В теории групп , разделе математики , процесс сбора коммутаторов — это метод записи элемента группы в виде произведения генераторов и их высших коммутаторов, расположенных в определенном порядке. Процесс сбора коммутаторов был введен Филиппом Холлом в 1934 году [1] и сформулирован Вильгельмом Магнусом в 1937 году [2]. Этот процесс иногда называют «процессом сбора».
Процесс можно обобщить, чтобы определить полностью упорядоченное подмножество свободной неассоциативной алгебры, то есть свободную магму ; это подмножество называется множеством Холла . Члены множества Холла являются бинарными деревьями ; они могут быть помещены во взаимно-однозначное соответствие со словами, которые называются словами Холла ; слова Линдона являются особым случаем. Множества Холла используются для построения базиса для свободной алгебры Ли , полностью аналогично процессу сбора коммутаторов. Слова Холла также обеспечивают уникальную факторизацию моноидов .
Процесс сбора коммутатора обычно формулируется для свободных групп , поскольку аналогичная теорема тогда справедлива для любой группы, записанной как фактор свободной группы.
Предположим, что F 1 — свободная группа с образующими a 1 , ..., a m . Определим нисходящий центральный ряд , положив
Базовые коммутаторы — это элементы F1 , определяемые и упорядоченные следующим образом:
Коммутаторы упорядочены так, что x > y, если x имеет вес больше, чем y , а для коммутаторов любого фиксированного веса выбирается некоторый общий порядок.
Тогда F n / F n +1 является конечно порождённой свободной абелевой группой с базисом, состоящим из базисных коммутаторов веса n .
Тогда любой элемент F можно записать как
где c i — базовые коммутаторы веса не более m, расположенные по порядку, а c — произведение коммутаторов веса больше m , а n i — целые числа .
