Прыжковая линия

В математике прыгающая линия или исключительная линия векторного расслоения над проективным пространством — это проективная линия в проективном пространстве, где векторное расслоение имеет исключительное поведение, другими словами, структура его ограничения на линию «прыгает». Прыгающие линии были введены Р. Л. Э. Шварценбергером в 1961 году. ^{[1] [2]} Прыгающие линии векторного расслоения образуют собственное замкнутое подмножество грассманиана всех линий проективного пространства.

Теорема Биркгофа –Гротендика классифицирует n -мерные векторные расслоения над проективной прямой как соответствующие неупорядоченным n -кортежам целых чисел. Это явление не может быть обобщено на проективные пространства более высокой размерности, а именно, нельзя разложить произвольное расслоение в терминах суммы Уитни степеней тавтологического расслоения или, фактически, линейных расслоений в целом. Тем не менее, можно получить информацию этого типа, используя следующий метод. Если расслоение на , , мы можем взять линию в , или, что эквивалентно, 2-мерное подпространство . Это образует многообразие, эквивалентное вложенному в , поэтому мы можем ограничить на , и оно будет разлагаться по теореме Биркгофа–Гротендика как сумма степеней тавтологического расслоения. Можно показать, что уникальный кортеж целых чисел, заданный этим разбиением, является тем же самым для «общего» выбора линии. Более технически, существует непустое, открытое подмногообразие грассманиана прямых в с разложением того же типа. Прямые, такие, что разложение отличается от этого общего типа, называются «прыгающими прямыми». Если расслоение является генерически тривиальным вдоль прямых, то прыгающие прямые — это в точности те прямые, для которых ограничение нетривиально. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Пример

Предположим, что V — 4-мерное комплексное векторное пространство с невырожденной кососимметричной формой. Существует векторное расслоение ранга 2 над 3-мерным комплексным проективным пространством, ассоциированное с V , которое сопоставляет каждой прямой L пространства V 2-мерное векторное пространство L ^⊥ / L . Тогда плоскость пространства V соответствует скачкообразной прямой этого векторного расслоения тогда и только тогда, когда оно изотропно для кососимметричной формы.

Ссылки

1. Шварценбергер, Р. Л. Э. (1961), «Векторные расслоения на алгебраических поверхностях», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 11 : 601–622, doi : 10.1112/plms/s3-11.1.601, ISSN  0024-6115, MR  0137711
2. Шварценбергер, Р. Л. Е. (1961), «Векторные расслоения на проективной плоскости», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 11 : 623–640, doi : 10.1112/plms/s3-11.1.623, ISSN  0024-6115, MR  0137712

Дальнейшее чтение

• Муласе, Мотохико (1979), «Полюса инстантонов и скачущие линии алгебраических векторных расслоений на P³», Японская академия. Труды. Серия A. Математические науки , 55 (5): 185–189, doi :10.3792/pjaa.55.185, ISSN  0386-2194, MR  0533544