Пропорциональный раздел — это вид справедливого раздела , при котором ресурс делится между n партнерами с субъективными оценками, при этом каждому партнеру достается не менее 1/ n ресурса по его субъективной оценке.
Пропорциональность была первым критерием справедливости, изученным в литературе; поэтому ее иногда называют «простым справедливым делением». Впервые ее придумал Штейнхауз. [1]
Рассмотрим земельный актив, который необходимо разделить между 3 наследниками: Алисой и Бобом, которые считают, что он стоит 3 миллиона долларов, и Джорджем, который считает, что он стоит 4,5 миллиона долларов. При пропорциональном разделе Алиса получает земельный участок, который, по ее мнению, стоит не менее 1 миллиона долларов, Боб получает земельный участок, который, по его мнению, стоит не менее 1 миллиона долларов (хотя Алиса может думать, что он стоит меньше), а Джордж получает земельный участок, который, по его мнению, стоит не менее 1,5 миллиона долларов.
Пропорциональное деление существует не всегда. Например, если ресурс содержит несколько неделимых предметов, а количество людей больше количества предметов, то некоторые люди вообще не получат предмета, и их ценность будет равна нулю. Тем не менее, такое деление существует с высокой вероятностью для неделимых предметов при определенных предположениях относительно оценок агентов. [2]
Более того, пропорциональный раздел гарантированно будет иметь место, если выполняются следующие условия:
Таким образом, пропорциональное деление обычно изучается в контексте справедливого разрезания торта . Подробную информацию о процедурах достижения пропорционального деления в контексте разрезания торта см. в разделе пропорциональное разрезание торта.
Более мягким критерием справедливости является частичная пропорциональность , при которой каждый партнер получает определенную долю f ( n ) от общей стоимости, где f ( n ) ≤ 1/ n . Частично пропорциональные дележи существуют (при определенных условиях) даже для неделимых предметов.
Сверхпропорциональный раздел — это раздел, при котором каждый партнер получает строго больше 1/ n ресурса по своей субъективной оценке.
Конечно, такое разделение существует не всегда: когда все партнеры имеют совершенно одинаковые функции ценности, лучшее, что мы можем сделать, это дать каждому партнеру ровно 1/ n . Таким образом, необходимым условием существования сверхпропорционального раздела является то, что не все партнеры имеют одинаковую меру ценности.
Удивительным фактом является то, что когда оценки являются аддитивными и неатомарными, это условие также является достаточным. То есть, когда есть по крайней мере два партнера, чья функция ценности хотя бы немного отличается, то существует сверхпропорциональный раздел, в котором все партнеры получают больше, чем 1/ n . Подробнее см. в сверхпропорциональном разделении .
Пропорциональность (PR) и отсутствие зависти (EF) — два независимых свойства, но в некоторых случаях одно из них может подразумевать другое.
Когда все оценки являются аддитивными функциями множества и весь пирог делится, имеют место следующие последствия:
Когда оценки только субаддитивны , EF все еще подразумевает PR, но PR больше не подразумевает EF даже с двумя партнерами: возможно, что доля Алисы стоит 1/2 в ее глазах, но доля Боба стоит еще больше. Напротив, когда оценки только супераддитивны , PR все еще подразумевает EF с двумя партнерами, но EF больше не подразумевает PR даже с двумя партнерами: возможно, что доля Алисы стоит 1/4 в ее глазах, но доля Боба стоит еще меньше. Аналогично, когда не весь торт разделен, EF больше не подразумевает PR. Последствия суммированы в следующей таблице:
Одним из преимуществ критерия пропорциональности перед критерием отсутствия зависти и аналогичными критериями является то, что он стабилен по отношению к добровольным обменам.
В качестве примера предположим, что некая земля разделена между 3 партнерами: Алисой, Бобом и Джорджем, причем раздел является как пропорциональным, так и свободным от зависти. Несколько месяцев спустя Алиса и Джордж решают объединить свои земельные участки и перераспределить их таким образом, который будет для них более выгодным. С точки зрения Боба раздел все еще пропорционален, поскольку он все еще имеет субъективную ценность не менее 1/3 от общей суммы, независимо от того, что Алиса и Джордж делают со своими участками. С другой стороны, новый раздел может не быть свободным от зависти. Например, возможно, что изначально и Алиса, и Джордж получили земельный участок, который Боб субъективно оценивает как 1/3, но теперь после перераспределения Джордж получил всю ценность (в глазах Боба), поэтому теперь Боб завидует Джорджу.
Следовательно, использование зависти как критерия справедливости подразумевает, что мы должны ограничить право людей на добровольные обмены после дележа. Использование пропорциональности как критерия справедливости не имеет таких негативных последствий.
Дополнительным преимуществом пропорциональности является то, что она совместима с индивидуальной рациональностью в следующем смысле. Предположим, что n партнеров владеют общим ресурсом. Во многих практических сценариях (хотя и не всегда) партнеры имеют возможность продать ресурс на рынке и разделить доходы таким образом, чтобы каждый партнер получил ровно 1/ n . Следовательно, рациональный партнер согласится участвовать в процедуре раздела, только если процедура гарантирует, что он получит не менее 1/ n от своей общей стоимости.
Кроме того, должна быть по крайней мере возможность (если не гарантия), что партнер получит больше, чем 1/ n ; это объясняет важность теорем существования сверхпропорционального дележа .