Рихард Дагоберт Брауэр (10 февраля 1901 — 17 апреля 1977) — ведущий немецкий и американский математик . Он работал в основном в области абстрактной алгебры , но внес важный вклад в теорию чисел . Он был основателем модульной теории представлений .
Альфред Брауэр был братом Ричарда и на семь лет старше. Они родились в еврейской семье. Оба интересовались наукой и математикой, но Альфред был ранен в бою во время Первой мировой войны. Мальчиком Рихард мечтал стать изобретателем , и в феврале 1919 года поступил в Техническую высшую школу Берлина-Шарлоттенбурга . Вскоре он перевелся в Берлинский университет . За исключением лета 1920 года, когда он учился во Фрайбургском университете , он учился в Берлине и получил докторскую степень 16 марта 1926 года. Иссаи Шур провел семинар и в 1921 году поставил задачу, над которой Альфред и Рихард работали вместе, и опубликовали результат. В то же время задачу решил Хайнц Хопф . Ричард написал свою диссертацию под руководством Шура, предложив алгебраический подход к неприводимым, непрерывным, конечномерным представлениям вещественных ортогональных (вращательных) групп.
Ильза Каргер также изучала математику в Берлинском университете; она и Брауэр поженились 17 сентября 1925 года. Их сыновья Джордж Ульрих (1927 г.р.) и Фред Гюнтер (1932 г.р.) также стали математиками. Свою педагогическую карьеру Брауэр начал в Кенигсберге (ныне Калининград), работая ассистентом Конрада Кноппа . Брауэр излагал центральные алгебры с делением над совершенным полем , находясь в Кенигсберге; классы изоморфизма таких алгебр образуют элементы введенной им группы Брауэра .
Когда в 1933 году к власти пришла нацистская партия , Чрезвычайный комитет помощи перемещенным иностранным ученым принял меры, чтобы помочь Брауэру и другим еврейским ученым. [1] Брауэру предложили должность доцента в Университете Кентукки . Брауэр принял предложение и к концу 1933 года находился в Лексингтоне, Кентукки , преподавая на английском языке. [1] В следующем году Ильза последовала за ним вместе с Джорджем и Фредом; брат Альфред добрался до Соединенных Штатов в 1939 году, но их сестра Алиса погибла во время Холокоста . [1]
Герман Вейль пригласил Брауэра помогать ему в Принстонском институте перспективных исследований в 1934 году. Брауэр и Натан Джейкобсон редактировали лекции Вейля « Структура и представление непрерывных групп» . Под влиянием Эмми Нётер Брауэр был приглашен в Университет Торонто на должность преподавателя. Вместе со своим аспирантом Сесилом Дж. Несбиттом он разработал теорию модульного представления , опубликованную в 1937 году. Роберт Стейнберг , Стивен Артур Дженнингс и Ральф Стэнтон также были учениками Брауэра в Торонто. Брауэр также проводил международные исследования с Тадаси Накаямой по представлениям алгебр. В 1941 году Университет Висконсина принимал приглашенного профессора Брауэра. В следующем году он посетил Институт перспективных исследований и Блумингтон, штат Индиана , где преподавал Эмиль Артин .
В 1948 году Брауэр переехал в Анн-Арбор, штат Мичиган , где он и Роберт М. Тралл участвовали в программе по современной алгебре в Мичиганском университете .
В 1952 году Брауэр поступил на факультет Гарвардского университета и вышел на пенсию в 1971 году. Среди его студентов были Дональд Джон Льюис , Дональд Пассман и И. Мартин Айзекс . Брауэр был избран членом Американской академии искусств и наук в 1954 году, [2] Национальной академии наук США в 1955 году, [3] и Американского философского общества в 1974 году. [4] Брауэры часто путешествовали, чтобы увидеть своих друзей, таких как как Райнхольд Бэр , Вернер Вольфганг Рогозински и Карл Людвиг Зигель .
Несколько теорем носят его имя, в том числе теорема индукции Брауэра , которая имеет приложения в теории чисел , а также теории конечных групп , и ее следствие, характеристика характеров Брауэра , которая занимает центральное место в теории групповых характеров.
Теорема Брауэра -Фаулера , опубликованная в 1956 году, позже дала значительный толчок к классификации конечных простых групп , поскольку она подразумевала, что может существовать только конечное число конечных простых групп, для которых централизатор инволюции (элемент порядка 2) имел указанная структура.
Брауэр применил теорию модульных представлений , чтобы получить тонкую информацию о характерах групп, в частности, с помощью своих трех основных теорем . Эти методы были особенно полезны при классификации конечных простых групп с силовскими 2-подгруппами низкого ранга . Теорема Брауэра–Сузуки показала, что ни одна конечная простая группа не может иметь обобщенную силовскую 2-подгруппу кватернионов, а теорема Альперина–Брауэра–Горенштейна классифицировала конечные группы со сплетенными или квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами. Методы, разработанные Брауэром, также сыграли важную роль во вкладе других в программу классификации: например, теорема Горенштейна-Вальтера , классифицирующая конечные группы с диэдральной силовской 2-подгруппой, и теорема Глаубермана Z* . Теория блока с циклической группой дефектов , впервые разработанная Брауэром в случае, когда главный блок имеет группу дефектов порядка p , а позднее разработанная в полной общности Э. К. Дейдом , также имела несколько приложений к теории групп, например пример конечных групп матриц над комплексными числами малой размерности. Дерево Брауэра — это комбинаторный объект, связанный с блоком с циклической группой дефектов, который кодирует большой объем информации о структуре блока.
В 1970 году он был награжден Национальной медалью науки . [5]
Эдуард Стью написал статью о гиперкомплексных числах для энциклопедии Кляйна в 1898 году. Эта статья была расширена для французского издания Анри Картаном в 1908 году. К 1930-м годам возникла очевидная необходимость обновить статью Стьюда, и Брауэру было поручено написать о тема для проекта. Как оказалось, когда Брауэр подготовил свою рукопись в Торонто в 1936 году, хотя она была принята к публикации, вмешались политика и война. Тем не менее, Брауэр хранил свою рукопись на протяжении 1940-х, 1950-х и 1960-х годов, а в 1979 году она была опубликована [6] Университетом Окаямы в Японии . Он также появился посмертно как статья № 22 в первом томе его Сборника статей . Его титул был «Алгебра гиперкомплексных Zahlensysteme (Алгебрен)». В отличие от статей Студи и Картана, которые носили исследовательский характер, статья Брауэра читается как современный текст по абстрактной алгебре с универсальным охватом. Рассмотрим его вступление:
Еще находясь в Кенигсберге в 1929 году, Брауэр опубликовал в Mathematische Zeitschrift статью «Über Systeme Hyperkomplexer Zahlen» [7] , в которой основное внимание уделялось интегральным областям (Nullteilerfrei systeme) и теории поля , которую он использовал позже в Торонто.