Распределение риса

Распределение вероятностей

В 2D-плоскости выберите фиксированную точку на расстоянии ν от начала координат. Сгенерируйте распределение 2D-точек, центрированных вокруг этой точки, где координаты x и y выбираются независимо из гауссовского распределения со стандартным отклонением σ (синяя область). Если R — расстояние от этих точек до начала координат, то R имеет распределение Райса.

В теории вероятностей распределение Райса или распределение Райса (или, реже, распределение Райса ) — это распределение вероятностей величины циркулярно-симметричной двумерной нормальной случайной величины , возможно, с ненулевым средним (нецентральное). Оно было названо в честь Стивена О. Райса (1907–1986).

Характеристика

Функция плотности вероятности имеет вид

${\displaystyle f(x\mid \nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right),}$

где I ₀ ( z ) — модифицированная функция Бесселя первого рода с нулевым порядком.

В контексте замирания Райса распределение часто также переписывается с использованием параметра формы , определяемого как отношение вклада мощности по пути прямой видимости к оставшимся многолучевым распространениям, и параметра масштаба , определяемого как общая мощность, полученная по всем путям. ^[1] ${\displaystyle K={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle \Omega =\nu ^{2}+2\sigma ^{2}}$

Характеристическая функция распределения Райса имеет вид: ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{X}(t\mid \nu ,\sigma )=\exp \left(-{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)&\left[\Psi _{2}\left(1;1,{\frac {1}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right.\\[8pt]&\left.{}+i{\sqrt {2}}\sigma t\Psi _{2}\left({\frac {3}{2}};1,{\frac {3}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

где — одна из конфлюэнтных гипергеометрических функций Хорна с двумя переменными, сходящихся для всех конечных значений и . Она задается как: ^{[4] [5]} ${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}},}$

где

${\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}$

это восходящий факториал .

Характеристики

Моменты

Вот первые несколько сырых моментов :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}^{'}&=\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})\\\mu _{2}^{'}&=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}\,\\\mu _{3}^{'}&=3\sigma ^{3}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{3/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})\\\mu _{4}^{'}&=8\sigma ^{4}+8\sigma ^{2}\nu ^{2}+\nu ^{4}\,\\\mu _{5}^{'}&=15\sigma ^{5}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{5/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})\\\mu _{6}^{'}&=48\sigma ^{6}+72\sigma ^{4}\nu ^{2}+18\sigma ^{2}\nu ^{4}+\nu ^{6}\end{aligned}}}$

и, в общем, сырые моменты задаются

${\displaystyle \mu _{k}^{'}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).\,}$

Здесь L _q ( x ) обозначает полином Лагерра :

${\displaystyle L_{q}(x)=L_{q}^{(0)}(x)=M(-q,1,x)=\,_{1}F_{1}(-q;1;x)}$

где — конфлюэнтная гипергеометрическая функция первого рода. Когда k четно, сырые моменты становятся простыми полиномами по σ и ν , как в примерах выше. ${\displaystyle M(a,b,z)=_{1}F_{1}(a;b;z)}$

Для случая q = 1/2:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1/2}(x)&=\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}};1;x\right)\\&=e^{x/2}\left[\left(1-x\right)I_{0}\left(-{\frac {x}{2}}\right)-xI_{1}\left(-{\frac {x}{2}}\right)\right].\end{aligned}}}$

Второй центральный момент , дисперсия , равен

${\displaystyle \mu _{2}=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-(\pi \sigma ^{2}/2)\,L_{1/2}^{2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).}$

Обратите внимание, что указывает на квадрат полинома Лагерра , а не на обобщенный полином Лагерра. ${\displaystyle L_{1/2}^{2}(\cdot )}$ ${\displaystyle L_{1/2}(\cdot )}$ ${\displaystyle L_{1/2}^{(2)}(\cdot ).}$

Связанные дистрибутивы

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(|\nu |,\sigma \right)}$если где и являются статистически независимыми нормальными случайными величинами, а — любое действительное число. ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ ${\displaystyle X\sim N\left(\nu \cos \theta ,\sigma ^{2}\right)}$ ${\displaystyle Y\sim N\left(\nu \sin \theta ,\sigma ^{2}\right)}$ ${\displaystyle \theta }$
• Другой случай, когда необходимо выполнить следующие шаги: ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$
  1. Сгенерировать, имея распределение Пуассона с параметром (также средним, для Пуассона) ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.}$
  2. Сгенерировать распределение хи -квадрат с 2 P + 2 степенями свободы. ${\displaystyle X}$
  3. Набор ${\displaystyle R=\sigma {\sqrt {X}}.}$
• Если то имеет нецентральное распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы и параметром нецентральности . ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle \nu ^{2}}$
• Если то имеет нецентральное хи-распределение с двумя степенями свободы и параметром нецентральности . ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \nu }$
• Если тогда , т.е. для частного случая распределения Райса, заданного выражением , распределение становится распределением Рэлея , для которого дисперсия равна . ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$ ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \mu _{2}={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
• Если то имеет экспоненциальное распределение . ^[6] ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$ ${\displaystyle R^{2}}$
• Если тогда имеет обратное райсовское распределение. ^[7] ${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$ ${\displaystyle 1/R}$
• Сложенное нормальное распределение является одномерным частным случаем распределения Райса.

Предельные случаи

При больших значениях аргумента полином Лагерра принимает вид ^[8]

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }L_{\nu }(x)={\frac {|x|^{\nu }}{\Gamma (1+\nu )}}.}$

Видно, что когда ν становится большим или σ становится маленьким, среднее значение становится ν , а дисперсия становится σ ² .

Переход к гауссовой аппроксимации происходит следующим образом. Из теории функций Бесселя имеем

${\displaystyle I_{\alpha }(z)\to {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+\cdots \right){\text{ as }}z\rightarrow \infty }$

Итак, в большой области асимптотическое разложение распределения Райса: ${\displaystyle x\nu /\sigma ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,\nu ,\sigma )={}&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)\\{\text{ is }}\\&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{2\pi x\nu }}}\exp \left({\frac {2x\nu }{2\sigma ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma ^{2}}{8x\nu }}+\cdots \right)\\\rightarrow {}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {x}{\nu }}},\;\;\;{\text{ as }}{\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\rightarrow \infty \end{aligned}}}$

Более того, когда плотность сосредоточена вокруг и из-за гауссовой экспоненты, мы также можем записать и в конечном итоге получить нормальное приближение ${\textstyle \nu }$ ${\textstyle |x-\nu |\ll \sigma }$ ${\textstyle {\sqrt {{x}/{\nu }}}\approx 1}$

${\displaystyle f(x,\nu ,\sigma )\approx {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),\;\;\;{\frac {\nu }{\sigma }}\gg 1}$

Приближение становится пригодным для использования ${\displaystyle {\frac {\nu }{\sigma }}>3}$

Оценка параметров (метод инверсии Коая)

Существует три различных метода оценки параметров распределения Райса: (1) метод моментов , ^{[9] [10] [11] [12]} (2) метод максимального правдоподобия , ^{[9] [10] [11] [13]} и (3) метод наименьших квадратов. ^{[ требуется ссылка ]} В первых двух методах интерес представляет оценка параметров распределения, ν и σ, по выборке данных. Это можно сделать с помощью метода моментов, например, выборочного среднего и выборочного стандартного отклонения. Выборочное среднее является оценкой μ ₁ ^' , а выборочное стандартное отклонение является оценкой μ ₂ ^1/2 .

Ниже приведен эффективный метод, известный как «метод инверсии Коая» ^[14] для решения оценочных уравнений , основанных на выборочном среднем и выборочном стандартном отклонении одновременно. Этот метод инверсии также известен как формула фиксированной точки SNR . Более ранние работы ^{[9] [15]} по методу моментов обычно использовали метод нахождения корня для решения задачи, что неэффективно.

Во-первых, отношение выборочного среднего к выборочному стандартному отклонению определяется как r , т.е. . Формула фиксированной точки SNR выражается как ${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$

${\displaystyle g(\theta )={\sqrt {\xi {(\theta )}\left[1+r^{2}\right]-2}},}$

где — отношение параметров, т.е. , и определяется по формуле: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ={\nu }/{\sigma }}$ ${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$

${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}=2+\theta ^{2}-{\frac {\pi }{8}}\exp {(-\theta ^{2}/2)}\left[(2+\theta ^{2})I_{0}(\theta ^{2}/4)+\theta ^{2}I_{1}(\theta ^{2}/4)\right]^{2},}$

где и — модифицированные функции Бесселя первого рода . ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle I_{1}}$

Обратите внимание, что является коэффициентом масштабирования и связан с соотношением: ${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle \mu _{2}=\xi {\left(\theta \right)}\sigma ^{2}.}$

Чтобы найти неподвижную точку, , из , выбирается начальное решение, , которое больше нижней границы, которая равна и возникает, когда ^[14] (обратите внимание, что это распределения Рэлея). Это обеспечивает отправную точку для итерации, которая использует функциональную композицию, ^{[ необходимо разъяснение ]} и это продолжается до тех пор, пока не станет меньше некоторого небольшого положительного значения. Здесь обозначает композицию той же функции, , раз. На практике мы связываем финал для некоторого целого числа как неподвижную точку, , т.е. . ${\displaystyle \theta ^{*}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\theta }_{0}}$ ${\displaystyle {\theta }_{\text{lower bound}}=0}$ ${\textstyle r={\sqrt {\pi /(4-\pi )}}}$ ${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$ ${\displaystyle \left|g^{i}\left(\theta _{0}\right)-\theta _{i-1}\right|}$ ${\displaystyle g^{i}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta ^{*}}$ ${\displaystyle \theta ^{*}=g\left(\theta ^{*}\right)}$

После нахождения фиксированной точки оценки и находятся с помощью функции масштабирования следующим образом: ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {\mu _{2}^{1/2}}{\sqrt {\xi \left(\theta ^{*}\right)}}},}$

и

${\displaystyle \nu ={\sqrt {\left(\mu _{1}^{'~2}+\left(\xi \left(\theta ^{*}\right)-2\right)\sigma ^{2}\right)}}.}$

Чтобы еще больше ускорить итерацию, можно использовать метод Ньютона для нахождения корня. ^[14] Этот конкретный подход весьма эффективен.

Приложения

• Евклидова норма двумерного кругово-симметричного нормально распределенного случайного вектора .
• Райсовское замирание (для многолучевой интерференции )
• Влияние ошибки прицеливания на стрельбу по мишеням. ^[16]
• Анализ разнесенных приемников в радиосвязи. ^{[17] [18]}
• Распределение эксцентриситетов для моделей внутренней части Солнечной системы после долгосрочного численного интегрирования . ^[19]

Смотрите также

• Распределение Хойта
• Распределение Рэлея

Ссылки

1. Абди, А. и Тепеделенлиоглу, К. и Кавех, М. и Джаннакис, Г., «Об оценке параметра K для распределения затухания Райса», IEEE Communications Letters , март 2001 г., стр. 92–94
2. Лю 2007 (в одной из конфлюэнтных гипергеометрических функций Хорна с двумя переменными).
3. Аннамалай 2000 (в сумме бесконечного ряда).
4. Эрдели 1953.
5. Шривастава 1985.
6. Ричардс, MA, Распределение риса для RCS, Технологический институт Джорджии (сентябрь 2006 г.)
7. Джонс, Джессика Л., Джойс Маклафлин и Дэниел Ренци. «Распределение шума в изображении скорости сдвиговой волны, вычисленное с использованием времени прибытия в фиксированных пространственных положениях», Обратные задачи 33.5 (2017): 055012.
8. Абрамовиц и Стигун (1968) §13.5.1
9. Талукдар и др. 1991
10. Bonny и др. 1996
11. Sijbers и др. 1998
12. ден Деккер и Сиджберс 2014
13. Варадараджан и Халдар 2015
14. Koay et al. 2006 (известная как формула SNR с фиксированной точкой).
15. Абди 2001
16. "Ballistipedia" . Получено 4 мая 2014 г.
17. Болье, Норман С.; Хемачандра, Касун (сентябрь 2011 г.). «Новые представления для двумерного райсова распределения». Труды IEEE по коммуникациям . 59 (11): 2951–2954. doi :10.1109/TCOMM.2011.092011.090171. S2CID  1221747.
18. Дхармаванса, Пратапасингхе; Раджатева, Нандана; Телламбура, Чинтананда (март 2009 г.). «Новое представление ряда для трехмерного нецентрального распределения хи-квадрат» (PDF) . Транзакции IEEE в области коммуникаций . 57 (3): 665–675. CiteSeerX 10.1.1.582.533 . дои :10.1109/TCOMM.2009.03.070083. S2CID  15706035. 
19. Laskar, J. (1 июля 2008 г.). «Хаотическая диффузия в Солнечной системе». Icarus . 196 (1): 1–15. arXiv : 0802.3371 . Bibcode :2008Icar..196....1L. doi :10.1016/j.icarus.2008.02.017. ISSN  0019-1035. S2CID  11586168.

Дальнейшее чтение

• Абрамовиц, М. и Стеган, И.А. (ред.), Справочник по математическим функциям , Национальное бюро стандартов, 1964; перепечатано Dover Publications, 1965. ISBN 0-486-61272-4 
• Райс, С.О. , Математический анализ случайного шума. Bell System Technical Journal 24 (1945) 46–156.
• I. Soltani Bozchalooi; Ming Liang (20 ноября 2007 г.). «Подход к выбору параметров вейвлета при шумоподавлении и обнаружении неисправностей на основе индекса гладкости». Journal of Sound and Vibration . 308 (1–2): 253–254. Bibcode :2007JSV...308..246B. doi :10.1016/j.jsv.2007.07.038.
• Ван, Донг; Чжоу, Цян; Цуй, Квок-Леунг (2017). «О распределении модуля коэффициентов вейвлета Габора и верхней границе безразмерного индекса гладкости в случае аддитивных гауссовых шумов: пересмотр». Журнал звука и вибрации . 395 : 393–400. doi :10.1016/j.jsv.2017.02.013.
• Лю, С. и Ханзо, Л., Унифицированный точный анализ производительности BER асинхронных систем DS-CDMA с использованием модуляции BPSK по каналам с замиранием, IEEE Transactions on Wireless Communications, том 6, выпуск 10, октябрь 2007 г., стр. 3504–3509.
• Аннамалай, А., Телламбура, К. и Бхаргава, В.К., Характеристики приемника с равным усилением и разнесением в беспроводных каналах, Труды IEEE по коммуникациям, том 48, октябрь 2000 г., стр. 1732–1745.
• Эрдели, А., Магнус, В., Оберхеттингер, Ф. и Трикоми, Ф.Г., Высшие трансцендентные функции, том 1. Архивировано 11 августа 2011 г. в Wayback Machine McGraw-Hill Book Company Inc., 1953.
• Шривастава, Х. М. и Карлссон, П. В., Множественные гауссовские гипергеометрические ряды. Ellis Horwood Ltd., 1985.
• Sijbers J., den Dekker AJ, Scheunders P. и Van Dyck D., «Оценка максимального правдоподобия параметров распределения Райса» Архивировано 19 октября 2011 г. в Wayback Machine , IEEE Transactions on Medical Imaging, том 17, № 3, стр. 357–361, (1998)
• Варадараджан Д. и Халдар Дж. П., «Структура мажорирования-минимизации для райсовских и нецентральных изображений Хи-МРТ», Труды IEEE по медицинской визуализации, том 34, № 10, стр. 2191–2202, (2015)
• den Dekker, AJ; Sijbers, J (декабрь 2014 г.). «Распределение данных в магнитно-резонансных изображениях: обзор». Physica Medica . 30 (7): 725–741. doi :10.1016/j.ejmp.2014.05.002. PMID  25059432.
• Коай, К. Г. и Бассер, П. Дж., Аналитически точная схема коррекции для извлечения сигнала из шумных магнитных сигналов МР, Журнал магнитного резонанса, том 179, выпуск = 2, стр. 317–322, (2006)
• Абди, А., Тепеделенлиоглу, К., Кавех, М. и Джаннакис, Г. Об оценке параметра K для распределения затухания Райса, IEEE Communications Letters, том 5, номер 3, март 2001 г., стр. 92–94.
• Талукдар, КК; Лоуинг, Уильям Д. (март 1991 г.). «Оценка параметров распределения Райса». Журнал Акустического Общества Америки . 89 (3): 1193–1197. Bibcode : 1991ASAJ...89.1193T. doi : 10.1121/1.400532.
• Bonny, JM; Renou, JP; Zanca, M. (ноябрь 1996 г.). «Оптимальное измерение величины и фазы по данным МРТ». Журнал магнитного резонанса, серия B. 113 ( 2): 136–144. Bibcode : 1996JMRB..113..136B. doi : 10.1006/jmrb.1996.0166. PMID  8954899.

Внешние ссылки

• Код MATLAB для распределения Райса/Райса (PDF, среднее значение и дисперсия, а также генерация случайных выборок)