Пустой продукт

Результат умножения без множителей

В математике пустое произведение , или нулевое произведение , или пустое произведение — это результат умножения без множителей . По соглашению оно равно мультипликативному тождеству (при условии, что для рассматриваемой операции умножения существует тождество), точно так же, как пустая сумма — результат сложения без чисел — по соглашению равна нулю , или аддитивному тождеству. ^{[1] [2] [3] [4]} Когда подразумеваются числа, пустое произведение становится единицей .

Термин пустое произведение чаще всего используется в указанном выше смысле при обсуждении арифметических операций. Однако этот термин иногда используется при обсуждении теоретико- множественных пересечений, категориальных произведений и произведений в компьютерном программировании .

Нулевое арифметическое произведение

Определение

Пусть a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... — последовательность чисел, и пусть

${\displaystyle P_{m}=\prod _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}\cdots a_{m}}$

быть произведением первых m элементов последовательности. Тогда

${\displaystyle P_{m}=P_{m-1}a_{m}}$

для всех m = 1, 2, ... при условии, что мы используем соглашение . Другими словами, «произведение» без каких-либо множителей оценивается как 1. Разрешение «произведения» с нулевыми множителями уменьшает количество случаев, которые следует рассматривать во многих математических формулах . Такое «произведение» является естественной отправной точкой в ​​доказательствах индукции , а также в алгоритмах . По этим причинам соглашение «пустое произведение равно единице» является обычной практикой в ​​математике и компьютерном программировании. ${\displaystyle P_{0}=1}$

Актуальность определения пустых продуктов

Понятие пустого произведения полезно по той же причине, по которой полезны число ноль и пустое множество : хотя они кажутся совершенно неинтересными понятиями, их существование позволяет гораздо короче излагать математические представления многих предметов.

Например, пустые произведения 0! = 1 ( факториал нуля) и x ⁰  = 1 сокращают запись ряда Тейлора (см. ноль в степени нуля для обсуждения случая x  = 0). Аналогично, если M — матрица n  ×  n , то M ⁰ — это единичная матрица n  ×  n , отражая тот факт, что применение линейного отображения ноль раз имеет тот же эффект, что и применение единичного отображения .

В качестве другого примера, фундаментальная теорема арифметики гласит, что каждое положительное целое число, большее 1, может быть записано единственным образом как произведение простых чисел. Однако, если мы не допускаем произведений только с 0 или 1 множителями, то теорема (и ее доказательство) становятся длиннее. ^{[5] [6]}

Дополнительные примеры использования пустого произведения в математике можно найти в биномиальной теореме (которая предполагает и подразумевает, что x ⁰ = 1 для всех x ), числе Стирлинга , теореме Кёнига , биномиальном типе , биномиальном ряде , операторе разности и символе Похгаммера .

Логарифмы и экспоненты

Поскольку логарифмы отображают произведения в суммы:

${\displaystyle \ln \prod _{i}x_{i}=\sum _{i}\ln x_{i}}$

они отображают пустое произведение в пустую сумму .

Наоборот, экспоненциальная функция отображает суммы в произведения:

${\displaystyle e^{\sum _{i}x_{i}}=\prod _{i}e^{x_{i}}}$

и отображает пустую сумму в пустое произведение.

Нулевое декартово произведение

Рассмотрим общее определение декартова произведения :

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{g:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\mid \forall i\ g(i)\in X_{i}\right\}.}$

Если I пусто, то единственным таким g является пустая функция , которая является уникальным подмножеством , которое является функцией , а именно пустым подмножеством (единственным подмножеством, которое имеет): ${\displaystyle f_{\varnothing }}$ ${\displaystyle \varnothing \times \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing \to \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing \times \varnothing =\varnothing }$

${\displaystyle \prod _{\varnothing }{}=\left\{f_{\varnothing }:\varnothing \to \varnothing \right\}=\{\varnothing \}.}$

Таким образом, мощность декартова произведения нулевых множеств равна 1.

Согласно, возможно, более привычной интерпретации n - кортежа ,

${\displaystyle \prod _{\varnothing }{}=\{()\},}$

то есть синглтон-множество, содержащее пустой кортеж . Обратите внимание, что в обоих представлениях пустой продукт имеет мощность 1 – число всех способов получить 0 выходов из 0 входов равно 1.

Нулевой категориальный продукт

В любой категории произведение пустого семейства является конечным объектом этой категории. Это можно продемонстрировать, используя предельное определение произведения. N -кратное категориальное произведение может быть определено как предел относительно диаграммы, заданной дискретной категорией с n объектами . Пустое произведение затем задается пределом относительно пустой категории, которая является конечным объектом категории, если она существует. Это определение специализируется, чтобы дать результаты, как указано выше. Например, в категории множеств категориальное произведение является обычным декартовым произведением, а конечный объект является одноэлементным множеством. В категории групп категориальное произведение является декартовым произведением групп, а конечный объект является тривиальной группой с одним элементом. Чтобы получить обычное арифметическое определение пустого произведения, мы должны взять декатегоризацию пустого произведения в категории конечных множеств.

Дуально , копроизведение пустого семейства является начальным объектом . Нулевые категориальные продукты или копроизведения могут не существовать в данной категории; например, в категории полей не существует ни того, ни другого.

В логике

Классическая логика определяет операцию конъюнкции , которая обобщается до универсальной квантификации в исчислении предикатов и широко известна как логическое умножение, потому что мы интуитивно отождествляем истину с 1, а ложь с 0, и наша конъюнкция ведет себя как обычный множитель. Множители могут иметь произвольное количество входов. В случае 0 входов мы имеем пустую конъюнкцию , которая тождественно равна истине.

Это связано с другим понятием в логике, vacuous truth , которое говорит нам, что пустое множество объектов может иметь любое свойство. Это можно объяснить тем, как конъюнкция (как часть логики в целом) имеет дело со значениями, меньшими или равными 1. Это означает, что чем длиннее конъюнкция, тем выше вероятность получить 0. Конъюнкция просто проверяет предложения и возвращает 0 (или false), как только одно из предложений оценивается как false. Уменьшение количества соединенных предложений увеличивает шанс пройти проверку и остаться с 1. В частности, если есть 0 тестов или членов для проверки, ни один из них не может потерпеть неудачу, поэтому по умолчанию мы должны всегда добиваться успеха независимо от того, какие предложения или свойства членов должны были быть проверены.

В компьютерном программировании

Многие языки программирования, такие как Python , допускают прямое выражение списков чисел и даже функций, которые допускают произвольное количество параметров. Если такой язык имеет функцию, которая возвращает произведение всех чисел в списке, она обычно работает так:

>>> математика.произв . ( [ 2,3,5 ] ) 30 >>> математика.произв . ( [ 2,3 ] ) 6 >>> математика.произв . ( [ 2 ] ) 2 >>> математика.произв . ( [ ] ) 1​   

(Обратите внимание: prodнедоступно в mathмодуле до версии 3.8.)

Это соглашение помогает избежать необходимости кодировать особые случаи, такие как «если длина списка равна 1» или «если длина списка равна нулю».

Умножение — инфиксный оператор и, следовательно, бинарный оператор, усложняющий запись пустого произведения. Некоторые языки программирования справляются с этим, реализуя вариативные функции . Например, полностью заключенная в скобки префиксная запись языков Lisp приводит к естественной записи для нуль- функций:

(* 2 2 2) ; вычисляется как 8(* 2 2) ; оценивается как 4(* 2) ; оценивается как 2(*) ; оценивается как 1

Смотрите также

• Итерированная бинарная операция
• Пустая функция

Ссылки

1. Ярослав Нешетржил , Иржи Матушек (1998). Приглашение к дискретной математике . Издательство Оксфордского университета. п. 12. ISBN 0-19-850207-9.
2. AE Ingham и RC Vaughan (1990). Распределение простых чисел . Cambridge University Press. стр. 1. ISBN 0-521-39789-8.
3. Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 9, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001
4. Дэвид М. Блум (1979). Линейная алгебра и геометрия . Архив CUP. стр. 45. ISBN 0521293243.
5. Эдсгер Вайб Дейкстра (1990-03-04). "Как вычислительная наука создала новый математический стиль". EWD . Получено 2010-01-20 . Харди и Райт: "Каждое положительное целое число, кроме 1, является произведением простых чисел", Гарольд М. Старк: "Если n — целое число, большее 1, то либо n — простое число, либо n — конечное произведение простых чисел". Оба этих примера — которыми я обязан AJM van Gasteren — отвергают пустое произведение, последний также отвергает произведение с одним множителем.
6. Эдсгер Вайб Дейкстра (1986-11-14). «Характер моих исследований и почему я ими занимаюсь». EWD . Получено 2024-03-22 . Но также 0, безусловно, конечен, и, определив произведение 0 множителей — как еще? — равным 1, мы можем избавиться от исключения: «Если n — положительное целое число, то n — конечное произведение простых чисел».

Внешние ссылки

• Статья PlanetMath о пустом продукте