Распределение квазивероятности

Понятие в статистике

Распределение квазивероятности — это математический объект, похожий на распределение вероятностей , но который ослабляет некоторые аксиомы теории вероятностей Колмогорова . Распределения квазивероятности естественным образом возникают при изучении квантовой механики , когда рассматриваются в формулировке фазового пространства , обычно используемой в квантовой оптике , частотно-временном анализе , ^[1] и в других местах.

Квазивероятности разделяют несколько общих черт с обычными вероятностями, такими как, что особенно важно, способность давать ожидаемые значения относительно весов распределения . Однако они могут нарушать аксиому σ -аддитивности : интегрирование по ним не обязательно даёт вероятности взаимоисключающих состояний. Распределения квазивероятностей также имеют области отрицательной плотности вероятности , что противоречит интуиции, противореча первой аксиоме .

Введение

В самом общем виде динамика квантово-механической системы определяется основным уравнением в гильбертовом пространстве : уравнением движения для оператора плотности (обычно записываемого ) системы. Оператор плотности определяется относительно полного ортонормированного базиса . Хотя можно напрямую интегрировать это уравнение для очень малых систем (т. е. систем с небольшим количеством частиц или степеней свободы), это быстро становится неразрешимым для больших систем. Однако можно доказать ^[2] , что оператор плотности всегда можно записать в диагональной форме, при условии, что он относится к сверхполному базису. Когда оператор плотности представлен в таком сверхполном базисе, то его можно записать способом, более напоминающим обычную функцию, за счет того, что функция имеет черты распределения квазивероятности. Эволюция системы тогда полностью определяется эволюцией функции распределения квазивероятности. ${\displaystyle {\widehat {\rho }}}$

Когерентные состояния , т.е. правые собственные состояния оператора уничтожения, служат сверхполным базисом в описанной выше конструкции. По определению, когерентные состояния обладают следующим свойством: ${\displaystyle {\widehat {a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {a}}|\alpha \rangle &=\alpha |\alpha \rangle \\\langle \alpha |{\widehat {a}}^{\dagger }&=\langle \alpha |\alpha ^{*}.\end{aligned}}}$

Они также имеют некоторые дополнительные интересные свойства. Например, никакие два когерентных состояния не являются ортогональными. Фактически, если | α〉 и | β〉 являются парой когерентных состояний, то

${\displaystyle \langle \beta \mid \alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta ).}$

Обратите внимание, что эти состояния, однако, правильно нормализованы с 〈α  |  α〉 = 1. Ввиду полноты базиса состояний Фока , выбор базиса когерентных состояний должен быть сверхполным. ^[3] Щелкните, чтобы показать неформальное доказательство.

Однако в базисе когерентных состояний всегда можно ^[2] выразить оператор плотности в диагональной форме

${\displaystyle {\widehat {\rho }}=\int f(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha }$

где f — представление распределения фазового пространства. Эта функция f считается плотностью квазивероятности, поскольку она обладает следующими свойствами:

• ${\displaystyle \int f(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha =\operatorname {tr} ({\widehat {\rho }})=1}$(нормализация)
• Если — оператор, который можно выразить в виде степенного ряда операторов создания и уничтожения в упорядочении Ω, то его математическое ожидание равно ${\displaystyle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })}$

${\displaystyle \langle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })\rangle =\int f(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d\alpha \,d\alpha ^{*}}$( теорема оптической эквивалентности ).

Существует семейство различных представлений, каждое из которых связано с различным порядком Ω. Наиболее популярным в общей физической литературе и исторически первым из них является распределение квазивероятности Вигнера ^[4] , которое связано с симметричным упорядочением операторов. В частности, в квантовой оптике часто интересующие операторы, особенно оператор числа частиц , естественным образом выражаются в нормальном порядке . В этом случае соответствующим представлением распределения фазового пространства является представление Глаубера–Сударшана P . ^[5] Квазивероятностная природа этих распределений фазового пространства лучше всего понимается в представлении P из-за следующего ключевого утверждения: ^[6]

Если квантовая система имеет классический аналог, например, когерентное состояние или тепловое излучение , то P неотрицательно везде, как обычное распределение вероятностей. Если же квантовая система не имеет классического аналога, например, некогерентного фоковского состояния или запутанной системы , то P где-то отрицательно или более сингулярно, чем дельта-функция .

Это всеобъемлющее утверждение не работает в других представлениях. Например, функция Вигнера состояния ЭПР положительно определена, но не имеет классического аналога. ^{[7] [8]}

В дополнение к представлениям, определенным выше, существует много других распределений квазивероятности, которые возникают в альтернативных представлениях распределения фазового пространства. Другим популярным представлением является представление Husimi Q ^[9] , которое полезно, когда операторы находятся в антинормальном порядке. Совсем недавно положительное представление P и более широкий класс обобщенных представлений P использовались для решения сложных задач в квантовой оптике. Все они эквивалентны и взаимопревращаемы друг в друга, а именно: функция распределения классов Коэна .

Характерные функции

Аналогично теории вероятностей, квантовые квазивероятностные распределения могут быть записаны в терминах характеристических функций , из которых могут быть выведены все операторные ожидаемые значения. Характеристические функции для распределений Вигнера, Глаубера P и Q N -модовой системы следующие:

• ${\displaystyle \chi _{W}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}+i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})}$
• ${\displaystyle \chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})}$
• ${\displaystyle \chi _{Q}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}}e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})}$

Здесь и — векторы, содержащие операторы уничтожения и создания для каждого режима системы. Эти характеристические функции могут быть использованы для прямой оценки ожидаемых значений операторных моментов. Порядок операторов уничтожения и создания в этих моментах специфичен для конкретной характеристической функции. Например, нормально упорядоченные (операторы создания предшествуют операторам уничтожения) моменты могут быть оценены следующим образом из : ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {a} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \chi _{P}\,}$

${\displaystyle \langle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger m}{\widehat {a}}_{k}^{n}\rangle ={\frac {\partial ^{m+n}}{\partial (iz_{j}^{*})^{m}\partial (iz_{k})^{n}}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}){\Big |}_{\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{*}=0}}$

Аналогичным образом, ожидаемые значения антинормально упорядоченных и симметрично упорядоченных комбинаций операторов уничтожения и рождения могут быть оценены из характеристических функций для распределений Q и Вигнера соответственно. Сами функции квазивероятности определяются как преобразования Фурье вышеуказанных характеристических функций. То есть,

${\displaystyle \{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2N}}}\int \chi _{\{W\mid P\mid Q\}}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})e^{-i\mathbf {z} ^{*}\cdot \mathbf {\alpha } ^{*}}e^{-i\mathbf {z} \cdot \mathbf {\alpha } }\,d^{2N}\mathbf {z} .}$

Здесь и могут быть идентифицированы как амплитуды когерентного состояния в случае распределений Глаубера P и Q, но просто как c-числа для функции Вигнера. Поскольку дифференциация в нормальном пространстве становится умножением в пространстве Фурье, моменты можно вычислить из этих функций следующим образом: ${\displaystyle \alpha _{j}\,}$ ${\displaystyle \alpha _{k}^{*}}$

• ${\displaystyle \langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n}\rangle =\int P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{n}\alpha _{k}^{*m}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }$
• ${\displaystyle \langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{\dagger n}\rangle =\int Q(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }$
• ${\displaystyle \langle ({\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n})_{S}\rangle =\int W(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }$

Здесь обозначает симметричный порядок. ${\displaystyle (\cdots )_{S}}$

Все эти представления взаимосвязаны посредством свертки с помощью функций Гаусса , преобразований Вейерштрасса ,

• ${\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta }$
• ${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta }$

или, используя свойство ассоциативности свертки ,

• ${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ~.}$

Из этого следует, что

• ${\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int Q(\beta ,\beta ^{*})e^{|\lambda |^{2}+\lambda ^{*}(\alpha -\beta )-\lambda (\alpha -\beta )^{*}}\,d^{2}\beta ~d^{2}\lambda ,}$

часто расходящийся интеграл, указывающий, что P часто является распределением. Q всегда шире P для той же матрицы плотности. ^[10]

Например, для теплового состояния

${\displaystyle {\hat {\rho }}={\frac {1}{{\bar {n}}+1}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\bar {n}}{1+{\bar {n}}}}\right)^{n}|n\rangle \langle n|~~,}$

один имеет

${\displaystyle P(\alpha )={\frac {1}{\pi {\bar {n}}}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{\bar {n}}}},\qquad Q(\alpha )={\frac {1}{\pi (1+{\bar {n}})}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{1+{\bar {n}}}}}~~~.}$

Эволюция во времени и соответствие операторов

Поскольку каждое из приведенных выше преобразований из ρ в функции распределения является линейным , уравнение движения для каждого распределения может быть получено путем выполнения тех же преобразований в . Кроме того, поскольку любое основное уравнение , которое может быть выражено в форме Линдблада, полностью описывается действием комбинаций операторов уничтожения и рождения на оператор плотности, полезно рассмотреть влияние таких операций на каждую из функций квазивероятности. ^{[11] [12]} ${\displaystyle {\dot {\rho }}}$

Например, рассмотрим оператор уничтожения, действующий на ρ . Для характеристической функции распределения P имеем ${\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\,}$

${\displaystyle \operatorname {tr} ({\widehat {a}}_{j}\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})={\frac {\partial }{\partial (iz_{j})}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}).}$

Применяя преобразование Фурье относительно для нахождения действия, соответствующего действию на функцию Глаубера P, находим ${\displaystyle \mathbf {z} \,}$

${\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \alpha _{j}P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*}).}$

Следуя этой процедуре для каждого из вышеуказанных распределений, можно определить следующие операторные соответствия :

• ${\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}$
• ${\displaystyle \rho {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}$
• ${\displaystyle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}$
• ${\displaystyle \rho {\widehat {a}}_{j}\rightarrow \left(\alpha _{j}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}$

Здесь κ = 0, 1/2 или 1 для распределений P, Вигнера и Q соответственно. Таким образом, основные уравнения могут быть выражены как уравнения движения квазивероятностных функций.

Примеры

Когерентное состояние

По построению P для когерентного состояния — это просто дельта-функция: ${\displaystyle |\alpha _{0}\rangle }$

${\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})=\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0}).}$

Представления Вигнера и Q немедленно следуют из приведенных выше формул свертки Гаусса:

${\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}}$

${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}.}$

Представление Хусими можно также найти, используя приведенную выше формулу для внутреннего произведения двух когерентных состояний:

${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle \alpha _{0}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}}$

Фок государство

P - представление состояния Фока : ${\displaystyle |n\rangle }$

${\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{*n}\,\partial \alpha ^{n}}}\delta ^{2}(\alpha ).}$

Поскольку для n>0 это более сингулярно, чем дельта-функция, состояние Фока не имеет классического аналога. Неклассичность становится менее прозрачной по мере продвижения с гауссовыми свертками. Если L _n — это n-й полином Лагерра , W — это

${\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*})=(-1)^{n}{\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha |^{2}}L_{n}\left(4|\alpha |^{2}\right)~,}$

который может быть отрицательным, но ограничен.

Q , напротив, всегда остается положительным и ограниченным,

${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi n!}}|\langle 0|{\widehat {a}}^{n}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {|\alpha |^{2n}}{\pi n!}}|\langle 0|\alpha \rangle |^{2}~.}$

Затухающий квантовый гармонический осциллятор

Рассмотрим затухающий квантовый гармонический осциллятор со следующим основным уравнением:

${\displaystyle {\frac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}=i\omega _{0}[{\widehat {\rho }},{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}]+{\frac {\gamma }{2}}(2{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-\rho {\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}})+\gamma \langle n\rangle ({\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }).}$

Это приводит к уравнению Фоккера–Планка ,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)=\left[({\frac {\gamma }{2}}+i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha }}\alpha +({\frac {\gamma }{2}}-i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha ^{*}}}\alpha ^{*}+\gamma (\langle n\rangle +\kappa ){\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \,\partial \alpha ^{*}}}\right]\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t),}$

где κ  = 0, 1/2, 1 для представлений P , W и Q соответственно.

Если система изначально находится в когерентном состоянии , то это уравнение имеет решение ${\displaystyle |\alpha _{0}\rangle }$

${\displaystyle \{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)={\frac {1}{\pi \left[\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-\gamma t}\right)\right]}}\exp {\left(-{\frac {\left|\alpha -\alpha _{0}e^{-({\frac {\gamma }{2}}+i\omega _{0})t}\right|^{2}}{\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-\gamma t}\right)}}\right)}~~.}$

Смотрите также

• пространство Крейна

Ссылки

1. Л. Коэн (1995), Частотно-временной анализ: теория и приложения , Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN  0-13-594532-1
2. Sudarshan, ECG (1963-04-01). «Эквивалентность полуклассических и квантово-механических описаний статистических световых пучков». Physical Review Letters . 10 (7). Американское физическое общество (APS): 277–279. Bibcode : 1963PhRvL..10..277S. doi : 10.1103/physrevlett.10.277. ISSN  0031-9007.
3. Клаудер, Джон Р. (1960). «Вариант действия и квантование Фейнмана спинорных полей в терминах обычных c-чисел». Annals of Physics . 11 (2). Elsevier BV: 123–168. Bibcode : 1960AnPhy..11..123K. doi : 10.1016/0003-4916(60)90131-7. ISSN  0003-4916.
4. Вигнер, Э. (1932-06-01). «О квантовой поправке для термодинамического равновесия». Physical Review . 40 (5). Американское физическое общество (APS): 749–759. Bibcode : 1932PhRv...40..749W. doi : 10.1103/physrev.40.749. ISSN  0031-899X.
5. Глаубер, Рой Дж. (1963-09-15). «Когерентные и некогерентные состояния поля излучения». Physical Review . 131 (6). Американское физическое общество (APS): 2766–2788. Bibcode : 1963PhRv..131.2766G. doi : 10.1103/physrev.131.2766. ISSN  0031-899X.
6. Мандель, Л.; Вольф , Э. (1995), Оптическая когерентность и квантовая оптика , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-41711-2
7. Коэн, О. (1997-11-01). «Нелокальность исходного состояния Эйнштейна-Подольского-Розена». Physical Review A. 56 ( 5). Американское физическое общество (APS): 3484–3492. Bibcode : 1997PhRvA..56.3484C. doi : 10.1103/physreva.56.3484. ISSN  1050-2947.
8. Банашек, Конрад; Водкевич, Кшиштоф (1998-12-01). «Нелокальность состояния Эйнштейна-Подольского-Розена в представлении Вигнера». Physical Review A. 58 ( 6): 4345–4347. arXiv : quant-ph/9806069 . Bibcode : 1998PhRvA..58.4345B. doi : 10.1103/physreva.58.4345. ISSN  1050-2947. S2CID  119341663.
9. Хусими, Коди. Некоторые формальные свойства матрицы плотности . Труды физико-математического общества Японии. Т. 22. Математическое общество Японии. С. 264–314. doi : 10.11429/ppmsj1919.22.4_264 . ISSN  0370-1239.
10. Вольфганг Шляйх, Квантовая оптика в фазовом пространстве , (Wiley-VCH, 2001) ISBN 978-3527294350 
11. HJ Carmichael, Статистические методы в квантовой оптике I: основные уравнения и уравнения Фоккера–Планка , Springer-Verlag (2002).
12. CW Gardiner, Квантовый шум , Springer-Verlag (1991).