Карта Пуанкаре

В математике , особенно в динамических системах , первая рекуррентная карта или карта Пуанкаре , названная в честь Анри Пуанкаре , представляет собой пересечение периодической орбиты в пространстве состояний непрерывной динамической системы с определенным подпространством меньшей размерности, называемым сечением Пуанкаре . трансверсально потоку системы . Точнее, рассматривается периодическая орбита с начальными условиями внутри участка пространства, которая впоследствии покидает этот участок, и наблюдается точка, в которой эта орбита впервые возвращается в этот участок. Затем создается карта для отправки первой точки во вторую, отсюда и название «первая карта повторения» . Трансверсальность сечения Пуанкаре означает, что периодические орбиты, начинающиеся в подпространстве, протекают через него, а не параллельны ему.

Отображение Пуанкаре можно интерпретировать как дискретную динамическую систему с пространством состояний, которое на одно измерение меньше, чем исходная непрерывная динамическая система. Поскольку он сохраняет многие свойства периодических и квазипериодических орбит исходной системы и имеет пространство состояний меньшей размерности, его часто используют для более простого анализа исходной системы. ^{[ нужна цитата ]} На практике это не всегда возможно, поскольку не существует общего метода построения карты Пуанкаре.

Карта Пуанкаре отличается от рекуррентного графика тем, что время, а не время определяет, когда наносить точку. Например, положение Луны, когда Земля находится в перигелии , представляет собой повторяющийся график; Геометрическое положение Луны, когда она проходит через плоскость, перпендикулярную орбите Земли, и проходит через Солнце и Землю в перигелии, представляет собой карту Пуанкаре. ^{[ нужна цитата ]} Ее использовал Мишель Энон для изучения движения звезд в галактике , потому что путь звезды, проецируемый на плоскость, выглядит как запутанный беспорядок, в то время как карта Пуанкаре показывает структуру более четко.

Определение

Пусть ( R , M , φ ) — глобальная динамическая система , где R — действительные числа , M — фазовое пространство и φ — функция эволюции . Пусть γ — периодическая орбита, проходящая через точку p, а S — локально дифференцируемое и трансверсальное сечение φ через p , называемое сечением Пуанкаре через p .

Учитывая открытую и связную окрестность точки p , функция $U\subset S$

P:U\to S

называется отображением Пуанкаре для орбиты γ на сечении Пуанкаре S через точку p , если

п ( п ) знак равно п
P ( U ) — окрестность точки p , а P : U → P ( U ) — диффеоморфизм.
для каждой точки x в U положительная полуорбита x пересекает S впервые в точке P ( x )

Пример

Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений в полярных координатах : $(\theta,r)\in \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{+}$

{\begin{cases}{\dot {\theta }}=1\\{\dot {r}}=(1-r^{2})r\end{cases}}

Поток системы можно получить путем интегрирования уравнения: для компонента мы просто имеем , а для компонента нам нужно разделить переменные и проинтегрировать: ${\ displaystyle \ theta }$ $\theta (t)=\theta _{0}+t$ $г$

\int {\frac {1}{(1-r^{2})r}}dr=\int dt\Longrightarrow \log \left({\frac {r}{\sqrt {1-r^ {2}}}}\right)=t+c

Инвертирование последнего выражения дает

r(t)={\sqrt {\frac {e^{2(t+c)}}{1+e^{2(t+c)}}}}

и с тех пор

r(0)={\sqrt {\frac {e^{2c}}{1+e^{2c}}}}

мы нашли

r(t)={\sqrt {\frac {e^{2t}r_{0}^{2}}{1+r_{0}^{2}(e^{2t}-1)}}}={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}

Таким образом, поток системы

\Phi _{t}(\theta ,r)=\left(\theta +t,{\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}\right)

Поведение потока следующее:

Угол увеличивается монотонно и с постоянной скоростью. $\theta$
Радиус стремится к равновесию для каждого значения. $r$ ${\bar {r}}=1$

Поэтому решение с исходными данными рисует спираль, стремящуюся к окружности радиуса 1. $(\theta _{0},r_{0}\neq 1)$

В качестве сечения Пуанкаре для этого потока мы можем принять положительную горизонтальную ось, а именно : очевидно, мы можем использовать в качестве координаты на этом сечении. Каждая точка возвращается в сечение через некоторое время (это можно понять, глядя на эволюцию угла): в качестве отображения Пуанкаре мы можем принять ограничение на сечение, вычисленное в момент времени , . Таким образом, карта Пуанкаре: $\Sigma =\{(\theta ,r)\ :\ \theta =0\}$ $r$ $\Sigma$ $t=2\pi$ $\Phi$ $\Sigma$ $2\pi$ $\Phi _{2\pi }|_{\Sigma }$ $\Psi (r)={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-4\pi }\left({\frac {1}{r^{2}}}-1\right)}}}$

Поведение орбит дискретной динамической системы следующее: $(\Sigma ,\mathbb {Z} ,\Psi )$

Точка фиксирована, поэтому для каждого . $r=1$ $\Psi ^{n}(1)=1$ $n$
Любая другая точка монотонно стремится к равновесию, при . $\Psi ^{n}(z)\to 1$ $n\to \pm \infty$

Карты Пуанкаре и анализ устойчивости

Отображения Пуанкаре можно интерпретировать как дискретную динамическую систему . Устойчивость периодической орбиты исходной системы тесно связана с устойчивостью неподвижной точки соответствующего отображения Пуанкаре.

Пусть ( R , M , φ ) — дифференцируемая динамическая система с периодической орбитой γ через p . Позволять

P:U\to S

— соответствующее отображение Пуанкаре через p . Мы определяем

P^{0}:=\operatorname {id} _{U}

P^{n+1}:=P\circ P^{n}

P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}

P(n,x):=P^{n}(x)

тогда ( Z , U , P ) — дискретная динамическая система с пространством состояний U и функцией эволюции

P:\mathbb {Z} \times U\to U.

По определению эта система имеет фиксированную точку p .

Периодическая орбита γ непрерывной динамической системы устойчива тогда и только тогда, когда неподвижная точка p дискретной динамической системы устойчива.

Периодическая орбита γ непрерывной динамической системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда неподвижная точка p дискретной динамической системы асимптотически устойчива.

Смотрите также

Внешние ссылки