Руководящий центр

Заряженная частица дрейфует в однородном магнитном поле. (A) Без возмущающей силы. (B) С электрическим полем, E. (C) С независимой силой, F (например, гравитация). (D) В неоднородном магнитном поле, grad H.

В физике движение электрически заряженной частицы, такой как электрон или ион в плазме в магнитном поле, можно рассматривать как суперпозицию относительно быстрого кругового движения вокруг точки, называемой направляющим центром , и относительно медленного дрейфа этой точки. Скорости дрейфа могут различаться для различных видов в зависимости от их зарядовых состояний, масс или температур, что может приводить к электрическим токам или химическому разделению.

Вращение

Если магнитное поле однородно и все другие силы отсутствуют, то сила Лоренца заставит частицу испытывать постоянное ускорение, перпендикулярное как скорости частицы, так и магнитному полю. Это не влияет на движение частицы параллельно магнитному полю, но приводит к круговому движению с постоянной скоростью в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Это круговое движение известно как гиродвижение . Для частицы с массой и зарядом, движущейся в магнитном поле с напряженностью , она имеет частоту, называемую гирочастотой или циклотронной частотой , ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \omega _{\rm {c}}={\frac {|q|B}{m}}.}$$

Для скорости, перпендикулярной магнитному полю , радиус орбиты, называемый гирорадиусом или радиусом Лармора, равен ${\displaystyle v_{\perp }}$ $${\displaystyle \rho _{\rm {L}}={\frac {v_{\perp }}{\omega _{\rm {c}}}}.}$$

Параллельное движение

Поскольку магнитная сила Лоренца всегда перпендикулярна магнитному полю, она не оказывает никакого влияния (в низшем порядке) на параллельное движение. В однородном поле без дополнительных сил заряженная частица будет вращаться вокруг магнитного поля в соответствии с перпендикулярной составляющей своей скорости и дрейфовать параллельно полю в соответствии со своей первоначальной параллельной скоростью, в результате чего образуется винтовая орбита. Если есть сила с параллельной составляющей, частица и ее направляющий центр будут соответственно ускорены.

Если поле имеет параллельный градиент, частица с конечным радиусом Лармора также будет испытывать силу в направлении от большего магнитного поля. Этот эффект известен как магнитное зеркало . Хотя он тесно связан с дрейфами направляющего центра в своей физике и математике, он, тем не менее, считается отличным от них.

Общие дрейфы силы

Вообще говоря, когда на частицы действует сила, перпендикулярная магнитному полю, то они дрейфуют в направлении, перпендикулярном как силе, так и полю. Если — сила, действующая на одну частицу, то скорость дрейфа равна ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{f}={\frac {1}{q}}{\frac {{\boldsymbol {F}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}.}$$

Эти дрейфы, в отличие от эффекта зеркала и неоднородных дрейфов B , не зависят от конечного радиуса Лармора, но также присутствуют в холодной плазме. Это может показаться нелогичным. Если частица неподвижна при включении силы, откуда берется движение, перпендикулярное силе, и почему сила не производит движение, параллельное самой себе? Ответ — взаимодействие с магнитным полем. Сила изначально приводит к ускорению, параллельному себе, но магнитное поле отклоняет результирующее движение в направлении дрейфа. Как только частица движется в направлении дрейфа, магнитное поле отклоняет ее обратно против внешней силы, так что среднее ускорение в направлении силы равно нулю. Однако существует одноразовое смещение в направлении силы, равное ( f / m ) ω _c ⁻² , которое следует считать следствием поляризационного дрейфа (см. ниже) при включении силы. Результирующее движение представляет собой циклоиду . В более общем смысле суперпозиция вращения и равномерного перпендикулярного дрейфа представляет собой трохоиду .

Все дрейфы можно считать частными случаями силового дрейфа, хотя это не всегда самый полезный способ думать о них. Очевидными случаями являются электрические и гравитационные силы. Дрейф grad-B можно считать результатом силы, действующей на магнитный диполь в градиенте поля. Дрейфы кривизны, инерции и поляризации возникают в результате рассмотрения ускорения частицы как фиктивных сил . Диамагнитный дрейф можно вывести из силы, вызванной градиентом давления. Наконец, другие силы, такие как давление излучения и столкновения, также приводят к дрейфам.

Гравитационное поле

Простым примером силового дрейфа является плазма в гравитационном поле, например ионосфера . Скорость дрейфа равна $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{g}={\frac {m}{q}}{\frac {{\boldsymbol {g}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}}$$

Из-за зависимости от массы гравитационный дрейф электронов обычно можно игнорировать.

Зависимость от заряда частицы подразумевает, что направление дрейфа противоположно для ионов, как и для электронов, что приводит к возникновению тока. В жидкой картине именно этот ток, пересекающийся с магнитным полем, обеспечивает ту силу, которая противодействует приложенной силе.

Электрическое поле

Этот дрейф, часто называемый ( E -cross- B ) дрейфом, является особым случаем, поскольку электрическая сила, действующая на частицу, зависит от ее заряда (в отличие, например, от гравитационной силы, рассмотренной выше). В результате ионы (любой массы и заряда) и электроны движутся в одном направлении с одинаковой скоростью, поэтому нет чистого тока (предполагая квазинейтральность плазмы). В контексте специальной теории относительности в системе отсчета, движущейся с этой скоростью, электрическое поле исчезает. Значение скорости дрейфа определяется выражением ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{E}={\frac {{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}}$$

Неравномерный E

Если электрическое поле неоднородно, приведенная выше формула изменяется следующим образом ^[1] $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{E}=\left(1+{\frac {1}{4}}\rho _{\rm {L}}^{2}\nabla ^{2}\right){\frac {{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}}$$

Неравномерный B

Дрейфы направляющего центра могут также быть результатом не только внешних сил, но и неоднородностей магнитного поля. Удобно выразить эти дрейфы в терминах параллельной и перпендикулярной кинетической энергии $${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\|}&={\tfrac {1}{2}}mv_{\|}^{2}\\[1ex]K_{\perp }&={\tfrac {1}{2}}mv_{\perp }^{2}\end{aligned}}}$$

В этом случае явная зависимость от массы устраняется. Если ионы и электроны имеют близкие температуры, то они имеют и близкие, хотя и противоположно направленные, скорости дрейфа.

Дрейф Grad-B

Когда частица попадает в большее магнитное поле, кривизна ее орбиты становится более жесткой, превращая в противном случае круговую орбиту в циклоиду . Скорость дрейфа равна $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{\nabla B}={\frac {K_{\perp }}{qB}}{\frac {{\boldsymbol {B}}\times \nabla B}{B^{2}}}}$$

Дрейф кривизны

Для того чтобы заряженная частица следовала по искривленной силовой линии, ей нужна скорость дрейфа из плоскости кривизны, чтобы обеспечить необходимую центростремительную силу . Эта скорость равна где — радиус кривизны , направленный наружу, от центра дуги окружности , которая наилучшим образом аппроксимирует кривую в этой точке. где — единичный вектор в направлении магнитного поля. Этот дрейф можно разложить на сумму дрейфа кривизны и члена $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{R}={\frac {2K_{\|}}{qB}}{\frac {{\boldsymbol {R}}_{c}\times {\boldsymbol {B}}}{R_{c}^{2}B}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{c}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{\rm {inertial}}={\frac {v_{\parallel }}{\omega _{c}}}\,{\hat {\boldsymbol {b}}}\times {\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\mathrm {d} t}},}$$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {b}}}={\boldsymbol {B}}/B}$ $${\displaystyle {\frac {v_{\|}}{\omega _{c}}}\,{\hat {\boldsymbol {b}}}\times \left[{\frac {\partial {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}_{E}\cdot \nabla {\hat {\boldsymbol {b}}})\right].}$$

В важном пределе стационарного магнитного поля и слабого электрического поля инерционный дрейф определяется членом дрейфа кривизны.

Изогнутый вакуумный дрейф

В пределе малого давления плазмы уравнения Максвелла обеспечивают связь между градиентом и кривизной, которая позволяет объединить соответствующие дрейфы следующим образом: $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{R}+{\boldsymbol {v}}_{\nabla B}={\frac {2K_{\|}+K_{\perp }}{qB}}{\frac {{\boldsymbol {R}}_{c}\times {\boldsymbol {B}}}{R_{c}^{2}B}}}$$

Для вида, находящегося в тепловом равновесии , можно заменить на ( для и для ). ${\displaystyle 2K_{\|}+K_{\perp }}$ ${\displaystyle 2k_{\text{B}}T}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}T/2}$ ${\displaystyle K_{\|}}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}T}$ ${\displaystyle K_{\perp }}$

Выражение для дрейфа grad-B выше можно переписать для случая, когда из-за кривизны. Это проще всего сделать, поняв, что в вакууме закон Ампера имеет вид . В цилиндрических координатах, выбранных таким образом, что азимутальное направление параллельно магнитному полю, а радиальное направление параллельно градиенту поля, это становится ${\displaystyle \nabla B}$ ${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {B}}=0}$ $${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {B}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rB_{\theta }\right){\hat {z}}=0}$$

Поскольку — константа, это означает, что и скорость дрейфа grad-B можно записать ${\displaystyle rB_{\theta }}$ $${\displaystyle \nabla B=-B{\frac {{\boldsymbol {R}}_{c}}{R_{c}^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{\nabla B}=-{\frac {K_{\perp }}{q}}{\frac {{\boldsymbol {B}}\times {\boldsymbol {R}}_{c}}{R_{c}^{2}B^{2}}}}$$

Дрейф поляризации

Изменяющееся во времени электрическое поле также приводит к дрейфу, определяемому выражением $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{p}={\frac {m}{qB^{2}}}{\frac {d{\boldsymbol {E}}}{dt}}}$$

Очевидно, этот дрейф отличается от других тем, что он не может продолжаться бесконечно. Обычно колебательное электрическое поле приводит к поляризационному дрейфу, колеблющемуся на 90 градусов в противофазе. Из-за зависимости от массы этот эффект также называется дрейфом инерции . Обычно для электронов можно пренебречь поляризационным дрейфом из-за их относительно малой массы.

Диамагнитный дрейф

Диамагнитный дрейф на самом деле не является дрейфом направляющего центра. Градиент давления не заставляет ни одну частицу дрейфовать. Тем не менее, скорость жидкости определяется путем подсчета частиц, движущихся через опорную область, а градиент давления приводит к большему количеству частиц в одном направлении, чем в другом. Чистая скорость жидкости определяется как

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{D}=-{\frac {\nabla p\times {\boldsymbol {B}}}{qnB^{2}}}}$$

Дрейфовые течения

За важным исключением дрейфа , скорости дрейфа по-разному заряженных частиц будут разными. Эта разница в скоростях приводит к току, тогда как зависимость скорости дрейфа от массы может привести к химическому разделению. ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}$

Ссылки

1. Баумйоханн, Вольфганг; Тройманн, Рудольф (1997). Фундаментальная физика космической плазмы . World Scientific. ISBN 978-1-86094-079-8.

• Нортроп, Теодор Г. (1961). «Приближение направляющего центра к движению заряженных частиц» (PDF) . Annals of Physics . 15 (1): 79–101. doi :10.1016/0003-4916(61)90167-1.
• Бланк, Х. Дж. де (2004). «Движение направляющего центра». Fusion Science and Technology . 61 (2T): 61–68. doi :10.13182/FST04-A468. ISSN  1536-1055.
• Альфвен, Ханнес (1981). Космическая плазма. Дордрехт, Голландия: Паб D. Reidel. ISBN компании 90-277-1151-8. OCLC  7170848.
• Sulem, PL (2005). Введение в теорию руководящего центра. Том 46. С. 109–149. ISBN 9780821837238. Получено 22 октября 2014 г. {{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь )