Гауссов пучок

В оптике гауссов пучок — это идеализированный пучок электромагнитного излучения , амплитудная огибающая которого в поперечной плоскости задается гауссовой функцией ; это также подразумевает гауссов профиль интенсивности (освещенности). Эта фундаментальная (или TEM ₀₀ ) поперечная гауссова мода описывает предполагаемый выход многих лазеров , поскольку такой пучок расходится меньше и может быть сфокусирован лучше, чем любой другой. Когда гауссов пучок перефокусируется идеальной линзой , создается новый гауссов пучок. Профили амплитуды электрического и магнитного поля вдоль кругового гауссова пучка заданной длины волны и поляризации определяются двумя параметрами: перетяжкой $w 0$ , которая является мерой ширины пучка в его самой узкой точке, и положением $z$ относительно перетяжки. ^[1]

Поскольку гауссова функция бесконечна по протяженности, идеальных гауссовых пучков в природе не существует, и края любого такого пучка будут обрезаны любой конечной линзой или зеркалом. Однако гауссова функция является полезным приближением к реальному пучку для случаев, когда линзы или зеркала в пучке значительно больше, чем размер пятна w ( z ) пучка

По сути, гауссово уравнение является решением аксиального уравнения Гельмгольца , волнового уравнения для электромагнитного поля. Хотя существуют и другие решения, гауссовы семейства решений полезны для задач, связанных с компактными пучками.

Математическая форма

Уравнения ниже предполагают пучок с круглым поперечным сечением при всех значениях $z$ ; это можно увидеть, заметив, что появляется один поперечный размер, $r$ . Пучки с эллиптическим поперечным сечением или с перетяжками в разных положениях по $z$ для двух поперечных размеров ( астигматические пучки) также можно описать как гауссовы пучки, но с разными значениями $w 0$ и положением $z = 0$ для двух поперечных размеров $x$ и $y$ .

Гауссов пучок представляет собой поперечную электромагнитную (TEM) моду . ^[2] Математическое выражение для амплитуды электрического поля является решением параксиального уравнения Гельмгольца . ^[1] Предполагая поляризацию в направлении $x$ и распространение в направлении $+ z$ , электрическое поле в векторной (комплексной) нотации определяется как:

${\mathbf {E} (r,z)}=E_{0}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\exp \left(\!-i\left(kz+k{\frac {r^{2}}{2R(z)}}-\psi (z)\right)\!\right)$

где ^[1]^[3]

$r$ — радиальное расстояние от центральной оси балки,
$z$ — осевое расстояние от фокуса луча (или «талии»),
$i$ — мнимая единица ,
$k = 2 πn / λ$ — волновое число (в радианах на метр) для длины волны $λ$ в свободном пространстве, а $n$ — показатель преломления среды, в которой распространяется луч,
$E 0 = E (0, 0)$ , амплитуда электрического поля в начале координат ( $r = 0$ , $z = 0$ ),
$w (z)$ — радиус, на котором амплитуды поля падают до $1/ e$ от их осевых значений (т.е. где значения интенсивности падают до $1/ e 2$ от их осевых значений) в плоскости $z$ вдоль пучка,
$w 0 = w (0)$ — радиус талии,
$R (z) — радиус кривизны$ волновых фронтов пучкав точке $z$ , а
$ψ (z) = arctan(z / z R)$ — фаза Гуи в точке $z$ , дополнительный фазовый член, выходящий за рамки того, что можно отнести к фазовой скорости света.

Физическое электрическое поле получается из амплитуды фазорного поля, приведенной выше, путем умножения действительной части амплитуды на временной фактор: где — угловая частота света, а $t$ — время. Временной фактор подразумевает произвольное соглашение о знаках , как обсуждалось в разделе Математические описания непрозрачности § Комплексно сопряженная неоднозначность . $\mathbf {E} _{\text{phys}}(r,z,t)=\operatorname {Re} (\mathbf {E} (r,z)\cdot e^{i\omega t}),$ ${\textstyle \омега}$

Поскольку это решение основано на параксиальном приближении, оно не является точным для очень сильно расходящихся пучков. Вышеуказанная форма верна в большинстве практических случаев, где $w 0 ≫ λ / n$ .

Соответствующее распределение интенсивности (или облученности ) определяется выражением

$I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w(z)^{2}}}\right),$

где константа $η$ — волновое сопротивление среды, в которой распространяется пучок. Для свободного пространства $η = η 0$ ≈ 377 Ω. $I 0 = | E 0 | 2 /2 η$ — интенсивность в центре пучка в его перетяжке.

Если $P 0$ — полная мощность пучка, $I_{0}={2P_{0} \over \pi w_{0}^{2}}.$

Изменение ширины луча

В точке $z$ вдоль луча (измеренной от фокуса) параметр размера пятна $w$ задается гиперболическим соотношением : ^[1] где ^[1] называется диапазоном Рэлея, как более подробно обсуждается ниже, а представляет собой показатель преломления среды. $w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}} },$ $z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}$ $n$

Радиус луча $w (z)$ в любой точке $z$ вдоль луча связан с полной шириной на половине максимума (FWHM) распределения интенсивности в этой точке согласно: ^[4] $w(z)={\frac {{\text{FWHM}}(z)}{\sqrt {2\ln 2}}}.$

Кривизна волнового фронта

Радиус кривизны волнового фронта наибольший по обе стороны от талии, пересекая нулевую кривизну (радиус = ∞) в самой талии. Скорость изменения кривизны волнового фронта наибольшая на расстоянии Рэлея, $z = \pm z R$ . За пределами расстояния Рэлея, $| z | > z R$ , она снова уменьшается по величине, приближаясь к нулю при $z \to \pm\infty$ . Кривизна часто выражается через ее обратную величину, $R$ , радиус кривизны ; для фундаментального гауссова пучка кривизна в положении $z$ определяется как:

${\frac {1}{R(z)}}={\frac {z}{z^{2}+z_ {\mathrm {R} }^{2}}},$

поэтому радиус кривизны $R (z)$ равен ^[1] Будучи величиной, обратной кривизне, радиус кривизны меняет знак и становится бесконечным в точке сужения балки, где кривизна проходит через ноль. $R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right].$

Эллиптические и астигматические лучи

Многие лазерные лучи имеют эллиптическое поперечное сечение. Также распространены лучи с положениями талии, которые различаются для двух поперечных измерений, называемые астигматическими лучами. С этими лучами можно работать, используя два приведенных выше уравнения эволюции, но с различными значениями каждого параметра для $x$ и $y$ и различными определениями точки $z = 0.$ Фаза Гуи — это единое значение, правильно рассчитанное путем суммирования вклада каждого измерения, с фазой Гуи в диапазоне $\pm π /4,$ вносимым каждым измерением.

Эллиптический пучок инвертирует свой коэффициент эллиптичности по мере распространения от дальнего поля к талии. Размер, который был больше вдали от талии, будет меньше вблизи талии.

Гауссово распределение как разложение на моды

Произвольные решения параксиального уравнения Гельмгольца могут быть разложены как сумма мод Эрмита–Гаусса (чьи амплитудные профили разделимы по $x$ и $y$ с использованием декартовых координат ), мод Лагерра–Гаусса (чьи амплитудные профили разделимы по $r$ и $θ$ с использованием цилиндрических координат ) или аналогично как комбинации мод Айнса–Гаусса (чьи амплитудные профили разделимы по $ξ$ и $η$ с использованием эллиптических координат ). ^[5]^[6]^[7] В любой точке вдоль луча $z$ эти моды включают тот же гауссов фактор, что и основная гауссова мода, умножающая дополнительные геометрические факторы для указанной моды. Однако разные моды распространяются с разной фазой Гуи, поэтому чистый поперечный профиль, обусловленный суперпозицией мод, эволюционирует по $z$ , тогда как распространение любой отдельной моды Эрмита–Гаусса (или Лагерра–Гаусса) сохраняет ту же форму вдоль пучка.

Хотя существуют и другие модальные разложения , гауссовы функции полезны для задач, связанных с компактными пучками, то есть, когда оптическая мощность довольно плотно ограничена вдоль оси. Даже когда лазер не работает в основной гауссовой моде, его мощность обычно будет найдена среди мод низшего порядка с использованием этих разложений, поскольку пространственная протяженность мод более высокого порядка будет иметь тенденцию превышать границы резонатора (резонатора) лазера . «Гауссов пучок» обычно подразумевает излучение, ограниченное основной (TEM ₀₀ ) гауссовой модой.

Параметры луча

Геометрическая зависимость полей гауссова пучка определяется длиной волны света $λ$ ( в диэлектрической среде, если не в свободном пространстве) и следующими параметрами пучка , все из которых связаны, как подробно описано в следующих разделах.

Талия луча

Ширина гауссовского пучка $w (z)$ как функция расстояния $z$ вдоль пучка, которая образует гиперболу . $w 0$ : перетяжка пучка; $b$ : глубина фокуса; $z R$ : диапазон Рэлея ; $Θ$ : полное угловое рассеяние

Форма гауссова пучка заданной длины волны $λ$ определяется только одним параметром — перетяжкой пучка $w 0$ . Это мера размера пучка в точке его фокуса ( $z = 0$ в приведенных выше уравнениях), где ширина пучка $w (z)$ (как определено выше) наименьшая (и аналогично, где интенсивность на оси ( $r = 0$ ) наибольшая). Из этого параметра определяются другие параметры, описывающие геометрию пучка. Сюда входят диапазон Рэлея $z R$ и асимптотическая расходимость пучка $θ$ , как подробно описано ниже.

Диапазон Рэлея и конфокальный параметр

Расстояние Рэлея или диапазон Рэлея $z R$ определяется с учетом размера талии гауссова пучка:

$z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}.$

Здесь $λ$ — длина волны света, $n$ — показатель преломления. На расстоянии от перетяжки, равном диапазону Рэлея $z R$ , ширина $w$ пучка на $\sqrt 2$ больше, чем в фокусе, где $w = w 0$ , перетяжке пучка. Это также означает, что интенсивность на оси ( $r = 0$ ) составляет половину пиковой интенсивности (при $z = 0$ ). Эта точка вдоль пучка также оказывается там, где кривизна волнового фронта ( $1/ R$ ) наибольшая. ^[1]

Расстояние между двумя точками $z = \pm z R$ называется конфокальным параметром или глубиной фокусировки луча. ^[8]

Расхождение пучка

Хотя хвосты гауссовой функции на самом деле никогда не достигают нуля, для целей последующего обсуждения «краем» пучка считается радиус, где $r = w (z)$ . Это то место, где интенсивность упала до $1/ e 2$ от ее осевого значения. Теперь, для $z ≫ z R$ параметр $w (z)$ линейно увеличивается с $z$ . Это означает, что вдали от перетяжки «край» пучка (в указанном выше смысле) имеет форму конуса. Угол между этим конусом (чей $r = w (z)$ ) и осью пучка ( $r = 0$ ) определяет расхождение пучка: $\theta =\lim _{z\to \infty }\arctan \left({\frac {w(z)}{z}}\right).$

В параксиальном случае, как мы рассматривали, $θ$ (в радианах) приблизительно равен ^[1] $\theta ={\frac {\lambda }{\pi nw_{0}}}$

где $n$ — показатель преломления среды, через которую распространяется луч, а $λ$ — длина волны в свободном пространстве. Полное угловое распространение расходящегося луча или угол при вершине описанного выше конуса затем определяется как $\Theta =2\theta \,.$

Этот конус содержит 86% общей мощности гауссова пучка.

Поскольку расхождение обратно пропорционально размеру пятна, для заданной длины волны $λ$ гауссов пучок, сфокусированный в маленькое пятно, быстро расходится по мере удаления от фокуса. И наоборот, чтобы минимизировать расхождение лазерного луча в дальнем поле (и увеличить его пиковую интенсивность на больших расстояниях), он должен иметь большое поперечное сечение ( $w 0$ ) в перетяжке (и, следовательно, большой диаметр в месте его запуска, поскольку $w (z)$ никогда не бывает меньше $w 0$ ). Эта связь между шириной луча и расхождением является фундаментальной характеристикой дифракции и преобразования Фурье , которое описывает дифракцию Фраунгофера . Пучок с любым заданным профилем амплитуды также подчиняется этой обратной зависимости, но фундаментальная гауссова мода является особым случаем, когда произведение размера луча в фокусе и расхождения в дальнем поле меньше, чем для любого другого случая.

Поскольку модель гауссовского пучка использует параксиальное приближение, она не работает, когда волновые фронты наклонены более чем на 30° от оси пучка. ^[9] Из приведенного выше выражения для расхождения следует, что модель гауссовского пучка точна только для пучков с перетяжками больше, чем примерно $2 λ / π$ .

Качество лазерного луча количественно определяется произведением параметров луча (BPP). Для гауссова луча BPP является произведением расходимости луча и размера талии $w 0$ . BPP реального луча получается путем измерения минимального диаметра луча и расходимости в дальней зоне и взятия их произведения. Отношение BPP реального луча к BPP идеального гауссова луча на той же длине волны известно как $M 2$ (« M в квадрате »). $M 2$ для гауссова луча равно единице. Все реальные лазерные лучи имеют значения $M 2$ больше единицы, хотя лучи очень высокого качества могут иметь значения, очень близкие к единице.

Числовая апертура гауссова пучка определяется как $NA = n sin θ$ , где $n$ — показатель преломления среды, через которую распространяется пучок. Это означает, что диапазон Рэлея связан с числовой апертурой соотношением $z_{\mathrm {R} }={\frac {nw_{0}}{\mathrm {NA} }}.$

фаза Гуи

Фаза Гуи — это фазовый сдвиг, который постепенно приобретается лучом вокруг фокальной области. В позиции $z$ фаза Гуи фундаментального гауссова пучка определяется как ^[1] $\psi (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right).$

Фаза Гуи приводит к увеличению кажущейся длины волны вблизи перетяжки ( $z \approx 0$ ). Таким образом, фазовая скорость в этой области формально превышает скорость света. Это парадоксальное поведение следует понимать как явление ближнего поля , где отклонение от фазовой скорости света (как это было бы применимо к плоской волне) очень мало, за исключением случая пучка с большой числовой апертурой , в котором кривизна волновых фронтов (см. предыдущий раздел) существенно изменяется на расстоянии одной длины волны. Во всех случаях волновое уравнение удовлетворяется в каждой позиции.

Знак фазы Гуи зависит от соглашения о знаках, выбранного для вектора электрического поля. ^[10] При зависимости $e iωt$ фаза Гуи изменяется от $- π /2$ до $+ π /2$ , тогда как при зависимости $e - iωt$ она изменяется от $+ π /2$ до $- π /2$ вдоль оси.

Для фундаментального гауссова пучка фаза Гуи приводит к чистому фазовому расхождению относительно скорости света, составляющему $π$ радиан (таким образом, к инверсии фазы) при движении от дальнего поля с одной стороны перетяжки к дальнему полю с другой стороны. Это изменение фазы не наблюдается в большинстве экспериментов. Однако оно имеет теоретическое значение и приобретает больший диапазон для гауссовых мод более высокого порядка. ^[10]

Мощность и интенсивность

Мощность через отверстие

При центрировании луча на апертуре мощность P $,$ проходящая через окружность радиуса $r$ в поперечной плоскости в положении $z,$ равна ^[11] , где — полная мощность, передаваемая лучом. $P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right],$ $P_{0}={\frac {1}{2}}\pi I_{0}w_{0}^{2}$

Для круга радиусом $r = w (z)$ доля мощности, передаваемой через круг, равна ${\frac {P(z)}{P_{0}}}=1-e^{-2}\approx 0.865.$

Аналогично, около 90% мощности луча будет проходить через окружность радиусом $r = 1,07 \times w (z)$ , 95% — через окружность радиусом $r = 1,224 \times w (z)$ и 99% — через окружность радиусом $r = 1,52 \times w (z)$ ^[11] .

Пиковая интенсивность

Пиковую интенсивность на осевом расстоянии $z$ от перетяжки пучка можно рассчитать как предел мощности, заключенной в круге радиусом $r$ , деленный на площадь круга $πr 2$ по мере уменьшения круга: $I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}.$

Предел можно оценить с помощью правила Лопиталя : $I(0,z)={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.$

Параметр комплексного пучка

Размер пятна и кривизна гауссова пучка как функции $z$ вдоль пучка также могут быть закодированы в комплексном параметре пучка $q (z)$ ^[12]^[13], определяемом как: $q(z)=z+iz_{\mathrm {R} }.$

Обратная величина $q (z)$ содержит кривизну волнового фронта и относительную интенсивность на оси в ее действительной и мнимой частях соответственно: ^[12]

${1 \over q(z)}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over n\pi w^{2}(z)}.$

Комплексный параметр пучка упрощает математический анализ распространения гауссова пучка, особенно при анализе полостей оптических резонаторов с использованием матриц переноса лучей .

Тогда, используя эту форму, предыдущее уравнение для электрического (или магнитного) поля значительно упрощается. Если мы назовем $u$ относительной напряженностью поля эллиптического гауссова пучка (с эллиптическими осями в направлениях $x$ и $y$ ), то его можно разделить по $x$ и $y$ согласно: $u(x,y,z)=u_{x}(x,z)\,u_{y}(y,z),$

где ${\begin{aligned}u_{x}(x,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right),\\u_{y}(y,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{y}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {y^{2}}{2{q}_{y}(z)}}\right),\end{aligned}}$

где $q x (z)$ и $q y (z)$ — комплексные параметры пучка в направлениях $x$ и $y$ .

Для общего случая круглого профиля балки q $x (z) = q y (z) = q (z)$ и $x 2 + y 2 = r 2$ , что дает ^[14] $u(r,z)={\frac {1}{q(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2q(z)}}\right).$

Лучевая оптика

Когда гауссовский пучок распространяется через тонкую линзу , выходящий пучок также является (другим) гауссовым пучком, при условии, что пучок проходит вдоль цилиндрической оси симметрии линзы, и что линза больше ширины пучка. Фокусное расстояние линзы , радиус перетяжки пучка и положение перетяжки входящего пучка можно использовать для определения радиуса перетяжки пучка и положения выходящего пучка. $f$ $w_{0}$ $z_{0}$ $w_{0}'$ $z_{0}'$

Уравнение линзы

Как вывели Салех и Тейх, соотношение между входящим и исходящим лучами можно найти, рассмотрев фазу , которая добавляется к каждой точке гауссова луча по мере его прохождения через линзу. ^[15] Альтернативный подход, предложенный Селфом, заключается в рассмотрении влияния тонкой линзы на волновые фронты гауссова луча . ^[16] $(x,y)$

Точное решение вышеуказанной проблемы выражается просто в терминах увеличения $M$

{\begin{aligned}w_{0}'&=Mw_{0}\\[1.2ex](z_{0}'-f)&=M^{2}(z_{0}-f).\end{aligned}}

Увеличение, зависящее от и , определяется выражением $w_{0}$ $z_{0}$

M={\frac {M_{r}}{\sqrt {1+r^{2}}}}

где

r={\frac {z_{R}}{z_{0}-f}},\quad M_{r}=\left|{\frac {f}{z_{0}-f}}\right|.

Эквивалентное выражение для положения луча : $z_{0}'$

{\frac {1}{z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{(z_{0}-f)}}}}+{\frac {1}{z_{0}'}}={\frac {1}{f}}.

Последнее выражение ясно показывает, что уравнение тонкой линзы лучевой оптики восстанавливается в пределе, когда . Можно также отметить, что если тогда входящий луч «хорошо коллимирован», так что . $\left|\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}}}\right)\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}-f}}\right)\right|\ll 1$ $\left|z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{z_{0}-f}}\right|\gg f$ $z_{0}'\approx f$

Фокусировка луча

В некоторых приложениях желательно использовать собирательную линзу для фокусировки лазерного луча в очень маленькое пятно. Математически это подразумевает минимизацию увеличения . Если размер луча ограничен размером доступной оптики, это обычно лучше всего достигается путем отправки максимально возможного коллимированного луча через линзу с малым фокусным расстоянием, т. е. путем максимизации и минимизации . В этой ситуации оправданно сделать приближение , подразумевая, что и получая результат . Этот результат часто представляется в виде $M$ $z_{R}$ $f$ $z_{R}^{2}/(z_{0}-f)^{2}\gg 1$ $M\approx f/z_{R}$ $w_{0}'\approx fw_{0}/z_{R}$

{\begin{aligned}2w_{0}'&\approx {\frac {4}{\pi }}\lambda F_{\#}\\[1.2ex]z_{0}'&\approx f\end{aligned}}

где

F_{\#}={\frac {f}{2w_{0}}},

который находится после предположения, что среда имеет показатель преломления и подстановки . Множители 2 вводятся из-за общего предпочтения представлять размер пучка диаметрами перетяжки пучка и , а не радиусами перетяжки и . $n\approx 1$ $z_{R}=\pi w_{0}^{2}/\lambda$ $2w_{0}'$ $2w_{0}$ $w_{0}'$ $w_{0}$

Волновое уравнение

Как частный случай электромагнитного излучения , гауссовы пучки (и гауссовы моды более высокого порядка, подробно описанные ниже) являются решениями волнового уравнения для электромагнитного поля в свободном пространстве или в однородной диэлектрической среде ^[17], полученными путем объединения уравнений Максвелла для ротора $E$ и ротора $H$ , что приводит к: где $c$ - скорость света в среде , а $U$ может относиться либо к вектору электрического, либо к вектору магнитного поля, поскольку любое конкретное решение для одного из них определяет другое. Решение гауссова пучка справедливо только в параксиальном приближении, то есть когда распространение волны ограничено направлениями в пределах малого угла оси. Без потери общности давайте примем это направление за направление $+$ $z$ , и в этом случае решение $U$ в общем случае может быть записано в терминах $u$ , которое не зависит от времени и относительно плавно изменяется в пространстве, при этом основное изменение пространственно соответствует волновому числу $k$ в направлении $z$ : ^[17] $\nabla ^{2}U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}},$ $U(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{-i(kz-\omega t)}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,.$

Используя эту форму вместе с параксиальным приближением, можно тогда по существу пренебречь $\partial 2 u /\partial z 2.$ $Поскольку решения уравнения электромагнитной волны справедливы только для поляризаций, ортогональных направлению распространения ( z$ ), мы без потери общности считали, что поляризация находится в направлении $x$ , так что теперь мы решаем скалярное уравнение для $u (x, y, z)$ .

Подстановка этого решения в волновое уравнение выше дает параксиальное приближение к скалярному волновому уравнению: ^[17] Запись волновых уравнений в координатах светового конуса возвращает это уравнение без использования какого-либо приближения. ^[18] Гауссовы пучки любой перетяжки пучка $w$ $0$ удовлетворяют параксиальному приближению к скалярному волновому уравнению; это проще всего проверить, выразив волну в $z$ через комплексный параметр пучка $q$ $($ $z$ $),$ как определено выше. Существует много других решений. Как решения линейной системы , любая комбинация решений (использующая сложение или умножение на константу) также является решением. Фундаментальное гауссово оказывается тем, которое минимизирует произведение минимального размера пятна и расходимости в дальней зоне, как отмечено выше. При поиске параксиальных решений, и в частности тех, которые описывали бы лазерное излучение, которое не находится в фундаментальной гауссовой моде, мы будем искать семейства решений с постепенно увеличивающимися произведениями их расходимостей и минимальных размеров пятна. Два важных ортогональных разложения такого рода — это моды Эрмита–Гаусса или Лагерра–Гаусса, соответствующие прямоугольной и круговой симметрии соответственно, как подробно описано в следующем разделе. В обоих случаях фундаментальный гауссов пучок, который мы рассматривали, является модой низшего порядка. ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}.$

Моды более высокого порядка

Эрмит-Гауссовы моды

Можно разложить когерентный параксиальный пучок, используя ортогональный набор так называемых мод Эрмита-Гаусса , любой из которых задается произведением множителя по $x$ и множителя по $y$ . Такое решение возможно из-за разделимости по $x$ и $y$ в параксиальном уравнении Гельмгольца , записанном в декартовых координатах . ^[19] Таким образом, учитывая моду порядка $(l, m),$ относящуюся к направлениям $x$ и $y$ , амплитуда электрического поля в точках $x, y, z$ может быть задана как: где множители для зависимости от $x$ и $y$ каждый задаются как: где мы использовали комплексный параметр пучка $q$ $($ $z$ $)$ (как определено выше) для пучка с перетяжкой $w$ $0$ в точке $z$ от фокуса. В этой форме первый множитель является просто нормализующей константой, чтобы сделать набор $u$ $J$ ортонормальным . Второй фактор — это дополнительная нормализация, зависящая от $z$ , которая компенсирует расширение пространственной протяженности моды в соответствии с $w$ $($ $z$ $)/$ $w$ $0$ (из-за последних двух факторов). Он также содержит часть фазы Гуи. Третий фактор — это чистая фаза, которая усиливает сдвиг фазы Гуи для более высоких порядков $J$ . $E(x,y,z)=u_{l}(x,z)\,u_{m}(y,z)\,\exp(-ikz),$ $u_{J}(x,z)=\left({\frac {\sqrt {2/\pi }}{2^{J}\,J!\;w_{0}}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left(-{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right)^{\!\!J/2}\!\!H_{J}\!\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\,\exp \left(\!-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right),$

Последние два фактора учитывают пространственное изменение по $x$ (или $y$ ). Четвертый фактор — это полином Эрмита порядка $J$ («физическая форма», т. е. $H 1 (x) = 2 x$ ), а пятый учитывает гауссово спадение амплитуды $exp(- x 2 / w (z) 2)$ , хотя это не очевидно при использовании комплексного $q$ в показателе степени. Разложение этой экспоненты также дает фазовый множитель по $x$ , который учитывает кривизну волнового фронта ( $1/ R (z)$ ) в $z$ вдоль луча.

Эрмитово-гауссовы моды обычно обозначаются как "TEM _lm "; фундаментальный гауссов пучок может, таким образом, называться TEM ₀₀ (где TEM - поперечный электромагнитный ). Умножая $u l (x, z)$ и $u m (y, z),$ чтобы получить профиль моды 2-D, и удаляя нормализацию, так что ведущий фактор просто называется $E 0$ , мы можем записать моду $(l, m)$ в более доступной форме:

${\begin{aligned}E_{l,m}(x,y,z)={}&E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\,H_{l}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{w(z)}}{\Bigg )}\,H_{m}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,y}{w(z)}}{\Bigg )}\times {}\\&\exp \left({-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w^{2}(z)}}}\right)\exp \left({-i{\frac {k(x^{2}+y^{2})}{2R(z)}}}\right)\times {}\\&\exp {\big (}i\psi (z){\big )}\exp(-ikz).\end{aligned}}$

В этой форме параметр $w 0$ , как и прежде, определяет семейство мод, в частности масштабируя пространственную протяженность талии фундаментальной моды и всех других моделей мод при $z = 0$ . Учитывая, что $w 0$ , $w (z)$ и $R (z)$ имеют те же определения, что и для фундаментального гауссова пучка, описанного выше. Можно видеть, что при $l = m = 0$ мы получаем фундаментальный гауссов пучок, описанный ранее (так как $H 0 = 1$ ). Единственное конкретное различие в профилях $x$ и $y$ при любом $z$ обусловлено множителями полинома Эрмита для порядковых номеров $l$ и $m$ . Однако есть изменение в эволюции фазы Гуи мод по $z$ : $\psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),$

где объединенный порядок моды $N$ определяется как $N = l + m$ . В то время как сдвиг фазы Гуи для основной (0,0) гауссовой моды изменяется только на $\pm π /2$ радиан по всем $z$ (и только на $\pm π /4$ радиан между $\pm z R$ ), он увеличивается на коэффициент $N + 1$ для мод более высокого порядка. ^[10]

Эрмитово-гауссовские моды с их прямоугольной симметрией особенно подходят для модального анализа излучения лазеров, конструкция резонатора которых асимметрична в прямоугольной форме. С другой стороны, лазеры и системы с круговой симметрией могут лучше обрабатываться с использованием набора мод Лагерра-Гаусса, представленных в следующем разделе.

Режимы Лагерра-Гаусса

Профили пучка, которые являются кругово-симметричными (или лазеры с цилиндрически-симметричными полостями), часто лучше всего решаются с использованием модального разложения Лагерра-Гаусса. ^[6] Эти функции записываются в цилиндрических координатах с использованием обобщенных полиномов Лагерра . Каждая поперечная мода снова помечается с использованием двух целых чисел, в данном случае радиального индекса $p \geq 0$ и азимутального индекса $l,$ который может быть положительным или отрицательным (или нулевым): ^[20]^[21]

Пучок Лагерра-Гаусса с l=1 и p=0

${\begin{aligned}u(r,\phi ,z)={}&C_{lp}^{LG}{\frac {1}{w(z)}}\left({\frac {r{\sqrt {2}}}{w(z)}}\right)^{\!|l|}\exp \!\left(\!-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)L_{p}^{|l|}\!\left({\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\times {}\\&\exp \!\left(\!-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\exp(-il\phi )\,\exp(i\psi (z)),\end{aligned}}$

где $L p l$ — обобщенные полиномы Лагерра . $C LG лп$ — требуемая константа нормировки: ^[22] . $C_{lp}^{LG}={\sqrt {\frac {2p!}{\pi (p+|l|)!}}}\Rightarrow \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\infty }dr\;r\,|u(r,\phi ,z)|^{2}=1,$

$w (z)$ и $R (z)$ имеют те же определения, что и выше. Как и в случае с модами Эрмита-Гаусса более высокого порядка, величина сдвига фазы Гуи мод Лагерра-Гаусса преувеличена на фактор $N + 1$ : где в этом случае объединенный номер моды $N$ $= |$ $l$ $| + 2$ $p$ . Как и прежде, поперечные изменения амплитуды содержатся в последних двух факторах в верхней строке уравнения, которое снова включает в себя базовый гауссовский спад в $r,$ но теперь умноженный на полином Лагерра. Влияниеномера моды $l$ , в дополнение к влиянию на полином Лагерра, в основном содержится в фазовом факторе exp $(-$ $ilφ$ $)$ , в котором профиль пучка опережается (или задерживается) на $l$ полных $2$ $π$ фаз за один оборот вокруг пучка (по $φ$ ). Это пример оптического вихря топологического заряда $l$ , который может быть связан с орбитальным угловым моментом света в этой моде. $\psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),$

Моды Айнса-Гаусса

В эллиптических координатах можно записать моды более высокого порядка, используя полиномы Инса . Четные и нечетные моды Инса-Гаусса задаются как ^[7]

$u_{\varepsilon }\left(\xi ,\eta ,z\right)={\frac {w_{0}}{w\left(z\right)}}\mathrm {C} _{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left[-ik{\frac {r^{2}}{2q\left(z\right)}}-\left(p+1\right)\zeta \left(z\right)\right],$ где $ξ$ и $η$ — радиальные и угловые эллиптические координаты, определяемые $C$ ${\begin{aligned}x&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\cosh \xi \cos \eta ,\\y&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\sinh \xi \sin \eta .\end{aligned}}$ $м п (η, ε)$ — четные полиномы Инса порядка $p$ и степени $m$ , где $ε$ — параметр эллиптичности. Режимы Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса являются частным случаем режимов Инса-Гаусса для $ε = \infty$ и $ε = 0$ соответственно. ^[7]

Гипергеометрические-гауссовы моды

Существует еще один важный класс параксиальных волновых мод в цилиндрических координатах , в которых комплексная амплитуда пропорциональна конфлюэнтной гипергеометрической функции .

Эти моды имеют сингулярный фазовый профиль и являются собственными функциями орбитального углового момента фотона . Их профили интенсивности характеризуются одним блестящим кольцом; подобно модам Лагерра–Гаусса, их интенсивности падают до нуля в центре (на оптической оси), за исключением фундаментальной моды (0,0). Комплексная амплитуда моды может быть записана в терминах нормализованной (безразмерной) радиальной координаты $ρ = r / w 0$ и нормализованной продольной координаты $Ζ = z / z R$ следующим образом: ^[23]

${\begin{aligned}u_{{\mathsf {p}}m}(\rho ,\phi ,\mathrm {Z} ){}={}&{\sqrt {\frac {2^{{\mathsf {p}}+|m|+1}}{\pi \Gamma ({\mathsf {p}}+|m|+1)}}}\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}{\Gamma (|m|+1)}}\,i^{|m|+1}\times {}\\&\mathrm {Z} ^{\frac {\mathsf {p}}{2}}\,(\mathrm {Z} +i)^{-\left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}\,\rho ^{|m|}\times {}\\&\exp \left(-{\frac {i\rho ^{2}}{\mathrm {Z} +i}}\right)\,e^{im\phi }\,{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {\mathsf {p}}{2}},|m|+1;{\frac {\rho ^{2}}{\mathrm {Z} (\mathrm {Z} +i)}}\right)\end{aligned}}$

где индекс вращения $m$ является целым числом и имеет действительное значение, $Γ($ $x$ $)$ — гамма-функция, а $1$ $F$ $1$ $($ $a$ $,$ $b$ $;$ $x$ $)$ — конфлюэнтная гипергеометрическая функция. ${\mathsf {p}}\geq -|m|$

Некоторые подсемейства гипергеометрических гауссовых (HyGG) мод можно перечислить как модифицированные моды Бесселя-Гаусса, модифицированные экспоненциальные гауссовы моды ^[23] и модифицированные моды Лагерра-Гаусса.

Набор гипергеометрических гауссовых мод является сверхполным и не является ортогональным набором мод. Несмотря на сложный профиль поля, моды HyGG имеют очень простой профиль в перетяжке пучка ( $z = 0$ ): $u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{{\mathsf {p}}+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }.$

Смотрите также

Примечания

^ abcdefghi Svelto, стр. 153–5.
^ Свелто, стр. 158.
^ Ярив, Амнон; Йе, Альберт Почи (2003). Оптические волны в кристаллах: распространение и управление лазерным излучением . J. Wiley & Sons. ISBN 0-471-43081-1. OCLC 492184223.
^ Хилл, Дэн (4 апреля 2007 г.). «Как преобразовать измерения FWHM в 1/e-квадрат полуширины». Radiant Zemax Knowledge Base . Архивировано из оригинала 4 марта 2016 г. Получено 7 июня 2016 г.
↑ Сигман, стр. 642.
^ ab, вероятно, впервые рассмотрен Губо и Шверингом (1961).
^ abc Бандрес и Гутьеррес-Вега (2004)
^ Брорсон, SD (1988). «Что такое конфокальный параметр?». Журнал квантовой электроники IEEE . 24 (3): 512–515. Bibcode : 1988IJQE...24..512B. doi : 10.1109/3.155.
^ Сигман (1986) стр. 630.
^ abc Paschotta, Rüdiger. "Gouy Phase Shift". Энциклопедия лазерной физики и техники . RP Photonics . Получено 2 мая 2014 г.
^ ab "Melles Griot. Gaussian Beam Optics" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 . Получено 2015-04-07 .
^ ab Siegman, стр. 638–40.
↑ Гарг, стр. 165–168.
^ См. Siegman (1986) стр. 639. Уравнение 29
^ Салех, Бахаа Э.А.; Тейх, Малвин Карл (1991). Основы фотоники . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-83965-5.Глава 3, «Оптика луча»
↑ Self, Sidney (1 марта 1983 г.). «Фокусировка сферических гауссовых пучков». Applied Optics . 22 (5): 658–661. Bibcode : 1983ApOpt..22..658S. doi : 10.1364/AO.22.000658. PMID 18195851.
^ abc Svelto, стр. 148–9.
^ Эсарей, Э.; Спрэнгл, П.; Пиллофф, М.; Кралл, Дж. (1995-09-01). «Теория и групповая скорость сверхкоротких, плотно сфокусированных лазерных импульсов». JOSA B. 12 ( 9): 1695–1703. Bibcode : 1995JOSAB..12.1695E. doi : 10.1364/JOSAB.12.001695. ISSN 1520-8540.
^ Зигман (1986), стр. 645, экв. 54
^ Валлоне, Г. (8 апреля 2015 г.). «О свойствах круглых пучков: нормализация, разложение Лагерра–Гаусса и расходимость в свободном пространстве». Optics Letters . 40 (8): 1717–1720. arXiv : 1501.07062 . Bibcode :2015OptL...40.1717V. doi :10.1364/OL.40.001717. PMID 25872056. S2CID 36312938.
^ Миатто, Филиппо М.; Яо, Элисон М.; Барнетт, Стивен М. (2011-03-15). "Полная характеристика квантовой спиральной полосы пропускания запутанных бифотонов". Physical Review A. 83 ( 3): 033816. arXiv : 1011.5970 . Bibcode : 2011PhRvA..83c3816M. doi : 10.1103/PhysRevA.83.033816. ISSN 1050-2947.
^ Обратите внимание, что нормализация, используемая здесь (общая интенсивность для фиксированного $z,$ равного единице), отличается от той, которая используется в разделе #Математическая форма для гауссовой моды. При $l = p = 0$ мода Лагерра-Гаусса сводится к стандартной гауссовой моде, но из-за разных условий нормировки две формулы не совпадают.
^ ab Карими и др. (2007)

Ссылки

Бандрес, Мигель А.; Гутьеррес-Вега, Хулио К. (2004). «Инс-гауссовы лучи». Опция Летт . 29 (2). ОСА: 144–146. Бибкод : 2004OptL...29..144B. дои : 10.1364/OL.29.000144. ПМИД 14743992.
Гарг, Анупам (2012). Классический электромагнетизм в двух словах . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0691130187.
Goubau, G.; Schwering, F. (1961). «О направленном распространении электромагнитных волновых пучков». IRE Trans . 9 (3): 248–256. Bibcode : 1961ITAP....9..248G. doi : 10.1109/TAP.1961.1144999. MR 0134166.
Карими, Э.; Зито, Г.; Пиччирилло, Б.; Марруччи, Л.; Сантамато, Э. (2007). «Гипергеометрическо-гауссовы пучки». Опция Летт . 32 (21). ОСА: 3053–3055. arXiv : 0712.0782 . Бибкод : 2007OptL...32.3053K. дои : 10.1364/OL.32.003053. PMID 17975594. S2CID 46526713.
Мандель, Леонард; Вольф, Эмиль (1995). Оптическая когерентность и квантовая оптика . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-41711-2.Глава 5, «Оптические лучи», стр. 267.
Пампалони, Ф.; Эндерлейн, Дж. (2004). «Гауссовы, Эрмитово-Гауссовы и Лагеррово-Гауссовы пучки: учебник». arXiv : physics/0410021 .
Sakpal, S.; Milione, G.; Li, M.; Nouri, M.; Shahoei, H.; LaFave, T.; Ashrafi, S.; MacFarlane, D. (2018). «Устойчивость пучков Ince-Gaussian в маломодовых волокнах с эллиптической сердцевиной». Opt. Lett . 43 (11): 2656–2659. Bibcode : 2018OptL...43.2656S. doi : 10.1364/OL.43.002656. PMID 29856389. S2CID 46921059.
Салех, Бахаа Э.А.; Тейх, Малвин Карл (1991). Основы фотоники . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-83965-5.Глава 3, «Оптика луча», стр. 80–107.
Зигман, Энтони Э. (1986). Лазеры . Университетские научные книги. ISBN 0-935702-11-3.Глава 16.
Свелто, Орацио (2010). Принципы лазеров (5-е изд.).
Ярив, Амнон (1989). Квантовая электроника (3-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-60997-8.

Внешние ссылки

Учебное пособие по оптике гауссовых пучков, Ньюпорт