Размах (теория категорий)

В теории категорий пролет , крыша или соответствие являются обобщением понятия отношения между двумя объектами категории . Когда категория имеет все пулбэки (и удовлетворяет небольшому числу других условий), пролеты можно рассматривать как морфизмы в категории дробей .

Понятие пролета принадлежит Нобуо Йонеде (1954) и Жану Бенабу (1967).

Формальное определение

Пролет — это диаграмма типа , т.е. диаграмма вида . ${\displaystyle \Lambda =(-1\leftarrow 0\rightarrow +1),}$ ${\displaystyle Y\leftarrow X\rightarrow Z}$

То есть, пусть Λ будет категорией (-1 ← 0 → +1). Тогда промежуток в категории C является функтором S  : Λ →  C . Это означает, что промежуток состоит из трех объектов X , Y и Z из C и морфизмов f  :  X  →  Y и g  :  X  →  Z : это два отображения с общей областью определения .

Копредел диапазона — это выталкивание .

Примеры

• Если R — это отношение между множествами X и Y (т.е. подмножество X × Y ), то X ← R → Y — это промежуток, где карты являются проекционными картами и . ${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{X}}{\to }}X}$ ${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{Y}}{\to }}Y}$
• Любой объект дает тривиальный промежуток A ← A → A, где отображения являются тождествами.
• В более общем случае, пусть будет морфизмом в некоторой категории. Существует тривиальный промежуток A ← A → B , где левое отображение является тождеством на A, а правое отображение является заданным отображением φ . ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$
• Если M — это модельная категория , а W — множество слабых эквивалентностей , то промежутки формы , где левый морфизм находится в W, можно считать обобщенным морфизмом (т. е., где «инвертируются слабые эквивалентности»). Обратите внимание, что это не обычная точка зрения, принимаемая при работе с модельными категориями. ${\displaystyle X\leftarrow Y\rightarrow Z,}$

Коспанс

Коспан K в категории C — это функтор K : Λ ^op  →  C ; что эквивалентно, контравариантный функтор из Λ в C . То есть диаграмма типа , т.е. диаграмма вида . ${\displaystyle \Lambda ^{\text{op}}=(-1\rightarrow 0\leftarrow +1),}$ ${\displaystyle Y\rightarrow X\leftarrow Z}$

Таким образом, он состоит из трех объектов X , Y и Z из C и морфизмов f  :  Y  →  X и g  :  Z  →  X : это два отображения с общей областью значений.

Предел коспана — откат .

Примером коспана является кобордизм W между двумя многообразиями M и N , где два отображения являются включениями в W. Обратите внимание, что хотя кобордизмы являются копанами, категория копанов не является «категорией коспанов»: это не категория всех коспанов в «категории многообразий с включениями на границе», а скорее ее подкатегория , поскольку требование, чтобы M и N образовывали разбиение границы W, является глобальным ограничением.

Категория nCob конечномерных кобордизмов является кинжально-компактной категорией . В более общем случае категория Span ( C ) промежутков на любой категории C с конечными пределами также является кинжально-компактной.

Смотрите также

• Бинарное отношение
• Обратный откат (теория категорий)
• Выталкивание (теория категорий)
• Кобордизм

Ссылки

• пролет в n Lab
• Йонеда, Нобуо (1954). «О теории гомологии модулей». J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I . 7 : 193–227.
• Бенабу, Жан (1967). «Введение в бикатегории». Отчеты семинара по категориям Среднего Запада . Конспект лекций по математике. Том 47. Springer. С. 1–77. doi :10.1007/BFb0074299. ISBN 978-3-540-35545-8.