Теорема названа в честь ее первооткрывателя Жозефа Бертрана .
Вывод
Все центральные силы притяжения могут создавать круговые орбиты, которые являются естественно замкнутыми орбитами . Единственное требование состоит в том, чтобы центральная сила была точно равна центростремительной силе , которая определяет требуемую угловую скорость для заданного кругового радиуса. Нецентральные силы (т. е. те, которые зависят от угловых переменных, а также от радиуса) здесь игнорируются, поскольку они не создают круговых орбит в общем случае.
Определение момента импульса допускает замену независимой переменной с на :
дающее новое уравнение движения, не зависящее от времени:
Это уравнение становится квазилинейным, если сделать замену переменных и умножить обе части на (см. также уравнение Бине ):
Как отмечено выше, все центральные силы могут создавать круговые орбиты при соответствующей начальной скорости. Однако, если ввести некоторую радиальную скорость, эти орбиты не обязательно должны быть стабильными (т. е. оставаться на орбите бесконечно) или замкнутыми (многократно возвращаться к точно такому же пути). Здесь мы показываем, что необходимым условием для стабильных, точно замкнутых некруговых орбит является сила, обратная квадрату, или потенциал радиального гармонического осциллятора. В следующих разделах мы показываем, что эти два закона сил создают стабильные, точно замкнутые орбиты ( достаточное условие ) [читателю неясно, что именно является достаточным условием].
Определить как
где представляет собой радиальную силу. Критерий идеального кругового движения по радиусу заключается в том, что первый член слева равен нулю:
где .
Следующий шаг — рассмотреть уравнение для при малых возмущениях от идеально круговых орбит. Справа функция может быть разложена в стандартный ряд Тейлора :
Подставляя это расширение в уравнение и вычитая постоянные члены, получаем
что можно записать как
где — константа. должна быть неотрицательной; в противном случае радиус орбиты будет экспоненциально изменяться от ее начального радиуса. (Решение соответствует идеально круговой орбите.) Если правой частью можно пренебречь (т. е. для малых возмущений), решения будут такими:
где амплитуда является константой интегрирования. Для того, чтобы орбиты были замкнуты, должно быть рациональным числом . Более того, это должно быть одно и то же рациональное число для всех радиусов, поскольку не может изменяться непрерывно; рациональные числа полностью отделены друг от друга. Используя определение вместе с уравнением ( 1 ),
Поскольку это должно выполняться для любого значения ,
Для более общих отклонений от кругообразности (т.е. когда мы не можем пренебречь членами более высокого порядка в разложении Тейлора ), можно разложить в ряд Фурье, например,
Подставим это в уравнение ( 2 ) и приравняем коэффициенты, принадлежащие к одной и той же частоте, оставив только члены самого низкого порядка. Как мы покажем ниже, и меньше, чем , имея порядок . , а все дальнейшие коэффициенты, имеют порядок не менее . Это имеет смысл, поскольку все они должны исчезать быстрее, чем при приближении к круговой орбите.
Из термина получаем
где на последнем шаге мы подставили значения и .
Используя уравнения ( 3 ) и ( 1 ), мы можем вычислить вторую и третью производные от оцененной величины :
Подстановка этих значений в последнее уравнение дает основной результат теоремы Бертрана :
Следовательно, единственными потенциалами , которые могут создавать устойчивые замкнутые некруговые орбиты, являются закон обратных квадратов силы ( ) и потенциал радиального гармонического осциллятора ( ). Решение соответствует идеально круговым орбитам, как отмечено выше.
решение которого представляет собой константу плюс простую синусоиду:
где e ( эксцентриситет ) и θ 0 ( смещение фазы ) являются константами интегрирования.
Это общая формула для конического сечения , имеющего один фокус в начале координат; e = 0 соответствует окружности , 0 < e < 1 соответствует эллипсу, e = 1 соответствует параболе , а e > 1 соответствует гиперболе . Эксцентриситет e связан с полной энергией E (см. вектор Лапласа–Рунге–Ленца ):
Сравнение этих формул показывает, что E < 0 соответствует эллипсу, E = 0 соответствует параболе , а E > 0 соответствует гиперболе . В частности, для идеально круговых орбит.
Гармонический осциллятор
Чтобы решить для орбиты под радиальным гармоническим осцилляторным потенциалом, проще работать с компонентами r = ( x , y , z ). Потенциал можно записать как
Уравнение движения частицы массой m задается тремя независимыми уравнениями Эйлера :
где положительные константы A x , A y и A z представляют амплитуды колебаний, а углы φ x , φ y и φ z представляют их фазы . Результирующая орбита r ( t ) = [ x ( t ), y ( y ), z ( t )] замкнута, поскольку она повторяется точно через один период
Система также устойчива, поскольку небольшие возмущения амплитуд и фаз вызывают соответственно небольшие изменения общей орбиты.
Ссылки
^ Бертран Дж (1873). «Теорема относительно движения точки наряда и фиксированного центра». ЧР акад. Наука . 77 : 849–853.
^ Джонсон, Портер Уир (2010-02-24). Классическая механика с приложениями. World Scientific. стр. 149–. ISBN9789814304153. Получено 2 декабря 2012 г.