Пространство объектива

3-многообразие, факторизируемое S³ по действиям ℤ/p: (z,w) ↦ (exp(2πi/p)z, exp(2πiq/p)w)

Пространство линзы L(2;5) состоит из «линзы» между красной и желтой стенками, использующей двойное вращение, выравнивающее щели. Всего на рисунке показаны пять «линзовых» областей.

Двойное вращение, идентифицирующее стенки линзового пространства. В этом стереографическом представлении двойное вращение вращается как вокруг оси Z, так и вдоль нее.

Линзовое пространство является примером топологического пространства , рассматриваемого в математике . Этот термин часто относится к определенному классу трехмерных многообразий , но в целом может быть определен для более высоких измерений.

В случае 3-многообразия линзовое пространство можно представить как результат склейки двух полноторий посредством гомеоморфизма их границ. Часто 3-сфера и , оба из которых можно получить, как указано выше, не учитываются, поскольку они считаются тривиальными частными случаями. ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$

Трехмерные линзовые пространства были введены Генрихом Титце в 1908 году. Это были первые известные примеры 3-многообразий, которые не определялись только их гомологией и фундаментальной группой , а также простейшие примеры замкнутых многообразий, тип гомеоморфизма которых не определяется их гомотопический тип. Дж. В. Александер в 1919 г. показал, что линзовые пространства и не гомеоморфны, хотя они имеют изоморфные фундаментальные группы и одинаковые гомологии, хотя и не имеют одного и того же гомотопического типа. Другие линзовые пространства (такие как и ) имеют даже тот же тип гомотопии (и, следовательно, изоморфные фундаментальные группы и гомологии), но не тот же тип гомеоморфизма; таким образом, их можно рассматривать как рождение геометрической топологии многообразий, отличной от алгебраической топологии . ${\displaystyle L(p;q)}$ ${\displaystyle L(5;1)}$ ${\displaystyle L(5;2)}$ ${\displaystyle L(7;1)}$ ${\displaystyle L(7;2)}$

Существует полная классификация трехмерных линзовых пространств по фундаментальной группе и кручению Райдемейстера .

Определение

Трехмерные линзовые пространства являются факторами побочных действий. Точнее, пусть и будут взаимно простыми целыми числами и рассмотрим единичную сферу в . Тогда -действие на, порожденное гомеоморфизмом ${\displaystyle L(p;q)}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\mapsto (e^{2\pi i/p}\cdot z_{1},e^{2\pi iq/p}\cdot z_{2})}$

бесплатно. Полученное факторпространство называется пространством линзы . ${\displaystyle L(p;q)}$

Это можно обобщить на более высокие измерения следующим образом: Пусть целые числа такие, что взаимно просты и рассматриваются как единичная сфера в . Пространство линзы представляет собой частное свободного действия, порождаемого ${\displaystyle p,q_{1},\ldots ,q_{n}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S^{2n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots q_{n})}$ ${\displaystyle S^{2n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto (e^{2\pi iq_{1}/p}\cdot z_{1},\ldots ,e^{2\pi iq_{n}/p}\cdot z_{n}).}$

В трёх измерениях мы имеем ${\displaystyle L(p;q)=L(p;1,q).}$

Характеристики

Фундаментальная группа всех пространств линз не зависит от . ${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle q_{i}}$

Пространства линз — это локально симметричные пространства , но не (полностью) симметричные, за исключением которых является симметричным. (Локально-симметричные пространства — это симметричные пространства, факторизованные по изометрии, не имеющей неподвижных точек; линзовые пространства соответствуют этому определению.) ${\displaystyle L(2;1)}$

Альтернативные определения трехмерного линзового пространства

Трехмерное пространство линзы часто определяют как сплошной шар со следующей идентификацией: сначала отметьте p равноотстоящих друг от друга точек на экваторе сплошного шара, обозначьте их как , затем на границе шара нарисуйте геодезические линии, соединяющие точки к северному и южному полюсу. Теперь определите сферические треугольники, определив северный полюс и южный полюс, а также точки с и с . Полученное пространство гомеоморфно пространству линзы . ${\displaystyle L(p;q)}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{p-1}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i+q}}$ ${\displaystyle a_{i+1}}$ ${\displaystyle a_{i+q+1}}$ ${\displaystyle L(p;q)}$

Другое родственное определение состоит в том, чтобы рассматривать сплошной шар как следующую сплошную бипирамиду : построить плоский правильный многоугольник с p- сторонними сторонами . Поместите две точки n и s непосредственно над и под центром многоугольника. Постройте бипирамиду, соединив каждую точку правильного p -стороннего многоугольника с n и s . Заполните бипирамиду, чтобы сделать ее сплошной, и присвойте треугольникам на границе те же обозначения, что и выше.

Классификация трехмерных линзовых пространств

Классификации с точностью до гомеоморфизма и гомотопической эквивалентности известны следующим образом. Трехмерными пространствами являются : ${\displaystyle L(p;q_{1})}$ ${\displaystyle L(p;q_{2})}$

1. гомотопически эквивалентен тогда и только тогда, когда для некоторого ; ${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. гомеоморфен тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}}$

В этом случае они «очевидно» гомеоморфны, поскольку можно легко получить гомеоморфизм. Труднее показать, что это единственные гомеоморфные линзовые пространства.

Инвариантом, дающим гомотопическую классификацию трехмерных линзовых пространств, является форма торсионного зацепления .

Классификация гомеоморфизмов более тонкая и определяется кручением Райдемейстера . Это было дано в (Reidemeister 1935) как классификация с точностью до PL-гомеоморфизма , но в (Brody 1960) было показано, что это классификация гомеоморфизма. Говоря современным языком, пространства линз определяются простым гомотопическим типом, и здесь нет нормальных инвариантов (например, характеристических классов ) или препятствий для хирургии .

Теоретико -узловая классификация дана в (Przytycki & Yasukhara 2003): пусть C — замкнутая кривая в пространстве линз, которая поднимается до узла в универсальном покрытии пространства линз. Если поднятый узел имеет тривиальный полином Александера , вычислите форму зацепления кручения на паре (C,C) – тогда это даст классификацию гомеоморфизма.

Другим инвариантом является гомотопический тип конфигурационных пространств - (Сальваторе и Лонгони, 2005) показали, что гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные линзовые пространства могут иметь конфигурационные пространства с разными типами гомотопии, которые могут быть обнаружены с помощью разных произведений Мэсси .

Смотрите также

• Сферическое 3-многообразие

Рекомендации

• Глен Бредон , Топология и геометрия , Тексты для выпускников Springer по математике 139, 1993.
• Броуди, Э.Дж. (1960), «Топологическая классификация пространств линз», Annals of Mathematics , 2, 71 (1): 163–184, doi : 10.2307/1969884, JSTOR  1969884
• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология, издательство Кембриджского университета , 2002.
• Аллен Хэтчер, Заметки по базовой топологии трехмерного многообразия. (Объясняет классификацию L(p,q) с точностью до гомеоморфизма.)
• Пшитицкий, Юзеф Х .; Ясухара, Акира (2003), «Симметрия связей и классификация линзовых пространств», Geometriae Dedicata , 98 (1): 57–61, doi : 10.1023/A: 10240, MR  1988423
• Райдемайстер, Курт (1935), «Homotopieringe und Linsenräume», Abh. Математика. Сем. унив. Гамбург , 11 (1): 102–109, номер документа : 10.1007/BF02940717.
• Сальваторе, Паоло; Лонгони, Риккардо (2005), «Конфигурационные пространства не являются гомотопически инвариантными», Топология , 44 (2): 375–380, arXiv : math/0401075 , doi : 10.1016/j.top.2004.11.002
• Герберт Зайферт и Уильям Трелфолл , Учебник топологии , Чистая и прикладная математика 89, Перевод с немецкого издания 1934 года, Academic Press Inc., Нью-Йорк (1980).
• Генрих Титце , Ueber die topologischen Invarianten mehr Dimensioner Mannigfaltigkeiten, Monatsh. более математика. и физ. 19, 1–118 (1908) ( 20) Английский перевод (2008) Джона Стиллвелла . ${\displaystyle \S }$
• Мэтью Уоткинс, «Краткий обзор пространств линз» ^{[ мертвая ссылка ]} (дипломная диссертация 1990 г.). Архивировано 25 сентября 2006 г. в Wayback Machine.

Внешние ссылки

• Линзовые пространства в Атласе многообразий
• Пространства линз: история в Атласе многообразий
• Поддельные места для линз в Атласе многообразия