В теории вероятностей и байесовской статистике распределение Левандовски -Куровицкой-Джо , часто называемое распределением LKJ , представляет собой распределение вероятностей по положительно определенным симметричным матрицам с единичными диагоналями. [1]
Распределение LKJ было впервые представлено в 2009 году в более общем контексте [2] Дэниелом Левандовски, Доротой Куровицкой и Гарри Джо. Это пример виноградной копулы , подхода к ограниченным распределениям вероятностей высокой размерности.
Распределение имеет один параметр формы , а функция плотности вероятности для матрицы имеет вид
с нормирующей константой , сложным выражением, включающим произведение по бета-функциям . Для распределение равномерно по пространству всех корреляционных матриц; т.е. по пространству положительно определенных матриц с единичной диагональю.
Распределение LKJ обычно используется в качестве априорного для корреляционной матрицы в байесовском иерархическом моделировании . Байесовское иерархическое моделирование часто пытается сделать вывод о ковариационной структуре данных, которая может быть разложена на масштабный вектор и корреляционную матрицу. [3] Вместо априорного распределения ковариационной матрицы, такого как обратное распределение Уишарта , распределение LKJ может служить априорным распределением для корреляционной матрицы вместе с некоторым подходящим априорным распределением для масштабного вектора. Оно было реализовано в нескольких вероятностных языках программирования , включая Stan и PyMC .
![{\displaystyle p(\mathbf {R};\eta)=C\times [\det(\mathbf {R})]^{\eta -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789875bdb13d8e410ffa6e3e515879a1de6d4e20)
![{\displaystyle C=2^{\sum _{k=1}^{d}(2\eta -2+dk)(dk)}\prod _{k=1}^{d-1}\left[B\left(\eta +(dk-1)/2,\eta +(dk-1)/2\right)\right]^{dk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291a0f65e2e811840d404932a6b586bb4d622ef8)
