменной, которая, в отличие от приведенных выше примеров, не измеряется в денежных единицах:

• Может появиться производная по времени от ключевой процентной ставки .
• Уровень инфляции — это темп роста уровня цен , то есть производная по времени от уровня цен, деленная на сам уровень цен.

Смотрите также

• Дифференциальное исчисление
• Обозначения для дифференцирования
• Круговое движение
• Центростремительная сила
• Пространственная производная
• Временная скорость

Рекомендации

1. Чан, Альфа К. , Фундаментальные методы математической экономики , McGraw-Hill, третье издание, 1984, гл. 14, 15, 18.
2. Гринфельд, Павел. «Тензорное исчисление 6d: скорость, ускорение, толчок и новая производная δ/δt». YouTube . Архивировано из оригинала 13 декабря 2021 г.
3. См., например , Ромер, Дэвид (1996). Продвинутая макроэкономика . МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-053667-8.