В математике существует много смыслов, в которых последовательность или ряд считаются сходящимися. В этой статье описываются различные режимы (смыслы или виды) сходимости в настройках, где они определены. Для списка режимов сходимости см. Режимы сходимости (аннотированный индекс)
Каждый из следующих объектов является частным случаем типов, предшествующих ему: множества , топологические пространства , равномерные пространства , топологическая абелева группа , нормированные пространства , евклидовы пространства и действительные/комплексные числа. Кроме того, любое метрическое пространство является равномерным пространством.
Сходимость можно определить в терминах последовательностей в пространствах с первой счетностью . Сети являются обобщением последовательностей, которые полезны в пространствах, не являющихся пространствами с первой счетностью. Фильтры еще больше обобщают концепцию сходимости.
В метрических пространствах можно определить последовательности Коши . Сети и фильтры Коши являются обобщениями на равномерные пространства . Еще более обще, пространства Коши являются пространствами, в которых могут быть определены фильтры Коши. Сходимость подразумевает «сходимость Коши», а сходимость Коши вместе с существованием сходящейся подпоследовательности подразумевает сходимость. Понятие полноты метрических пространств и его обобщений определяется в терминах последовательностей Коши.
В топологической абелевой группе сходимость ряда определяется как сходимость последовательности частичных сумм. Важным понятием при рассмотрении рядов является безусловная сходимость , которая гарантирует, что предел ряда инвариантен относительно перестановок слагаемых.
В нормированном векторном пространстве можно определить абсолютную сходимость как сходимость ряда ( ). Абсолютная сходимость подразумевает сходимость по Коши последовательности частичных сумм (по неравенству треугольника ), что в свою очередь подразумевает абсолютную сходимость некоторой группировки (не переупорядочивания). Последовательность частичных сумм, полученная группировкой, является подпоследовательностью частичных сумм исходного ряда. Сходимость каждого абсолютно сходящегося ряда является эквивалентным условием для того, чтобы нормированное векторное пространство было банаховым (т.е.: полным).
Абсолютная сходимость и сходимость вместе подразумевают безусловную сходимость, но безусловная сходимость не подразумевают абсолютную сходимость в общем случае, даже если пространство является банаховым, хотя импликация сохраняется в .
Самый базовый тип сходимости для последовательности функций (в частности, он не предполагает никакой топологической структуры в области определения функций) — это поточечная сходимость . Она определяется как сходимость последовательности значений функций в каждой точке. Если функции принимают свои значения в однородном пространстве, то можно определить поточечную сходимость Коши, равномерную сходимость и равномерную сходимость Коши последовательности.
Поточечная сходимость влечет поточечную сходимость по Коши, и обратное справедливо, если пространство, в котором функции принимают свои значения, является полным. Равномерная сходимость влечет поточечную сходимость и равномерную сходимость по Коши. Равномерная сходимость Коши и поточечная сходимость подпоследовательности влекут равномерную сходимость последовательности, и если область значений является полной, то равномерная сходимость Коши влечет равномерную сходимость.
Если область определения функций является топологическим пространством, а область определения — равномерным пространством, то можно определить локальную равномерную сходимость (т. е. равномерную сходимость в окрестности каждой точки) и компактную (равномерную) сходимость (т. е. равномерную сходимость на всех компактных подмножествах ). «Компактная сходимость» всегда является сокращением от «компактная равномерная сходимость», поскольку «компактная точечная сходимость» будет означать то же самое, что и «точечная сходимость» (точки всегда компактны).
Равномерная сходимость подразумевает как локальную равномерную сходимость, так и компактную сходимость, поскольку оба являются локальными понятиями, в то время как равномерная сходимость является глобальной. Если X локально компактно (даже в самом слабом смысле: каждая точка имеет компактную окрестность), то локальная равномерная сходимость эквивалентна компактной (равномерной) сходимости. Грубо говоря, это происходит потому, что «локальный» и «компактный» означают одно и то же.
Поточечная и равномерная сходимость рядов функций определяются через сходимость последовательности частичных сумм.
Для функций, принимающих значения в нормированном линейном пространстве , абсолютная сходимость относится к сходимости ряда положительных, действительных функций . «Поточечная абсолютная сходимость» тогда является просто поточечной сходимостью .
Нормальная сходимость — это сходимость ряда неотрицательных действительных чисел, полученного путем взятия равномерной (т.е. "sup") нормы каждой функции ряда (равномерная сходимость ). В банаховых пространствах точечная абсолютная сходимость подразумевает точечную сходимость, а нормальная сходимость подразумевает равномерную сходимость.
Для функций, определенных на топологическом пространстве, можно определить (как выше) локальную равномерную сходимость и компактную (равномерную) сходимость в терминах частичных сумм ряда. Если, кроме того, функции принимают значения в нормированном линейном пространстве, то можно определить локальную нормальную сходимость (локальную, равномерную, абсолютную сходимость) и компактную нормальную сходимость (абсолютную сходимость на компактных множествах ).
Нормальная сходимость подразумевает как локальную нормальную сходимость, так и компактную нормальную сходимость. И если область локально компактна (даже в самом слабом смысле), то локальная нормальная сходимость подразумевает компактную нормальную сходимость.
Если рассматривать последовательности измеримых функций , то возникает несколько режимов сходимости, которые зависят от мерно-теоретических, а не только топологических свойств. Это включает в себя поточечную сходимость почти всюду, сходимость в p -среднем и сходимость в мере. Они представляют особый интерес в теории вероятностей .
