Оптоволоконное пространство Зейферта

Топологическое пространство

Расслоение Зейферта — это 3-многообразие вместе с разложением в виде несвязного объединения окружностей. Другими словами, это -расслоение ( расслоение окружностей ) над 2-мерным орбифолдом . Многие 3-многообразия являются расслоениями Зейферта, и они учитывают все компактные ориентированные многообразия в 6 из 8 геометрий Терстона гипотезы геометризации . ${\displaystyle S^{1}}$

Определение

Стандартный расслоенный тор, соответствующий (5,2), получается путем склеивания верхней части цилиндра с нижней частью путем поворота на 2/5 против часовой стрелки.

Многообразие Зейферта представляет собой замкнутое 3-мерное многообразие вместе с разложением в непересекающееся объединение окружностей (называемых волокнами), такое, что каждое волокно имеет трубчатую окрестность, которая образует стандартный расслоенный тор.

Стандартный расслоенный тор, соответствующий паре взаимно простых целых чисел с , является поверхностным расслоением автоморфизма диска , заданного поворотом на угол (с естественным расслоением на окружности). Если средний слой называется обычным , а если средний слой называется исключительным . Компактное расслоенное пространство Зейферта имеет только конечное число исключительных слоев. ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle 2\pi b/a}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle a>1}$

Набор волокон образует 2-мерный орбифолд , обозначаемый B и называемый базой — также называемой поверхностью орбиты — расслоения. Он имеет базовую 2-мерную поверхность , но может иметь некоторые особые точки орбифолда, соответствующие исключительным волокнам. ${\displaystyle B_{0}}$

Определение расслоения Зейферта можно обобщить несколькими способами. Многообразию Зейферта часто разрешается иметь границу (также расслоенную на окружности, так что это объединение торов). При изучении неориентируемых многообразий иногда полезно разрешить волокнам иметь окрестности, которые выглядят как поверхностное расслоение отражения (а не вращения) диска, так что некоторые волокна имеют окрестности, выглядящие как расслоенные бутылки Клейна, и в этом случае могут быть однопараметрические семейства исключительных кривых. В обоих этих случаях база B расслоения обычно имеет непустую границу.

Классификация

Герберт Зейферт классифицировал все замкнутые расслоения Зейферта в терминах следующих инвариантов. Многообразия Зейферта обозначаются символами

${\displaystyle \{b,(\varepsilon ,g);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,}$

где: — один из 6 символов: , (или Oo, No, NnI, On, NnII, NnIII в оригинальной нотации Зейферта), означающий: ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle o_{1},o_{2},n_{1},n_{2},n_{3},n_{4}\,}$

• ${\displaystyle o_{1}}$если B ориентируемо и M ориентируемо .
• ${\displaystyle o_{2}}$если B ориентируемо, а M неориентируемо.
• ${\displaystyle n_{1}}$если B неориентируемо и M неориентируемо и все генераторы сохраняют ориентацию волокна. ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$
• ${\displaystyle n_{2}}$если B неориентируемо, а M ориентируемо, то все генераторы обратной ориентации волокна. ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$
• ${\displaystyle n_{3}}$если B неориентируемо и M неориентируемо и ровно один генератор сохраняет ориентацию волокна. ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$
• ${\displaystyle n_{4}}$если B неориентируемо и M неориентируемо и ровно две образующие сохраняют ориентацию волокна. ${\displaystyle g\geq 3}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$

Здесь

• g — род 2-многообразия, лежащего в основе поверхности орбиты.
• b — целое число, нормализованное до 0 или 1, если M неориентируемо, и нормализованное до 0, если при этом некоторое число равно 2. ${\displaystyle a_{i}}$
• ${\displaystyle (a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r})}$являются парами чисел, определяющими тип каждой из r исключительных орбит. Они нормализованы так, что когда M ориентируема, и когда M неориентируема. ${\displaystyle 0<b_{i}<a_{i}}$ ${\displaystyle 0<b_{i}\leq a_{i}/2}$

Расслоение Зейферта символа

${\displaystyle \{b,(\epsilon ,g);(a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r})\}}$

может быть построен из символа

${\displaystyle \{0,(\epsilon ,g);\}}$

с помощью хирургического вмешательства добавляются волокна типов b и . ${\displaystyle b_{i}/a_{i}}$

Если отказаться от условий нормализации, то символ можно изменить следующим образом:

• Изменение знака обоих не имеет никакого эффекта. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$
• Прибавление 1 к b и вычитание из не дает никакого эффекта. (Другими словами, мы можем прибавлять целые числа к каждому из рациональных чисел при условии, что их сумма остается постоянной.) ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle (b,b_{1}/a_{1},\ldots ,b_{r}/a_{r}}$
• Если многообразие неориентируемо, изменение знака не имеет никакого эффекта. ${\displaystyle b_{i}}$
• Добавление волокна типа (1,0) не имеет никакого эффекта. Каждый символ эквивалентен при этих операциях уникальному нормализованному символу. При работе с ненормализованными символами целое число b можно установить равным нулю, добавив волокно типа . ${\displaystyle (1,b)}$

Два замкнутых ориентированных или неориентируемых расслоения Зейферта изоморфны как ориентированные или неориентируемые расслоения тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же нормализованный символ. Однако иногда возможно, что два многообразия Зейферта будут гомеоморфны, даже если они имеют разные нормализованные символы, поскольку несколько многообразий (таких как линзовые пространства) могут иметь более одного вида расслоения Зейферта. Также ориентированное расслоение при изменении ориентации становится расслоением Зейферта, символ которого имеет измененный знак всех b s, что после нормализации дает ему символ

${\displaystyle \{-b-r,(\epsilon ,g);(a_{1},a_{1}-b_{1}),\ldots ,(a_{r},a_{r}-b_{r})\}}$

и оно гомеоморфно ему как неориентированному многообразию.

Сумма является инвариантом ориентированных расслоений, который равен нулю тогда и только тогда, когда расслоение становится тривиальным после взятия конечного покрытия B. ${\displaystyle b+\sum b_{i}/a_{i}}$

Эйлерова характеристика орбифолда B определяется выражением ${\displaystyle \chi (B)}$

${\displaystyle \chi (B)=\chi (B_{0})-\sum (1-1/a_{i})}$,

где — обычная эйлерова характеристика базовой топологической поверхности орбифолда B. Поведение M во многом зависит от знака эйлеровой характеристики орбифолда B. ${\displaystyle \chi (B_{0})}$ ${\displaystyle B_{0}}$

Основная группа

Фундаментальная группа M вписывается в точную последовательность

${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})\rightarrow \pi _{1}(M)\rightarrow \pi _{1}(B)\rightarrow 1}$

где — фундаментальная группа орбифолда B (которая не совпадает с фундаментальной группой базового топологического многообразия). Образ группы цикличен, нормален и порождается элементом h, представленным любым регулярным волокном, но отображение из π ₁ ( S ¹ ) в π ₁ ( M ) не всегда инъективно. ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$

Фундаментальная группа M имеет следующее представление образующими и соотношениями:

B ориентируемый:

${\displaystyle \langle u_{1},v_{1},...u_{g},v_{g},q_{1},...q_{r},h|u_{i}h=h^{\epsilon }u_{i},v_{i}h=h^{\epsilon }v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}[u_{1},v_{1}]...[u_{g},v_{g}]=h^{b}\rangle }$

где ε равно 1 для типа o ₁ и равно −1 для типа o ₂ .

B неориентируемый:

${\displaystyle \langle v_{1},...,v_{g},q_{1},...q_{r},h|v_{i}h=h^{\epsilon _{i}}v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}v_{1}^{2}...v_{g}^{2}=h^{b}\rangle }$

где ε _i равно 1 или −1 в зависимости от того, сохраняет или меняет ориентацию волокна соответствующий генератор v _{i . (Таким образом, все ε i} равны 1 для типа n ₁ , все −1 для типа n ₂ , только первый равен единице для типа n ₃ , и только первые два равны единице для типа n ₄ .)

Положительная орбифолдная эйлерова характеристика

Нормализованные символы расслоений Зейферта с положительной орбифолдной эйлеровой характеристикой приведены в списке ниже. Эти многообразия Зейферта часто имеют много различных расслоений Зейферта. Они имеют сферическую геометрию Терстона , если фундаментальная группа конечна, и геометрию Терстона S ² × R, если фундаментальная группа бесконечна. Эквивалентно, геометрия имеет вид S ² × R , если многообразие неориентируемо или если b + Σ b _i / a _i = 0, и сферическую геометрию в противном случае.

{ b ; ( o ₁ , 0);} ( b integral) равно S ² × S ¹ при b = 0, в противном случае — линзовое пространство L ( b , 1). В частности, {1; ( o ₁ , 0);} = L (1, 1) — это 3-сфера.

{ b ; ( o ₁ , 0);( a ₁ , b ₁ )} ( b интеграл) — это линзовое пространство L ( ba ₁ + b ₁ , a ₁ ).

{ b ; ( o ₁ , 0);( a ₁ , b ₁ ), ( a ₂ , b ₂ )} ( b интеграл) равно S ² × S ¹ , если ba ₁ a ₂ + a ₁ b ₂ + a ₂ b ₁ = 0, в противном случае пространство линзы L ( ba ₁ a ₂ + a ₁ b ₂ + a ₂ b ₁ , ma ₂ + nb ₂ ), где ma ₁ − n ( ba ₁ + b ₁ ) = 1.

{ b ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (2, 1), ( a ₃ , b ₃ )} ( b integral) Это призматическое многообразие с фундаментальной группой порядка 4 a ₃ |( b +1) a ₃ + b ₃ | и первой группой гомологий порядка 4|( b +1) a ₃ + b ₃ |.

{ b ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, b ₂ ), (3, b ₃ )} ( b integer) Фундаментальная группа является центральным расширением тетраэдрической группы порядка 12 с помощью циклической группы.

{ b ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, b ₂ ), (4, b ₃ )} ( b integer) Фундаментальная группа является произведением циклической группы порядка |12 b +6+4 b ₂ + 3 b ₃ | и двойного накрытия порядка 48 октаэдрической группы порядка 24.

{ b ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, b ₂ ), (5, b ₃ )} ( b integral) Фундаментальная группа является произведением циклической группы порядка m =|30 b +15+10 b ₂ +6 b ₃ | и совершенного двойного накрытия порядка 120 группы икосаэдра. Многообразия являются факторами сферы гомологий Пуанкаре по циклическим группам порядка m . В частности, {−1; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, 1), (5, 1)} является сферой Пуанкаре.

{ b ; ( n ₁ , 1);} ( b равно 0 или 1.) Это неориентируемые 3-многообразия с геометрией S ² × R. Если b четно, то оно гомеоморфно проективной плоскости, умноженной на окружность, в противном случае оно гомеоморфно поверхностному расслоению, связанному с автоморфизмом, меняющим ориентацию 2-сферы.

{ b ; ( n ₁ , 1);( a ₁ , b ₁ )} ( b равно 0 или 1.) Это неориентируемые 3-многообразия с геометрией S ² × R. Если ba ₁ + b ₁ четно, то оно гомеоморфно проективной плоскости, умноженной на окружность, в противном случае оно гомеоморфно поверхностному расслоению, связанному с автоморфизмом, меняющим ориентацию, 2-сферы.

{ b ; ( n ₂ , 1);} ( b цел.) Это призматическое многообразие с фундаментальной группой порядка 4| b | и первой группой гомологий порядка 4, за исключением b = 0, когда оно является суммой двух копий действительного проективного пространства, и | b |= 1, когда это линзовое пространство с фундаментальной группой порядка 4.

{ b ; ( n ₂ , 1);( a ₁ , b ₁ )} ( b цел.) Это (единственное) призматическое многообразие с фундаментальной группой порядка 4 a ₁ | ba ₁ + b ₁ | и первой группой гомологий порядка 4 a ₁ .

Нулевая орбифолдная эйлерова характеристика

Нормализованные символы расслоений Зейферта с нулевой орбифолдной эйлеровой характеристикой приведены в списке ниже. Многообразия имеют евклидову геометрию Терстона , если они неориентируемы или если b + Σ b _i / a _i = 0, и нулевую геометрию в противном случае. Эквивалентно, многообразие имеет евклидову геометрию тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа имеет абелеву группу конечного индекса. Существует 10 евклидовых многообразий, но четыре из них имеют два различных расслоения Зейферта. Все поверхностные расслоения, связанные с автоморфизмами 2-тора следа 2, 1, 0, −1 или −2, являются расслоениями Зейферта с нулевой орбифолдной эйлеровой характеристикой (расслоения для других ( аносовских ) автоморфизмов не являются расслоениями Зейферта, но имеют sol-геометрию ). Все многообразия с нулевой геометрией имеют единственное расслоение Зейферта и характеризуются своими фундаментальными группами. Все пространства ацикличны.

{ b ; ( o ₁ , 0); (3, b ₁ ), (3, b ₂ ), (3, b ₃ )} ( b целая часть, b _i равно 1 или 2) Для b + Σ b _i / a _i = 0 это ориентированное евклидово 2-торическое расслоение над окружностью, и является поверхностным расслоением, связанным с поворотом 2-тора порядка 3 (след −1).

{ b ; ( o ₁ , 0); (2,1), (4, b ₂ ), (4, b ₃ )} ( b целая часть, b _i равно 1 или 3) Для b + Σ b _i / a _i = 0 это ориентированное евклидово 2-торическое расслоение над окружностью, и является поверхностным расслоением, связанным с вращением 2-тора порядка 4 (след 0).

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (3, b ₂ ), (6, b ₃ )} ( b целочисленное значение, b ₂ равно 1 или 2, b ₃ равно 1 или 5) Для b + Σ b _i / a _i = 0 это ориентированное евклидово 2-торическое расслоение над окружностью, и является поверхностным расслоением, связанным с поворотом 2-тора порядка 6 (след 1).

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} ( b integral) Это ориентированные 2-торические расслоения для следовых −2 автоморфизмов 2-тора. При b = −2 это ориентированное евклидово 2-торическое расслоение над окружностью (поверхностное расслоение, связанное с поворотом 2-го порядка 2-тора) и гомеоморфно {0; ( n ₂ , 2);}.

{ b ; ( o ₁ , 1); } ( b integral) Это ориентированное 2-торическое расслоение над окружностью, заданное как поверхностное расслоение, связанное с автоморфизмом следа 2 2-тора. При b = 0 это евклидово и является 3-тором (поверхностное расслоение, связанное с тождественным отображением 2-тора).

{ b ; ( o ₂ , 1); } ( b равно 0 или 1) Два неориентируемых евклидовых расслоения бутылок Клейна над окружностью. Первая гомология — Z + Z + Z /2 Z, если b = 0, и Z + Z, если b = 1. Первая — это бутылка Клейна, умноженная на S ¹ , а другая — поверхностное расслоение, связанное с твистом Дена бутылки Клейна . Они гомеоморфны торам-расслоениям { b ; ( n ₁ , 2);}.

{0; ( n ₁ , 1); (2, 1), (2, 1)},   гомеоморфное неориентируемому евклидовому расслоению бутылок Клейна {1; ( n ₃ , 2);}, с первой гомологией Z + Z /4 Z .

{ b ; ( n ₁ , 2); } ( b равно 0 или 1) Это неориентируемые евклидовы поверхностные расслоения, связанные с автоморфизмами порядка 2, меняющими ориентацию, 2-тора без неподвижных точек. Первая гомология — Z + Z + Z /2 Z, если b = 0, и Z + Z, если b = 1. Они гомеоморфны расслоениям бутылок Клейна { b ; ( o ₂ , 1);}.

{ b ; ( n ₂ , 1); (2, 1), (2, 1)} ( b интеграл) При b = −1 это ориентированное евклидово пространство.

{ b ; ( n ₂ , 2); } ( b integral) При b = 0 это ориентированное евклидово многообразие, гомеоморфное 2-торическому расслоению {−2; ( o ₁ , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} над окружностью, связанной с поворотом 2-го порядка 2-тора.

{ b ; ( n ₃ , 2); } ( b равно 0 или 1) Два других неориентируемых евклидовых расслоения бутылок Клейна. То, у которого b = 1, гомеоморфно {0; ( n ₁ , 1); (2, 1), (2, 1)}. Первая гомология — Z + Z /2 Z + Z /2 Z , если b = 0, и Z + Z /4 Z, если b = 1. Эти два расслоения бутылок Клейна являются поверхностными расслоениями, связанными с y-гомеоморфизмом и его произведением на поворот.

Отрицательная орбифолдная эйлерова характеристика

Это общий случай. Все такие расслоения Зейферта определяются с точностью до изоморфизма их фундаментальной группой. Полные пространства асферичны (другими словами, все высшие гомотопические группы исчезают). Они имеют геометрии Терстона типа универсального покрытия SL ₂ ( R ) , если только некоторое конечное покрытие не распадается как произведение, в этом случае они имеют геометрии Терстона типа H ₂ × R . Это происходит, если многообразие неориентируемо или b + Σ b _i / a _i = 0.

Ссылки

• А. В. Чернавский (2001) [1994], "Расслоение Зейферта", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Herbert Seifert , Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume , Acta Mathematica 60 (1933) 147–238 (Существует перевод W. Heil, опубликованный Университетом штата Флорида в 1976 году и найденный в: Herbert Seifert , William Threlfall , Seifert and Threllfall: a textbook of topology , Pure and Applied Mathematics, Academic Press Inc (1980), vol. 89.)
• Питер Орлик , Многообразия Зейферта , Lecture Notes in Mathematics 291, Springer (1972).
• Фрэнк Рэймонд, Классификация действий окружности на 3-многообразиях , Труды Американского математического общества 31, (1968) 51–87.
• Уильям Х. Жако , Лекции по топологии 3-многообразий ISBN 0-8218-1693-4 
• Уильям Х. Джако , Питер Б. Шален , Seifert Fibered Spaces in Three Manifolds: Memoirs Series No. 220 ( Мемуары Американского математического общества ; т. 21, № 220) ISBN 0-8218-2220-9 
• Мэтью Г. Брин (2007). «Раслоенные пространства Зейферта: заметки к курсу, прочитанному весной 1993 года». arXiv : 0711.1346 [math.GT].
• Джон Хемпель, 3-многообразия , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3695-1 
• Питер Скотт , Геометрия 3-многообразий. (опечатки), Bull. London Math. Soc. 15 (1983), № 5, 401–487.