Производные Виртингера

Концепция в комплексном анализе

В комплексном анализе одной и нескольких комплексных переменных производные Виртингера (иногда также называемые операторами Виртингера ^[1] ), названные в честь Вильгельма Виртингера, который ввел их в 1927 году в ходе своих исследований по теории функций многих комплексных переменных , являются частными дифференциальными операторами первого порядка, которые ведут себя очень похоже на обычные производные по одной действительной переменной , когда применяются к голоморфным функциям , антиголоморфным функциям или просто дифференцируемым функциям на комплексных областях . Эти операторы позволяют построить дифференциальное исчисление для таких функций, которое полностью аналогично обычному дифференциальному исчислению для функций действительных переменных . ^[2]

Исторические заметки

Ранние годы (1899–1911): творчество Анри Пуанкаре

Производные Виртингера использовались в комплексном анализе по крайней мере еще в статье (Пуанкаре 1899), как кратко отмечено Черри и Йе (2001, стр. 31) и Реммертом (1991, стр. 66–67). ^[3] В третьем абзаце своей статьи 1899 года ^[4] Анри Пуанкаре впервые определяет комплексную переменную в и ее комплексно сопряженную следующим образом ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{k}+iy_{k}=z_{k}\\x_{k}-iy_{k}=u_{k}\end{cases}}\qquad 1\leqslant k\leqslant n.}$

Затем он записывает уравнение, определяющее функции, которые он называет бигармоническими ^[5], ранее записанные с использованием частных производных по действительным переменным в диапазоне от 1 до , а именно следующим образом ^[6] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{k},y_{q}}$ ${\displaystyle k,q}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dz_{k}\,du_{q}}}=0}$

Это подразумевает, что он неявно использовал определение 2 ниже: чтобы увидеть это, достаточно сравнить уравнения 2 и 2' из (Пуанкаре 1899, стр. 112). По-видимому, эта статья не была замечена ранними исследователями теории функций многих комплексных переменных : в работах Леви-Чивиты (1905), Леви (1910) (и Леви 1911) и Аморозо (1912) все фундаментальные частные дифференциальные операторы теории выражаются непосредственно с помощью частных производных относительно действительных и мнимых частей вовлеченных комплексных переменных . В большой обзорной статье Осгуда (1966) (впервые опубликованной в 1913 году) ^[7] частные производные по каждой комплексной переменной голоморфной функции нескольких комплексных переменных, по-видимому, подразумеваются как формальные производные : по сути, когда Осгуд выражает плюригармонический оператор ^[8] и оператор Леви, он следует устоявшейся практике Аморозо , Леви и Леви-Чивиты .

Творчество Димитрия Помпея в 1912 и 1913 годах: новая формулировка

По мнению Хенрици (1993, стр. 294), новый шаг в определении концепции был сделан Димитрием Помпейу : в статье (Pompeiu 1912) для заданной комплекснозначной дифференцируемой функции (в смысле действительного анализа ) одной комплексной переменной, определенной в окрестности заданной точки, он определяет ареолярную производную как следующий предел ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {{\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}\mathrel {\overset {\mathrm {def} }{=}} \lim _{r\to 0}{\frac {1}{2\pi ir^{2}}}\oint _{\Gamma (z_{0},r)}g(z)\mathrm {d} z,}$

где — граница круга радиуса , полностью содержащегося в области определения , т.е. его ограничивающей окружности . ^[9] Очевидно, это альтернативное определение производной Виртингера относительно комплексно сопряженной переменной : ^[10] оно является более общим, поскольку, как отметил Хенричи (1993, стр. 294), предел может существовать для функций, которые даже не дифференцируемы в ^[11] Согласно Фикере (1969, стр. 28), первым, кто определил ареолярную производную как слабую производную в смысле Соболева, был Илья Векуа . ^[12] В своей следующей статье Помпейу (1913) использует это новое определенное понятие для того, чтобы ввести свое обобщение интегральной формулы Коши , теперь называемой формулой Коши–Помпейу . ${\displaystyle \Gamma (z_{0},r)=\partial D(z_{0},r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g(z),}$ ${\displaystyle z=z_{0}.}$

Работа Вильгельма Виртингера

Первое систематическое введение производных Виртингера, по-видимому, принадлежит Вильгельму Виртингеру в статье Wirtinger 1927 года с целью упрощения вычислений величин, встречающихся в теории функций многих комплексных переменных : в результате введения этих дифференциальных операторов форма всех дифференциальных операторов, обычно используемых в теории, таких как оператор Леви и оператор Коши–Римана , значительно упрощается и, следовательно, становится более удобной для работы. Статья намеренно написана с формальной точки зрения, т. е. без приведения строгого вывода выведенных свойств.

Формальное определение

Несмотря на их повсеместное использование, ^[13] кажется, что не существует текста, перечисляющего все свойства производных Виртингера: однако, достаточно полными ссылками являются краткий курс по многомерному комплексному анализу Андреотти (1976, стр. 3–5), ^[14], монография Ганнинга и Росси (1965, стр. 3–6), ^[15] и монография Каупа и Каупа (1983, стр. 2,4) ^[16] , которые используются в качестве общих ссылок в этом и следующих разделах.

Функции одной комплексной переменной

Определение 1. Рассмотрим комплексную плоскость (в смысле выражения комплексного числа для действительных чисел и ). Производные Виртингера определяются как следующие линейные частные дифференциальные операторы первого порядка: ${\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\end{aligned}}}$

Очевидно, что естественной областью определения этих частных дифференциальных операторов является пространство функций на области , но поскольку эти операторы линейны и имеют постоянные коэффициенты , их можно легко расширить на любое пространство обобщенных функций . ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

Функциин> 1 комплексных переменных

Определение 2. Рассмотрим евклидово пространство на комплексном поле. Производные Виртингера определяются как следующие линейные частные дифференциальные операторы первого порядка: $${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.}$$

Что касается производных Виртингера для функций одной комплексной переменной, то естественной областью определения этих частных дифференциальных операторов снова является пространство функций на области определения , и снова, поскольку эти операторы линейны и имеют постоянные коэффициенты , их можно легко распространить на любое пространство обобщенных функций . ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2n},}$

Связь со сложной дифференциацией

Когда функция комплексно дифференцируема в точке, производная Виртингера совпадает с комплексной производной . Это следует из уравнений Коши-Римана . Для комплексной функции , которая комплексно дифференцируема ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial f/\partial z}$ ${\displaystyle df/dz}$ ${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\\&={\frac {\partial u}{\partial z}}+i{\frac {\partial v}{\partial z}}={\frac {df}{dz}}\end{aligned}}}$

где третье равенство использует уравнения Коши-Римана . ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

Вторая производная Виртингера также связана с комплексным дифференцированием; эквивалентна уравнениям Коши-Римана в комплексной форме. ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}$

Основные свойства

В настоящем и последующих разделах предполагается, что — комплексный вектор и что где — действительные векторы , причем n  ≥ 1: также предполагается, что подмножество можно рассматривать как область в действительном евклидовом пространстве или в его изоморфном комплексном аналоге. Все доказательства являются простыми следствиями определений 1 и 2 и соответствующих свойств производных ( обычных или частных ). ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

Линейность

Лемма 1. Если и — комплексные числа , то для справедливы равенства ${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Правило продукта

Лемма 2. Если тогда для произведения выполняется правило ${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega ),}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Это свойство подразумевает, что производные Виртингера являются производными с точки зрения абстрактной алгебры , точно так же, как и обычные производные .

Правило цепочки

Это свойство принимает две различные формы соответственно для функций одной и нескольких комплексных переменных : для случая n  > 1, чтобы выразить цепное правило в его полной общности, необходимо рассмотреть две области и и две карты и имеющие естественные требования гладкости . ^[17] ${\displaystyle \Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle \Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}}$ ${\displaystyle g:\Omega '\to \Omega }$ ${\displaystyle f:\Omega \to \Omega ''}$

Функции одной комплексной переменной

Лемма 3.1 Если и то выполняется цепное правило ${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega ),}$ ${\displaystyle g(\Omega )\subseteq \Omega ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}\end{aligned}}}$

Функциин> 1 комплексных переменных

Лемма 3.2 Если и тогда для следующей формы цепного правила выполняется ${\displaystyle g\in C^{1}(\Omega ',\Omega )}$ ${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega ,\Omega ''),}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Спряжение

Лемма 4. Если тогда для справедливы следующие равенства ${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega ),}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\\{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}\end{aligned}}}$

Смотрите также

• CR–функция
• комплекс Дольбо
• Оператор Дольбо
• Плюригармоническая функция

Примечания

1. См. ссылки Fichera 1986, с. 62 и Крахт и Крейциг 1988, с. 10.
2. Некоторые из основных свойств производных Виртингера совпадают со свойствами, характеризующими обычные (или частные) производные и используемыми для построения обычного дифференциального исчисления .
3. Ссылка на работу Анри Пуанкаре «Пуанкаре 1899» точно указана Черри и Йе (2001), в то время как Рейнхольд Реммерт не приводит никаких ссылок в поддержку своего утверждения.
4. См. ссылку (Пуанкаре 1899, стр. 111–114)
5. Эти функции являются в точности плюригармоническими функциями , а линейный дифференциальный оператор , определяющий их, т.е. оператор в уравнении 2 (Пуанкаре 1899, стр. 112), является в точности n -мерным плюригармоническим оператором.
6. См. (Пуанкаре, 1899, стр. 112), уравнение 2': обратите внимание, что на протяжении всей статьи символ используется для обозначения частной дифференциации по заданной переменной вместо общепринятого сейчас символа ∂. ${\displaystyle d}$
7. Исправленное издание Дувра (Осгуд, 1966) статьи Осгуда 1913 года содержит много важной исторической информации о раннем развитии теории функций многих комплексных переменных и поэтому является полезным источником.
8. См. Осгуд (1966, стр. 23–24): любопытно, что он называет этот набор уравнений уравнениями Коши–Римана .
9. Это определение, данное Хенрици (1993, стр. 294) в его подходе к работе Помпея : как замечает Фикера (1969, стр. 27), оригинальное определение Помпея (1912) не требует, чтобы область интегрирования была окружностью . См. запись ареолярная производная для получения дополнительной информации.
10. См. раздел «Формальное определение» этой записи.
11. См. задачу 2 в Henrici 1993, стр. 294 для примера такой функции.
12. См. также прекрасную книгу Векуа (1962, стр. 55), Теорема 1.31: Если обобщенная производная , p > 1, то функция почти всюду имеет производную в смысле Помпейю , причем последняя равна обобщенной производной в смысле Соболева ${\displaystyle \partial _{\bar {z}}w\in }$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )}$ ${\displaystyle w(z)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \partial _{\bar {z}}w}$ .
13. С указанием или без указания авторства концепции Вильгельму Виртингеру : см., например, известную монографию Hörmander 1990, стр. 1,23.
14. В лекциях этого курса Альдо Андреотти использует свойства производных Виртингера, чтобы доказать замкнутость алгебры голоморфных функций относительно определенных операций : эта цель является общей для всех ссылок, цитируемых в этом разделе .
15. Это классическая работа по теории функций многих комплексных переменных, посвященная в основном аспектам теории пучков : однако во вводных разделах вводятся производные Виртингера и некоторые другие аналитические инструменты, а также описывается их применение в теории.
16. В этой работе авторы доказывают некоторые свойства производных Виртингера также для общего случая функций : в этом отдельном аспекте их подход отличается от подхода, принятого другими авторами, цитируемыми в этом разделе, и, возможно, является более полным. ${\displaystyle C^{1}}$
17. См. Kaup & Kaup 1983, стр. 4, а также Gunning 1990, стр. 5: Gunning рассматривает общий случай функций, но только для p  = 1. Ссылки Andreotti 1976, стр. 5 и Gunning & Rossi 1965, стр. 6, как уже указывалось, рассматривают только голоморфные отображения с p  = 1: однако полученные формулы формально очень похожи. ${\displaystyle C^{1}}$

Ссылки

Исторические справки

• Аморосо, Луиджи (1912), «Sopra un Issuea al Contorno», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском языке), 33 (1): 75–85, doi : 10.1007/BF03015289, JFM  43.0453.03, S2CID  122956910« Об одной краевой задаче » (вольный перевод названия) — первая работа, в которой дан набор (довольно сложных) необходимых и достаточных условий разрешимости задачи Дирихле для голоморфных функций многих переменных .
• Черри, В.; Йе, З. (2001), Теория распределения значений Неванлинны: вторая основная теорема и ее погрешности, Springer Monographs in Mathematics, Берлин: Springer Verlag , стр. XII+202, ISBN 978-3-540-66416-1, MR  1831783, Zbl  0981.30001.
• Фичера, Гаэтано (1969), «Derivata areolare e funzioni a variazione limitata», Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (на итальянском языке), XIV (1): 27–37, MR  0265616, Zbl  0201.10002. « Ареолярная производная и функции ограниченной вариации » (вольный перевод названия на английский язык) — важная справочная работа по теории ареолярных производных.
• Леви, Эухенио Элиа (1910), «Studii sui punti Singolari essenziali delle funzioni analitiche di Due o Più Variabili Complesse», Annali di Matematica Pura ed Applicata , s. III (на итальянском языке), XVII (1): 61–87, doi : 10.1007/BF02419336, JFM  41.0487.01, S2CID  122678686« Исследования существенных особых точек аналитических функций двух или более комплексных переменных » (английский перевод названия) — важная работа в теории функций многих комплексных переменных , в которой рассматривается проблема определения того, какой вид гиперповерхности может быть границей области голоморфности .
• Леви, Эудженио Элиа (1911), «Sulle ipersuperficie dello spazio a 4 Dimensioni che possono essere frontiera del Campo di sistenza di una funzione analitica di Due Variabili Complesse», Annali di Matematica Pura ed Applicata , s. III (на итальянском языке), XVIII (1): 69–79, doi : 10.1007/BF02420535, JFM  42.0449.02, S2CID  120133326« О гиперповерхностях 4-мерного пространства, которые могут быть границей области существования аналитической функции двух комплексных переменных » (английский перевод названия) — еще одна важная работа в теории функций многих комплексных переменных , в которой продолжается исследование теории, начатое в (Levi 1910).
• Леви-Чивита, Туллио (1905), «Sulle funzioni di Due o più Variabili Complesse», Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 5 (на итальянском языке), XIV (2): 492–499 , ЯФМ  36.0482.01. « О функциях двух или более комплексных переменных » (вольный перевод названия) — первая работа, в которой дано достаточное условие разрешимости задачи Коши для голоморфных функций многих комплексных переменных .
• Осгуд, Уильям Фогг (1966) [1913], Темы теории функций многих комплексных переменных (несокращенное и исправленное издание), Нью-Йорк: Довер , стр. IV+120, JFM  45.0661.02, MR  0201668, Zbl  0138.30901.
• Пешль, Эрнст (1932), «Über die Krümmung von Niveaukurven bei der konformen Abbildung einfachzusammenhängender Gebiete auf das Innere eines Kreises. Eine Verallgemeinerung eines Satzes von E. Study.», Mathematische Annalen (на немецком языке), 106 : 574–594, doi : 10.1007/BF01455902, JFM  58.1096.05, MR  1512774, S2CID  127138808, Zbl  0004.30001, доступно на DigiZeitschriften.
• Пуанкаре, Х. (1899), «Sur les proprietés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes», Acta Mathematica (на французском языке), 22 (1): 89–178, doi : 10.1007/BF02417872 , JFM  29.0370.02.
• Помпейу, Д. (1912), «Sur une classe de fonctions d'une переменный комплекс», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на французском языке), 33 (1): 108–113, doi : 10.1007/BF03015292, JFM  43.0481. 01, S2CID  120717465.
• Помпейу, Д. (1913), «Sur une classe de fonctions d'une переменная комплексная и sur определенные équations intégrales», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на французском языке), 35 (1): 277–281, doi : 10.1007/ BF03015607, S2CID  121616964.
• Векуа, ИН (1962), Обобщенные аналитические функции , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, т. 25, Лондон–Париж–Франкфурт: Pergamon Press , стр. xxx+668, MR  0150320, Zbl  0100.07603
• Виртингер, Вильгельм (1927), «Zur formalen Theorie der Funktionen von mehr komplexen Veränderlichen», Mathematische Annalen (на немецком языке), 97 : 357–375, doi : 10.1007/BF01447872, JFM  52.0342.03, S2CID  121149132, доступно на DigiZeitschriften. В этой важной статье Виртингер вводит несколько важных понятий в теории функций многих комплексных переменных , а именно производные Виртингера и касательное условие Коши-Римана.

Научные ссылки

• Андреотти, Альдо (1976), Introduzione all'analisi complessa (Lezioni tenute nel febbraio 1972), Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni (на итальянском языке), vol. 24, Рим: Национальная академия Линчеи , с. 34, заархивировано из оригинала 7 марта 2012 г. , получено 28 августа 2010 г.Введение в комплексный анализ — краткий курс по теории функций многих комплексных переменных, прочитанный в феврале 1972 года в Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni "Beniamino Segre".
• Фичера, Гаэтано (1986), «Объединение глобальных и локальных теорем существования голоморфных функций нескольких комплексных переменных», Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8, 18 (3): 61–83 , МР  0917525, Збл  0705.32006.
• Ганнинг, Роберт К .; Росси, Хьюго (1965), Аналитические функции нескольких комплексных переменных, ряды Прентиса-Холла в современном анализе, Энглвуд Клиффс , Нью-Джерси: Прентис-Холл , стр. xiv+317, ISBN 9780821869536, MR  0180696, Zbl  0141.08601.
• Ганнинг, Роберт К. (1990), Введение в голоморфные функции нескольких переменных. Том I: Теория функций , Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Белмонт, Калифорния : Wadsworth & Brooks/Cole, стр. xx+203, ISBN 0-534-13308-8, MR  1052649, Zbl  0699.32001.
• Хенричи, Питер (1993) [1986], Прикладной и вычислительный комплексный анализ, том 3, Библиотека классических произведений Wiley (переиздание), Нью-Йорк–Чичестер–Брисбен–Торонто–Сингапур: John Wiley & Sons , стр. X+637, ISBN 0-471-58986-1, MR  0822470, Zbl  1107.30300.
• Хермандер, Ларс (1990) [1966], Введение в комплексный анализ нескольких переменных , Математическая библиотека Северной Голландии, т. 7 (3-е (исправленное) изд.), Амстердам–Лондон–Нью-Йорк–Токио: Северная Голландия , ISBN 0-444-88446-7, MR  1045639, Zbl  0685.32001.
• Кауп, Людгер; Кауп, Бурхард (1983), Голоморфные функции нескольких переменных, Исследования де Грюйтера по математике, том. 3, Берлин – Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер , стр. XV + 349, ISBN. 978-3-11-004150-7, MR  0716497, Zbl  0528.32001.
• Крахт, Манфред; Крейциг, Эрвин (1988), Методы комплексного анализа в частных дифференциальных уравнениях и их применение, Канадское математическое общество, серия монографий и дополнительных текстов, Нью-Йорк–Чичестер–Брисбен–Торонто–Сингапур: John Wiley & Sons , стр. xiv+394, ISBN 0-471-83091-7, MR  0941372, Zbl  0644.35005.
• Мартинелли, Энцо (1984), Introduzione elementare alla teoria delle funzioni di Variabili Complesse con particolare riguardo alle rappresentazioni Integral, Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni (на итальянском языке), vol. 67, Рим: Accademia Nazionale dei Lincei , стр. 236+II, заархивировано из оригинала 27 сентября 2011 г. , получено 24 августа 2010 г.« Элементарное введение в теорию функций комплексных переменных с особым учетом интегральных представлений » (перевод названия на английский язык) представляет собой заметки из курса, опубликованного Национальной академией Линчеи , которую возглавлял Мартинелли, когда он был « профессором Линчео ».
• Remmert, Reinhold (1991), Теория комплексных функций, Graduate Texts in Mathematics, т. 122 (Четвертое исправленное печатное издание 1998 г.), Нью-Йорк–Берлин–Гейдельберг–Барселона–Гонконг–Лондон–Милан–Париж–Сингапур–Токио: Springer Verlag , стр. xx+453, ISBN 0-387-97195-5, MR  1084167, Zbl  0780.30001 ISBN  978-0-387-97195-7 . Учебник по комплексному анализу, включающий множество исторических заметок по этому предмету.
• Севери, Франческо (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più Variabili Complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica в Риме (на итальянском языке), Падуя: CEDAM – Casa Editrice Dott. Антонио Милани, стр. XIV+255, Збл  0094.28002. Заметки с курса, который читал Франческо Севери в Istituto Nazionale di Alta Matematica (который в настоящее время носит его имя), содержащие приложения Энцо Мартинелли, Джованни Баттиста Рицца и Марио Бенедикти. Английский перевод названия звучит так:-" Лекции по аналитическим функциям нескольких комплексных переменных – Лекции читались в 1956–57 годах в Istituto Nazionale di Alta Matematica в Риме ".