Распределение Чамперноуна

В статистике распределение Чамперноуна — это симметричное, непрерывное распределение вероятностей , описывающее случайные величины , которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Это обобщение логистического распределения , введенного Д. Г. Чамперноуном . ^{[1] [2] [3]} Чамперноун разработал распределение для описания логарифма дохода. ^[2]

Определение

Распределение Чамперноуна имеет функцию плотности вероятности, заданную как

${\displaystyle f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0})={\frac {n}{\cosh[\alpha (y-y_{0})]+\lambda }},\qquad -\infty <y<\infty ,}$

где положительные параметры, а n — нормирующая константа, которая зависит от параметров. Плотность можно переписать как ${\displaystyle \alpha ,\lambda ,y_{0}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {n}{{\tfrac {1}{2}}e^{\alpha (y-y_{0})}+\lambda +{\tfrac {1}{2}}e^{-\alpha (y-y_{0})}}},}$

используя тот факт, что ${\displaystyle \cosh x={\tfrac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x}).}$

Характеристики

Плотность f ( y ) определяет симметричное распределение с медианой y ₀ , которое имеет хвосты несколько тяжелее, чем у нормального распределения.

Особые случаи

В частном случае ( ) это распределение гиперболического секанса . ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {\pi }{2}},y_{0}=0}$

В частном случае это плотность Burr Type XII . ${\displaystyle \lambda =1}$

Когда , ${\displaystyle y_{0}=0,\alpha =1,\lambda =1}$

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{e^{y}+2+e^{-y}}}={\frac {e^{y}}{(1+e^{y})^{2}}},}$

что является плотностью стандартного логистического распределения .

Распределение доходов

Если распределение Y , логарифма дохода, имеет распределение Чамперноуна, то функция плотности дохода X  = exp( Y ) равна ^[1]

${\displaystyle f(x)={\frac {n}{x[1/2(x/x_{0})^{-\alpha }+\lambda +a/2(x/x_{0})^{\alpha }]}},\qquad x>0,}$

где x ₀ = exp( y ₀ ) — медианный доход. Если λ = 1, это распределение часто называют распределением Фиска , ^[4] которое имеет плотность

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{x_{0}^{\alpha }[1+(x/x_{0})^{\alpha }]^{2}}},\qquad x>0.}$

Смотрите также

• Обобщенное логистическое распределение

Ссылки

1. C. Kleiber и S. Kotz (2003). Статистические распределения размеров в экономике и актуарных науках . Нью-Йорк: Wiley.Раздел 7.3 «Распределение в Чамперноуне».
2. Champernowne, DG (1952). «Градуировка распределения доходов». Econometrica . 20 (4): 591–614. doi :10.2307/1907644. JSTOR  1907644.
3. Чамперноун, Д. Г. (1953). «Модель распределения доходов». The Economic Journal . 63 (250): 318–351. doi :10.2307/2227127. JSTOR  2227127.
4. Фиск, PR (1961). «Градуировка распределения доходов». Econometrica . 29 (2): 171–185. doi :10.2307/1909287. JSTOR  1909287.