Процесс правого Бореля

В математической теории вероятностей правый процесс Бореля , названный в честь Эмиля Бореля , представляет собой особый вид непрерывного во времени случайного процесса .

Пусть будет локально компактным, сепарабельным, метрическим пространством. Обозначим через Борелевские подмножества из . Пусть будет пространством непрерывных справа отображений из в , имеющих левые пределы в , и для каждого обозначим через координатную карту в ; для каждого — значение в . Обозначим универсальное пополнение через . Для каждого пусть ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle X_{t}(\omega )\in E}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}}$ ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \left\{X_{s}^{-1}(B):s\in [0,t],B\in {\mathcal {E}}\right\},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{*}=\sigma \left\{X_{s}^{-1}(B):s\in [0,t],B\in {\mathcal {E}}^{*}\right\},}$

и тогда, пусть

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left\{X_{s}^{-1}(B):s\in [0,\infty ),B\in {\mathcal {E}}\right\},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }^{*}=\sigma \left\{X_{s}^{-1}(B):s\in [0,\infty ),B\in {\mathcal {E}}^{*}\right\}.}$

Для каждой измеримой по Борелю функции на , определим для каждого , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle U^{\alpha }f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}f(X_{t})\,dt\right].}$

Так как и отображение, заданное непрерывным справа, то для любой равномерно непрерывной функции отображение , заданное непрерывным справа. ${\displaystyle P_{t}f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t})\right]}$ ${\displaystyle t\rightarrow X_{t}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t\rightarrow P_{t}f(x)}$

Поэтому вместе с теоремой о монотонном классе для любой универсально измеримой функции отображение, заданное , совместно измеримо, то есть измеримо, и, следовательно, отображение также -измеримо для всех конечных мер на и на . Здесь - пополнение относительно меры произведения . Таким образом, для любой ограниченной универсально измеримой функции на отображение измеримо по Лебегу, и, следовательно, для каждого можно определить ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (t,x)\rightarrow P_{t}f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,\infty ))\otimes {\mathcal {E}}^{*}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {B}}([0,\infty ))\otimes {\mathcal {E}}^{*}\right)^{\lambda \otimes \mu }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,\infty ))}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {B}}([0,\infty ))\otimes {\mathcal {E}}^{*}\right)^{\lambda \otimes \mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,\infty ))\otimes {\mathcal {E}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda \otimes \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle t\rightarrow P_{t}f(x)}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,\infty )}$

${\displaystyle U^{\alpha }f(x)=\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}P_{t}f(x)dt.}$

Достаточно совместной измеримости, чтобы проверить, что является марковской резольвентой на , которая однозначно связана с марковской полугруппой . Следовательно, можно применить теорему Фубини , чтобы увидеть, что ${\displaystyle \{U^{\alpha }:\alpha \in (0,\infty )\}}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}}^{*})}$ ${\displaystyle \{P_{t}:t\in [0,\infty )\}}$

${\displaystyle U^{\alpha }f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}f(X_{t})dt\right].}$

Ниже приведены определяющие свойства правых процессов Бореля: ^[1]

• Гипотеза Друате 1 :

Для каждой вероятностной меры на существует вероятностная мера на такая, что является марковским процессом с начальной мерой и переходной полугруппой . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{\mu }}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}^{*})}$ ${\displaystyle (X_{t},{\mathcal {F}}_{t}^{*},P^{\mu })}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{P_{t}:t\in [0,\infty )\}}$

• Гипотеза Друате 2 :

Пусть будет -избыточным для резольвенты на . Тогда для каждой вероятностной меры на отображение, заданное как , почти наверное непрерывно справа на . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}}^{*})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle t\rightarrow f(X_{t})}$ ${\displaystyle P^{\mu }}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

Примечания

1. Шарп 1988, раздел 20

Ссылки

• Шарп, Майкл (1988), Общая теория марковских процессов , ISBN 0126390606