Прямая сумма топологических групп

В математике топологическая группа называется топологической прямой суммой ^[1] двух подгрупп , и если отображение является топологическим изоморфизмом, это означает, что оно является гомеоморфизмом и изоморфизмом групп . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}\times H_{2}&\longrightarrow G\\(h_{1},h_{2})&\longmapsto h_{1}h_{2}\end{aligned}}}$$

Определение

В более общем смысле, называется прямой суммой конечного набора подгрупп отображения и является топологическим изоморфизмом. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=1}^{n}H_{i}&\longrightarrow G\\(h_{i})_{i\in I}&\longmapsto h_{1}h_{2}\cdots h_{n}\end{aligned}}}$$

Если топологическая группа является топологической прямой суммой семейства подгрупп, то, в частности, как абстрактная группа (без топологии) она также является прямой суммой (обычным образом) семейства ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$ ${\displaystyle H_{i}.}$

Топологические прямые слагаемые

Для топологической группы мы говорим, что подгруппа является топологическим прямым слагаемым ( или которая топологически расщепляется от ), тогда и только тогда, когда существует другая подгруппа, такая что является прямой суммой подгрупп и ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K\leq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K.}$

Подгруппа является топологическим прямым слагаемым тогда и только тогда, когда расширение топологических групп расщепляется, где — естественное включение, а — естественная проекция. ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle 0\to H{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}G/H\to 0}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi }$

Примеры

Предположим, что — локально компактная абелева группа , содержащая единичную окружность в качестве подгруппы. Тогда — топологическое прямое слагаемое То же самое утверждение верно и для действительных чисел ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Смотрите также

• Дополненное подпространство
• Прямая сумма  – операция в абстрактной алгебре, объединяющая объекты в «более сложные» объекты.
• Прямая сумма модулей  – Операция в абстрактной алгебре

Ссылки

1. Э. Хьюитт и К. А. Росс, Абстрактный гармонический анализ. Том. I, второе издание, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 115, Springer, Berlin, 1979. MR0551496 (81k:43001).
2. Армакост, Дэвид Л. Структура локально компактных абелевых групп. Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 68. Marcel Dekker, Inc., Нью-Йорк, 1981. vii+154 стр. ISBN  0-8247-1507-1 MR0637201 (83h:22010)